Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare
Introduzione Lezione n Relatività Galileiana. Etere. Michelson-Morley Lezione n Relatività Ristretta. Trasf. di Lorentz. Quadrivettori Lezione n Tempo proprio. Quadrivelocità. Quadrimomento. Massa e Energia Lezione n Sezione d’urto. Rutherford Scattering. Scattering da potenziale Esercitazione Lezione n Teoria dello scattering. Funzione di Green Lezione n Rutherford. Energia di Legame. Spettrometro di massa. amu Esercitazione Lezione n Spettrometro di Massa. Stabilità. Bethe Weiszacker Lezione n Stabilità nucleare. Radioattività. Legge decadimento radioattivo Esercitazione Lezione n Statistica di Conteggio. Decadimento alfa Lezione n Livelli Virtuali. Fissione Spontanea. Fissione indotta Esercitazione Lezione n Reazione a catena. Reattore nucleare. Rallentamento di neutroni Lezione n Moderatori. Cinetica del reattore. Neutroni ritardati Esercitazione Lezione n Bethe-Bloch. Fluttuazioni. Range Lezione n Elettroni e fotoni. Acceleratori. Oscillazioni di fase Lezione n Moti trasversali. Focusing. Collisori. Apparati Sperimentali Lezioni 30 Esercitazioni 10 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare
Introduzione Lezione n Relatività Galileiana. Etere. Michelson-Morley Lezione n Relatività Ristretta. Trasf. di Lorentz. Quadrivettori Lezione n Tempo proprio. Quadrivelocità. Quadrimomento. Massa e Energia Lezione n Sezione d’urto. Rutherford Scattering. Scattering da potenziale Esercitazione Lezione n Teoria dello scattering. Funzione di Green Lezione n Rutherford. Energia di Legame. Spettrometro di massa. amu Esercitazione Lezione n Spettrometro di Massa. Stabilità. Bethe Weiszacker Lezione n Stabilità nucleare. Radioattività. Legge decadimento radioattivo Esercitazione Lezione n Statistica di Conteggio. Decadimento alfa Lezione n Livelli Virtuali. Fissione Spontanea. Fissione indotta Esercitazione Lezione n Reazione a catena. Reattore nucleare. Rallentamento di neutroni Lezione n Moderatori. Cinetica del reattore. Neutroni ritardati Esercitazione Lezione n Bethe-Bloch. Fluttuazioni. Range Lezione n Elettroni e fotoni. Acceleratori. Oscillazioni di fase Lezione n Moti trasversali. Focusing. Collisori. Apparati Sperimentali Lezioni 28 Esercitazioni 12 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Lezione n. 13

Energia trasferita in collisioni con elettroni
Una particella carica (ze) che attraversa la materia urta con gli atomi Può cedere energia agli atomi eccitando gli elettroni Può cedere energia estraendo elettroni: ionizzazione Consideriamo inizialmente un problema più semplice Una particella pesante interagisce con un elettrone Il momento trasferito dalla particella all’elettrone è Solo la componente verticale dà un contributo non nullo La componente orizzontale riceve contributi di segno opposto dalle due parti simmetriche della traiettoria Supponiamo che l’energia trasferita all’elettrone sia molto più piccola di quella della particella incidente La velocità può essere considerata costante Il momento trasferito totale si trova integrando q b ze x cosq Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Perdita di energia per ionizzazione
Passiamo all’energia trasferita al singolo elettrone Il calcolo fatto è relativo a Un singolo elettrone ad una distanza b Suddividiamo il materiale in gusci cilindrici La densità di elettroni è Gli elettroni nel guscio sono L’energia trasferita agli elettroni del guscio (e quindi persa dalla particella pesante) è Integrando sul parametro d’impatto b (e ponendo c =1 ) b ze dx Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Energia trasferita in collisioni con elettroni
Il calcolo fatto per ricavare DE era basato su due ipotesi Gli elettroni sono liberi Si può trasferire all’elettrone una quantità arbitraria di energia Con queste ipotesi l’energia trasferita è Un calcolo esatto senza le ipotesi sopra indicate conduce al risultato della figura Occorre tenere conto del fatto che gli elettroni sono legati all’atomo Questo determina bmax Occorre tenere del fatto che esiste un’energia massima trasferibile Questo determina bmin logDE(b) logb DEmax bmin bmax In letteratura si trovano formule che differiscono per le scelte fatte su bmax e bmin Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Parametro d’impatto: limite superiore
Discutiamo adesso i limiti di integrazione sul parametro d’impatto Il limite superiore dipende dall’assunzione che abbiamo fatto di considerare gli elettroni liberi La forza esercitata sull’elettrone è schematizzabile come un impulso di durata t (ordine di grandezza) Se inoltre teniamo conto del fatto che la velocità è relativistica, la durata dell’impulso viene ridotta Gli elettroni non sono liberi: sono legati in orbitali atomici Dalla teoria perturbativa dipendente dal tempo si può verificare che se l’elettrone è in un orbitale caratterizzato da una frequenza n (E = hn) perchè sia possibile una transizione deve essere Pertanto deve essere b < bmax dove bmax è dato da La frequenza <n> è una opportuna frequenza media degli orbitali esterni che caratterizza il materiale b Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Parametro d’impatto: limite inferiore
Consideriamo adesso il limite inferiore bmin Possiamo stimare il limite minimo bmin come il parametro d’impatto che corrisponde alla massima energia trasferibile Si può calcolare che, se una particella pesante (es. protone) di velocità b ~ 1 (e fattore relativistico g  1) collide con un elettrone, la massima energia trasferibile all’elettrone è data da Abbiamo visto che la relazione fra parametro d’impatto ed energia trasferita è Pertanto il parametro d’impatto minimo è dato da Questa approssimazione (classica) risulta troppo grossolana Produce un valore di bmin troppo piccolo Non tiene conto della meccanica quantistica Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

La formula trovata non tiene conto della natura quantistica della materia Tenendo conto della meccanica quantistica il limite inferiore può essere stimato pensando che la posizione di una particella non può essere definita meglio della sua lunghezza d’onda di De Boroglie Sia la posizione della particella incidente che l’elettrone bersaglio hanno una incertezza dovuta al principio di indeterminazione Consideriamo sia il momento dell’elettrone che quello del protone Nel sistema in cui l’elettrone è a riposo pp = mp g b Nel sistema in cui il protone è a riposo pe = me g b Scegliamo il bmin più grande (che corrisponde al momento più piccolo) Ricordando bmax Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Otteniamo in definitiva Un calcolo che tiene conto più accuratamente degli effetti quantistici (e dello dello spin) è stato fatto da Bethe, completato da Bloch con l’introduzione di I I è il potenziale medio di ionizzazione (vedi diapositiva seguente) Le unità di misura saranno discusse in seguito Notiamo che dE/dx è funzione solo della velocità Ci sono due regioni bassa velocità: gb < 1  dipendenza da alta velocità: gb > 1  crescita logaritmica La formula diverge per g b   vedi PDG 2008 pag. 217: passage of particle throgh matter gb 1 10 100 0.1 dE/dx (MeV cm2/g) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Il potenziale di ionizzazione dipende dalla sostanza Una calcolo teorico non sempre è possibile La figura mostra risultati sperimentali e calcoli teorici per Per bibliografia v. PDG 2008 (C. Amsler et al. Phys. Lett. B667 p. 267) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Il calcolo di Bethe e Bloch è stato completato da numerosi altri calcoli Per tenere conto di effetti trascurati Per estenderlo ad altre regioni di velocità Per curve e riferimenti vedi PDG 2008 pag. 267: passage of particle throgh matter Nelle varie regioni Importanti interazioni atomiche (legami) Dipendenza da 1/b2 Risalita relativistica compensa- ta da effetti polarizzatori (d) Regione dominata da radiazione di fotoni (Bremsstrahlung) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Studiamo altri aspetti della formula Dipende solo dalla velocità della particella La stessa curva può essere utilizzata per particelle di massa diversa Allo stesso valore di g b corrispondono momenti diversi: p = m g b Ha un minimo intorno a g b  al variare di Z da 100 a 7 La dipendenza da Z è contenuta in ne, nell’argomento del logaritmo e in d Introduciamo il valore di ne nella formula La dipendenza della formula dal materiale può essere resa più debole introducendo la variabile x = xr Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

L’unità di misura di x = xr è [x] = g cm-2 Con questa unità di misura si ha una debole dipendenza dal materiale Un numero utile da ricordare è gb 1 10 100 0.1 dE/dx (MeV cm2/g) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

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Ordini di grandezza per i rivelatori
Molti rivelatori di particelle sono basati sulla misura della ionizzazione rilasciata da una particella carica Calcoliamo l’energia rilasciata per alcuni materiali usati normalmente come rivelatori 1 cm Ar gassoso 1 cm scintillatore plastico 300 mm di silicio Moltiplichiamo per la densità Moltiplicando per lo spessore si ottiene 1 cm Ar gassoso MeV 1 cm scintillatore plastico MeV 300 mm di silicio MeV Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Perdita di energia “limitata”
Il termine in inglese è “restricted energy loss” In molte applicazione l’energia rilasciata viene utilizzata per creare ionizzazione che viene poi in qualche modo rivelata e misurata Nei casi in cui l’energia rilasciata è molto elevata l’elettrone può ricevere tanta energia e uscire dal rivelatore In questi casi l’energia rilasciata e l’energia rivelata sono diverse Per questo motivo si usa anche una funzione che descrive il rilascio di energia escludendo i trasferimenti più energetici La curva ovviamente dipende dal “taglio” d-rays E Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Fluttuazioni nella ionizzazione
La perdita di energia di una particella è un fenomeno statistico Le collisioni responsabili del trasferimento di energia sono casuali Le collisioni sono indipendenti La quantità di energia trasferita in ogni collisione è casuale Ha una sua distribuzione di probabilità Se considero l’energia persa da n particelle che attraversano lo stesso spessore di materiale non tutte hanno perso la stessa energia Il fenomeno delle fluttuazioni è stato studiato da Landau† Successivamente da Vavilov La distribuzione dell’energia rilasciata D in uno spessore x di materiale è data dalla funzione La funzione ha un picco (valore più probabile) dato da †L.D. Landau, J. Exp. Phys. (USSR) 8,p. 201 (1944) P.V. Vavilov, Sov. Phys. JETP 5, p 749 (1957) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Fluttuazioni nella ionizzazione
La funzione che dà Dmp è simile alla funzione di Bethe –Bloch Come nel caso della “restricted energy loss” anche nel caso dell’energia più probabile occorre eliminare i rilasci di energia troppo grandi Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Arresto delle particelle: Range
Abbiamo detto che la perdita di energia per ionizzazione è funzione solo della velocità della particella ( e del materiale) Possiamo invertire la formula e scrivere Inoltre, dal momento che Possiamo pertanto calcolare la distanza percor-sa da una particella prima di fermarsi (Range) calcolando l’integrale (cambiando la variabile d’integrazione da g a gb) Arriviamo al risultato Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Fluttuazioni nel Range
Abbiamo visto che la perdita di energia per ionizzazione è un fenomeno casuale soggetto a fluttuazioni Fluttuazioni di Landau Poichè la quantità di energia rilasciata fluttua anche lo spazio percorso prima di arrestarsi fluttua Non tutte le particelle di uguale energia si arrestano dopo aver percorso lo stesso spazio Si può calcolare la distribuzione dello spazio percorso Infine, osserviamo che man mano che la particella rallenta la sua perdita di energia per unità di percorso aumenta Molta energia viene rilasciata alla fine del percorso (picco di Bragg) gb 1 10 100 0.1 dE/dx (MeV cm2/g) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Lezione n. 14

Perdita di energia per gli elettroni
A basse energie gli elettroni perdono energia con meccanismi simili a quelli visti per le particelle pesanti Ci sono tuttavia differenze Si deve tenere conto dell’identità delle particelle L’approssimazione che l’energia persa sia trascurabile non è sempre adeguata A bassa energia la traiettoria dell’elettrone può essere non rettilinea Occorre tenere conto della radiazione già ad energie relativamente basse radiazione ionizzazione Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Perdita di energia per radiazione (elettroni)
Quando l’energia dell’elettrone è molto mag-giore della massa a riposo ( Eme ) diventa importante il meccanismo di perdita di energia per radiazione La radiazione dipende da Z2 e da E La ionizzazione dipende da Z e da lnE Si definisce energia critica il valore Ec per il quale la perdita per ionizzazione e quella per radiazione sono uguali Approssimativamente I fenomeni della radiazione e della creazione di coppie sono strettamente legati elettrone - positrone fotone solidi gas Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

L’energia irraggiata appare sotto forma di raggi X e prende il nome di Bremsstrahlung Ha uno spettro continuo Ė la radiazione emessa dagli elettroni nei tubi a raggi X La distanza percorsa nel materiale dopo la quale l’energia dell’elettrone è ridotta a 1/e del valore iniziale prende il nome di lunghezza di radiazione La perdita di energia per radiazione si può scrivere come Ciò significa che l’energia dell’elettrone varia (diminuisce) secondo la legge Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Bremsstrahlung La radiazione emessa ha le seguenti caratteristiche
A bassa energia L’intensità della radiazione emessa ha un massimo in una direzione perpendicolare alla direzione del moto dell’elettrone La radiazione è polarizzata: il vettore elettrico della radiazione (onda) emessa è prevalentemente parallelo alla velocità Ad alta energia Il fotone è emesso in avanti L’angolo di emissione non dipende dall’energia del fotone Il vettore elettrico è prevalentemente perpendicolare al piano (elettrone-fotone) E q E Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Passaggio dei fotoni nella materia
L’interazione dei fotoni con la materia provoca sostanzialmente 3 tipi di fenomeni Effetto fotoelettrico Estrazione di elettroni legati Diffusione da parte degli elettroni Nell’ipotesi che gli elettroni siano considerati liberi Produzione di coppie elettrone-positrone Sono 3 processi molto complessi e molto diversi tra di loro L’importanza relativa dei 3 processi dipende sostanzialmente da L’energia del fotone Numero atomico del materiale assorbitore Anche nel caso dei fotoni si ha una legge di assorbimento di tipo esponenziale Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Effetto fotoelettrico
In questo processo il fotone riesce a trasferire all’elettrone atomico una quantità di energia sufficiente a ionizzarlo Ovviamente questo processo ha una soglia L’energia di legame degli elettroni in un atomo complesso ha diversi valori discreti legati alla struttura a shell: Ci sono più soglie Il processo è possibile solo se l’energia del fotone è maggiore dell’energia della shell L’elettrone emesso ha un’energia sezione d’urto (barn) 100 101 102 103 104 105 106 107 108 Eg (eV) IK IL IM IN E Piombo Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Effetto fotoelettrico
Il valore delle energie a cui si hanno le discontinuità è dato approssimativamente dalla relazione Rhc = eV è l’energia di Rydberg n numero quantico principale s costante di schermo Dipendono dalla shell L’orbitale lasciato vuoto dal processo viene successivamente riempito da un elettrone più esterno con emissione di radiazione Radiazione di fluorescenza Ė anche possibile che nel processo di riempimento di un orbitale interno da un elettrone esterno l’energia in eccesso venga emessa come energia cinetica di un elettrone esterno espulso anch’esso Effetto Auger: elettroni monocromatici Ad esempio Effetto fotoelettrico su shell K Riempita da elettrone della shell L Emissione di un elettrone della shell M L’effetto fotoelettrico è trascurabile per energie maggiori di 1 MeV Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Scattering Compton Lo scattering Compton è l’interazione di un fotone con un elettrone debolmente legato che può essere considerato libero Può essere visto come l’urto di un fotone su un elettrone inizialmente a riposo Ė facile verificare che L’effetto Compton è il processo dominante nella regione fra 0.1 e 10 Mev Ad energie molto basse è importante lo scattering Rayleigh: interazione coerente con tutto l’atomo sezione d’urto (barn) 10-2 10-1 100 101 102 104 106 108 1010 Eg (eV) Piombo q Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Produzione di coppie Come abbiamo detto la produzione di coppie è molto simile alla Bremsstrahlung La produzione di coppie deve avvenire in presenza di un campo elettrico intenso (ad esempio il campo elettrico di un nucleo) Nello spazio vuoto non è cinematicamente possibile La sezione d’urto cresce rapidamente appena superata la soglia Ad alta energia gli elettroni hanno un momento che forma con la direzione del fotone un angolo L’energia k si suddivide fra i due elettroni sezione d’urto (barn) 10-2 10-1 100 101 102 104 106 108 1010 Eg (eV) Piombo 0.5 GeV 0.1 GeV Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Assorbimento di fotoni

Dosimetria La perdita di energia è importante anche per i suoi effetti biologici La dose è la quantità di energia depositata per unità di massa La sua unità di misura è il Gray L’effetto della radiazione dipende non solo dalla quantità di energia rilasciata ma anche dalla densità della radiazione depositata Si usa la dose equivalente per avere una stima migliore del danno biologico causato dalla distruzione nelle cellule di legami chimici e molecolari Il rischio più importante costituito dalle mutazioni che possono originare cancro L’unità di misura della dose equivalente è il Sievert (Sv) Il fattore wr ha una origine empirica Tiene conto del rischio causato da lunga esposizione a diversi tipi di radiazione Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Acceleratori di particelle
Per accelerare una particella carica occorre un campo elettrico Poco pratico: Per raggiungere elevate energie occorrono tensioni elevatissime 1 milione di volt per 1 MeV LHC avrà energie di 7 TeV 1 TeV = 1012 eV = 106 MeV 0 KV 100 KV 200 KV 300 KV 400 KV 500 KV 600 KV + - + - + - + - + - + - Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Acceleratori di particelle
Si fa in modo che il potenziale acceleratore viaggi con la particella Il potenziale che viaggia è un’onda elettromagnetica Il campo elettrico deve essere longitudinale La velocità dell’onda e della particella devono essere uguali Cavità risonanti: immagazzinano tanta energia ( r ~ |E|2 ) Limitato dall’emissione di elettroni dalle pareti + - -50 KV +50 KV + - -50 KV +50 KV + - -50 KV +50 KV + - -50 KV +50 KV + - -50 KV +50 KV + - -50 KV +50 KV Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Acceleratori lineari Per costruire un acceleratore si possono disporre tante cavità acceleratrici in serie ( Acceleratore Lineare ) L’Acceleratore Lineare PEP II di SLAC (Stanford, California) e Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Acceleratori Circolari
Anello con alto vuoto ( Beam Pipe) Un campo magnetico perpendicolare al disegno confina le particelle in una orbita circolare Le particelle sono preaccelerate da un acceleratore lineare (LINAC) Vengono iniettate nell’anello dell’accelera-tore: Il campo magnetico viene regolato in modo che p = 0.3 BR Le particelle seguono un’orbita circolare Una cavità accelera le particelle ad ogni attraversamento Il campo magnetico aumenta in fase con l’aumento di energia: sincrotrone La cavità compensa l’energia radiata Essenziale per accelerare elettroni Per raggiungere energie molto elevate si utilizzano molte cavità acceleratore lineare dipoli magnetici cavità acceleratrici Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Moto in campo magnetico
L’equazione del moto di una particella ca-rica in un campo magnetico è In relatività ristretta la quantità di moto si può scrivere come pc = e v/c con e l’energia della particella v la sua velocità L’equazione del moto diventa Moltiplicando per v si ottiene ( v è per-pendicolare a dv e a vB ) Ritroviamo il risultato che il campo ma-gnetico non fa lavoro e l’energia si conserva L’equazione del moto diventa pertanto Cioè la velocità precessa con velocità angolare Wv Se v è perpendicolare a B la traiettoria della particella è una circonferenza per-corsa in un tempo T = 2p/Wv Per trovare il raggio della circonferenza Esprimendo il momento pc in GeV, il raggio in metri e il campo magnetico in Tesla Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Acceleratori Circolari

Cavità acceleratrici Consideriamo un acceleratore con una sola cavità
LEP: C = Km Quando una particella entra nella cavità trova un campo elettrico longitudinale Il campo elettrico è un’onda elettro-magnetica che viaggia con la stessa velocità della particella All’interno di una cavità il campo elettrico varia in funzione del tempo Ad esempio, all’ingresso della cavità La frequenza di rivoluzione della particel-la è La particella deve trovarsi in fase con l’onda elettromagnetica Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Traiettoria sincrona La condizione che la particella entri nella cavità con la stessa fase rispetto alla RF impone che la frequenza nella cavità sia un multiplo della frequenza di rivoluzione Il campo accelerante visto dalla particella dipende dalla fase all’ingresso L’energia guadagnata dalla particella alla fine del suo percorso all’interno della cavità è pertanto Eo è il campo acceleratore massimo della cavità e viene espresso in MV/m La traiettoria sincrona è quella che con-sente alla particella di entrare nella cavi-tà sempre con la stessa fase Nel LEP gli elettroni sono fortemente relativistici ( E ≈ 45 GeV, g ≈ 105 ) Anche in LHC i protoni sono molto relativistici ( E = 7 TeV, g  7.5  103 ) La variazione di energia di una particella lungo l’orbita ( DE MeV ) non può cambiare la velocità al punto di alterare la fase Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Oscillazioni di Fase La fase può variare a causa della varia-zione del raggio dell’orbita Il raggio è determinato dal campo magne-tico e dal momento ( energia, E = p ) dell’elettrone Pertanto Esiste una intervallo di fasi che permette il funzionamento stabile della macchina Ad esempio fs Una particella in anticipo rispetto fs: È soggetta ad un campo maggiore Acquista più energia Percorre una circonferenza maggiore Al giro successivo è in ritardo E f -p p Dg f fs Viceversa, una particella in ritardo: È soggetta ad un campo minore Acquista meno energia Percorre una circonferenza minore Al giro successivo è in anticipo Le particelle pertanto oscillano intorno al punto di stabilità fs La regione di stabilità è individuata nel piano Dg - f Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Lezione n. 15

Moti trasversali Per descrivere il moto di una particella in un acceleratore circolare si utilizzano le seguenti convenzioni Oltre al moto circolare le particelle han-no dei moti trasversali Il campo magnetico è fornito da dipoli magnetici In un dipolo reale il campo non è perfet-tamente uniforme La soluzione è simile a un moto armonico Considerazioni analoghe per il moto lungo z determinato dalla componente Bx I moti trasversali sono pertanto moti ar-monici determinati dalle disuniformità del campo magnetico tramite le funzioni bx(s) e by(s) LEP 45 m < b < 135 m LHC 40 m < b < 180 m l’equazione del moto x z x z s da R ds=Rda Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Oscillazioni di betarone
Nella loro orbita le particelle compiono pertanto un moto oscillatorio, le oscil-lazioni di betatrone Le oscillazioni sono governate dalle funzioni b L’avanzamento di fase complessivo in una rivoluzione completa è Q è detto “tune” (orizzontale o verticale) e rappresenta il numero delle oscillazioni nel corso di una rivoluzione completa Q dipende dalle funzioni b e quindi dai gradienti magnetici Può essere modificato modificando le correnti dei magneti Per una macchina sia stabile occorre che Q non sia un numero intero o razionale In questo caso infatti una particella ripasserebbe con la stessa fase attraverso inevitabili difetti magnetici che farebbero crescere l’ampiezza delle oscillazioni fino alla perdita del fascio La seguente condizione di risonanza deve essere evitata Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Risonanze Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

The LHC tune diagram Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Focalizzazione È importante contenere l’ampiezza dei moti trasversali: quadrupoli La Forza di Lorentz che un campo di questo tipo esercita su una particella positiva è defocalizzante in direzione x focalizzante in direzione z Si può ottenere una funzione focalizzante in entrambe le direzioni utilizzando due quadrupoli ( uno F, uno D) posti in serie e separati da una sezione dritta vuota (O) La struttura FODO è detta “a Gradiente Alternato” o “Focalizzazione Forte” In un quadrupolo il campo magnetico è nullo al centro (e solo al centro) la traiettoria centrale è definita dai centri dei quadrupoli Beam Orbit Monitors ( BOM ) sono montati sui quadrupoli Una particella che non attraversa un qua-drupolo al centro è soggetta ad un ulte-riore campo dipolare Il campo dei quadrupoli contribuisce alle funzioni b S N x z F O D F B F v B v Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

“Strong Focusing” La focalizzazione forte permette di ridurre l’ampiezza delle oscillazioni trasversali di circa un fattore 100, quindi da metri a centimetri Le camere a vuoto e i magneti possono essere ridotti di conseguenza Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Energia e Campo Magnetico
La relazione fra momento e campo magnetico è (per gli elettroni di LEP p = E) Tenendo conto delle variazioni di B lungo l’orbita Definendo il momento medio Il sistema magnetico di LEP (dipoli, quadrupoli, sestupoli) è conosciuto con elevata precisione (relativa): Modelli per la variazione del campo nelle varie posizioni Durante il funzionamento dell’acceleratore vengono registrate continuamente: La corrente dei magneti La temperatura dei magneti Le letture delle sonde NMR … molto altro … Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Bersaglio Fisso e Collis(ionat)ori
Gli acceleratori vengono utilizzati con due modalità di funzionamento Fascio estratto: esperimenti a bersaglio fisso Collider: collisione di fasci Storicamente la modalità con fascio estratto è stata la prima a essere utilizzata La differenza principale fra le due modalità è la massima energia disponibile per produrre nuove particelle Fondamentale nella scoperta di nuovi fenomeni Vediamo qual’è l’energia minima che deve avere un protone pre produrre una particella di massa MX In una collisione di un protone fascio con un nucleone bersaglio si ha Tralasciamo la conservazione di numeri quantici (carica, numero barionico,…) Dalla cinematica La soglia per la produzione corrisponde al valore di s per il quale nel centro di massa della particelle 3 e della particella X esse sono a riposo L’energia è stata usata solo per produrre massa (zero energia cinetica) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Bersaglio Fisso e Collisori
Il valore di s corrispondente è Per un esperimento a bersaglio fisso si ha L’energia minima per la produzione della massa MX è pertanto Per un esperimento con fasci in collisione si ha L’energia minima per la produzione della massa MX è pertanto Con i fasci in collisione, a parità di energia del fascio, si producono masse più elevate Ebeam (GeV) MX (GeV) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

La luminosità Abbiamo visto che in un collisore due fasci di particelle sono fatti circolare in direzione opposta e fatti collidere in opportune regioni (punti di intersezione) dove sono installati i rivelatori I fasci sono raggruppati in pacchetti (bunches): n1 e n2 sono il numero di particelle nei bunches dei due fasci di area (sezione) S La frequenza delle collisioni dei due bunches è f Se s è la sezione d’urto di un dato processo, il numero di eventi di quel processo prodotti al secondo è Si definisce Luminosità Si misura in cm-2s-1 In un dato esperimento il numero di eventi prodotti è Si definisce Luminosità Integrata La luminosità integrata è l’inverso di una sezione d’urto; si misura in nb-1, pb-1… In un esperimento, nota la lumino-sità integrata la sezione d’urto è Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Apparati Sperimentali
In una interazione vengono prodotte: Particelle cariche Adroni (interazione forte) Leptoni carichi (interazione elettromagnetica) Particelle neutre Fotoni Adroni (neutroni, kaoni) Leptoni neutri: neutrini (invisibili) Funzioni del rivelatore Misura della quantità di moto delle particelle cariche Misura dell’energia delle particelle neutre Identificazione Elettroni,fotoni Adroni Muoni rivelatore adroni rivelatore muoni B tracciatore rivelatore elettroni/fotoni Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Esempio: Interazione e+e- in ALEPH

The first ATLAS Collision

ATLAS Beam Halo Event (November 2009)

Dati dai rivelatori Come funzionano i rivelatori:
I rivelatori producono Mbytes di informazioni al secondo Le informazioni vengono raccolte ed elaborate da computers Si possono produrre “immagini virtuali” dell’evento Si analizzano i dati per misurare grandezze fisiche Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Immagini virtuali Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Gli Esperimenti: ATLAS

Lezione n. 12

Tracking p = 0.3·B·R p = mo g b
Per Tracking si intende la ricostruzione della traiettoria di particelle cariche (tracce) negli esperimenti di fisica delle particelle elementari Lo scopo è misurare (lista non completa ) segno della carica momento (campo magnetico) p = 0.3·B·R Identificazione delle particelle (massa); non necessariamente lo stesso rivelatore tagging di vita media vertice secondario p = mo g b vertice primario parametro d’impatto Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Moto in campo magnetico
Abbiamo già visto che in un campo magnetico l’energia di una particella non cambia L’equazione del moto è Untilizzando come variabile la lunghezza l della traiettoria percorsa invece di t Si ottiene Nel caso di un campo magnetico non omogeneo B(l) varia lungo la traiettoria la traiettoria r(l) si trova risolvendo un’equazione differenziale Nel caso di B omogeneo La soluzione è un’elica B vz vs v Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Spettrometri magnetici
Molti esperimenti di fisica delle particelle elementari con acceleratori hanno uno spettrometro magnetico per misurare il momento delle particelle cariche Si utilizzano prevalentemente 2 configurazioni campo magnetico solenoidale campo magnetico dipolare Campo solenoidale Campo dipolare z x y B z y x B Simmetria cilindrica Deflessione nel piano x - y (r - f) I rivelatori sono disposti su gusci cilindrici (chiusi da “tappi”) Misura della traiettoria curva nel piano r - f a fissati r Simmetria rettangolare Deflessione nel piano y - z I rivelatori sono disposti su piani paralleli perpendicolari a z Misura della traiettoria curva nel piano y - z a fissati z Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Tracking Systems: ATLAS
Pixel Detector 3 barrels, 3+3 disks: 80106 pixels barrel radii: 4.7, 10.5, 13.5 cm pixel size 50400 mm srf= 6-10 mm sz = 66 mm SCT 4 barrels, disks: 6.3106 strips barrel radii:30, 37, 44 ,51 cm strip pitch 80 mm stereo angle ~40 mr srf= 16 mm sz = 580mm TRT barrel: 55 cm < R < 105 cm 36 layers of straw tubes srf= 170 mm channels Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Tracking Systems: CMS 2,4 m 5.4 m volume 24.4 m3 Pixel
Pixel Detector 2 barrels, 2 disks: 40106 pixels barrel radii: 4.1, ~10. cm pixel size 100150 mm srf= 10 mm sz = 10 mm Internal Silicon Strip Tracker 4 barrels, many disks: 2106 strips barrel radii: strip pitch 80,120 mm srf= 20 mm sz = 20 mm External Silicon Strip Tracker 6 barrels, many disks: 7106 strips barrel radii: max 110 cm strip pitch 80, 120 mm srf= 30 mm sz = 30 mm 5.4 m Outer Barrel –TOB- Inner Barrel –TIB- End cap –TEC- Pixel 2,4 m volume 24.4 m3 Inner Disks –TID- 93 cm 30 cm Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Tracking Systems: ATLAS & CMS

Misura del momento Il momento della particella è proiettato lungo 2 direzioni Nel piano r - f si misura il momento trasverso p Nel piano r - z si misura l’angolo di dip l Sagitta e momento La misura della sagitta e della lunghezza della traiettoria permettono la misura di R (e quindi di p ) l l Ordini di grandezza Assumiamo una lunghezza di 1 m s R 2a Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Misura del momento Una volta misurato il momento trasverso e l’angolo di dip il momento totale è L’errore sul momento è Ė necessario studiare L’errore sul raggio misurato sul piano di curvatura r - f L’errore sull’angolo di dip misurato sul piano r - z Commento: In un collider adronico l’enfasi è sul momento trasverso I processi elementari fra i partoni non sono a riposo nel sistema di laboratorio La conservazione dell’impulso per vincolare grandezze non misurate è utilizzabile solo nel piano trasverso Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Misura del momento y3 s y1 y2 R 2a
Vediamo come l’errore sul momento è legato alla precisione con cui vengono misurati le coordinate della traiettoria (risoluzione spaziale) Ritornando alla sagitta Assumiamo di avere 3 misure: y1, y2, y3 Otteniamo Combinando i risultati ottenuti Aspetti salienti dell’errore sul momento L’errore percentuale è proporzionale al momento stesso È inversamente proporzionale a B È inversamente proporzionale a 1/L2 È direttamente proporzionale alla risoluzione spaziale dy y3 s y1 y2 R 2a Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Equazione dell’elica l B
In forma parametrica l’elica è descritta dalle equazioni l è l’angolo di “dip” h =±1 è il senso di rotazione sull’elica La proiezione sul piano x-y plane è una circonferenza xo e yo sono le coordinate a s = 0 Fo è anche legato alla pendenza della tangente alla circonferenza a s = 0 B l Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Equazione dell’elica Per ricostruire la traiettoria si posizionano piani di misura lungo il percorso della particella Usualmente si considerano le proiezioni su due piani perpendicolare a B (x,y): circonferenza contenente B (x,z), (y,z) or (r,z) Nel piano che contiene B (per esempio il piano y - z) la traiettoria è una funzione periodica di z Tuttavia, per momenti elevati, ad esempio R tanl >> ( z-zo ), assumendo per semplicità h = 1, Fo = 0 linea retta linea retta Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

The Helix Equation Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Rivelatori a semiconduttore
Si realizzano rivelatori di posizione utilizzando semiconduttori si utilizza silicio con tecniche di fabbricazione di circuiti integrati spessore tipico 300 mm Un tipico esempio: materiale n implantazioni p passo tipico 50 mm giunzione p - n inversamente polarizzata regione senza cariche mobili (depleteted region) Una particella carica che attraversa la regione svuotata produce ionizzazione la ionizzazione si muove sotto l’effetto del campo elettrico e viene raccolta sugli elettrodi La posizione dell’elettrodo individua la posizione della traiettoria Realizzazione dei contatti alluminio passivazione di SiO2 giunzione p-n implantazione di silicio p+ silicio di tipo n+ silicio di tipo n contatto ohmico Vo + - implantazione n+ passivazione etching Al deposit Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Microstips detectors, Pixel detectors
A seconda delle dimensioni delle implantazioni si hanno due tipi di rivelatori Rivelatori a microstrip dimensioni tipiche passo 50 mm lunghezza 5 cm Rivelatori a pixel 80 mm  80 mm entrambe le direzioni con la stessa precisione 50 mm  400 mm una direzione più con maggiore precisione Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

elettronica di lettura
Interconnessione Uno dei problemi più complessi con i rivelatori a Pixels è la connessione collegare i singoli pixels ai canali di elaborazione elettronica Tecnica del Bump bondig sensori elettronica di lettura bumps chip flip Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Moduli Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Sistema Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Vecchi rivelatori Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Risoluzione spaziale Qualè la risoluzione spaziale di un rivelatore di questo tipo ? Una particella che lo attraversa interessa una strip la posizione della strip è xi Sono misurate con la stessa posizione tutte le particelle che attraversano il rivelatore ad una posizione compresa fra L’errore di misura è uniformemente distribuito Il valor medio della distribuzione è ovviamente xi La varianza della distribuzione è Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Migliorare la risoluzione
La risoluzione può essere migliorata utilizzando la suddivisione della carica La carica rilasciata si suddivide fra due strip adiacenti Il rapporto con cui si suddividono dipende dalla posizione fra le due strip no charge sharing: 1 hits charge sharing: 2 hit Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Alcuni membri del nostro gruppo

Lezione n. 18

Lezione n. 19

Lezione n. 20

Veniamo al trattamento quantistico della perdita di energ Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Interludio: velocità del centro di massa
In relatività ristretta occorre ridefinire la velocità del centro di massa Consideriamo un gruppo di n particelle caratterizzate da quadrimomenti pk Le possiamo considerare un’unica particella caratterizzata da Ricordiamo che Allora la particella fittizia ha velocità Il centro di massa si muove solidalmente con la particella fittizia. La sua velocità è b. Consideriamo adesso l’urto di due particelle di cui una a riposo (sistema di laboratorio) la velocità del centro di massa in questo sistema è Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Interludio:massimo momento trasferito
Consideriamo adesso l’urto di una particella pesante (un protone) con una leggera (un elettrone) Nel loro centro di massa le particelle hanno lo stesso momento e si urtano frontalmente Il massimo momento trasferito si ha quando l’elettrone “rimbalza” indietro In questo sistema il momento dell’elettrone si trova con la trasformazione di Lorentz dal laboratorio (dove l’elettrone è fermo) al centro di massa Indichiamo con g* e b* la velocità del centro di massa Otteniamo (v. PDG, Kinematics p. 275) Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Abbiamo detto che il massimo momento trasferito alla particella 2 (elettrone) si ha quando essa ritorna indietro Questo nel sistema del centro di massa Ritorniamo nel sistema di laboratorio Nel sistema di laboratorio la particella 2 ha il momento che si ottiene con la trasformazione inversa Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Pertanto la massima variazione di momento nel sistema di laboratorio è Utilizzando i valori trovati per g* e b* Otteniamo Nel caso del protone che incide su un elettrone fermo (mp  me) vediamo che la variazione di momento può essere approssimata come In particolare se gp = Ep/mp  1 tutto il momento può essere trasferito all’elettrone Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Interludio:massima energia trasferita
Analogamente la variazione di energia del bersaglio è Dal momento che g* = (1-b*2)-1 si verifica facilmente che Otteniamo pertanto il risultato Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

Parametro d’impatto: limite inferiore
Ritorniamo al parametro d’impatto possiamo stimare il limite minimo bmin come il parametro d’impatto che corrisponde alla massima energia trasferibile appena calcolata ponendo g*  g, b*  b e uguagliando in conclusione Vedremo che questa approssimazione (classica) risulta troppo grossolana produce un valore di bmin troppo piccolo non tiene conto della meccanica quantistica Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Francesco Ragusa

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