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Prof.ssa A. Sia Le funzioni. Prof.ssa A. Sia Definizione: Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione?

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Presentazione sul tema: "Prof.ssa A. Sia Le funzioni. Prof.ssa A. Sia Definizione: Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione?"— Transcript della presentazione:

1 Prof.ssa A. Sia Le funzioni

2 Prof.ssa A. Sia Definizione: Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione? Possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output. Prende un oggetto come Input e fornisce un oggetto come Output. E questo avviene secondo una precisa (univoca) relazione. Per noi "oggetto" per adesso significa "numero". Quindi una funzione per noi per ora è una macchina che prende un numero come Input e lo trasforma in un numero come Output. Ecco una macchina del genere:

3 Prof.ssa A. Sia La macchina eleva al quadrato il numero dato. L'idea è di assegnare a ciascun numero il suo quadrato. La relazione è dunque "elevare al quadrato". Così abbiamo definito una funzione. Potremmo chiamarla "funzione quadrato". Per scrivere le funzioni in matematica esistono 2 notazioni: 1. 1.Quella con la freccia f: x -> x Quella con luguale f(x)= x 2

4 Prof.ssa A. Sia Definizione di funzione: Dati due insiemi A e B, si dice funzione (f: A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B Si possono considerare funzioni anche per oggetti matematici diversi dai numeri. Per definire una funzione abbiamo bisogno di due insiemi che chiamiamo A e B. Noi ci occuperemo e studieremo solo funzioni numeriche ovvero funzioni reali di variabile reale

5 Prof.ssa A. Sia Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un'altra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di dipendenze La grandezza...è una funzione... posizione di un veicolodel tempo energia di un asteroide in cadutadella sua velocità precipitazioni mediedella posizione sul nostro pianeta quantità di vernice necessariadell'area della superficie da verniciare importo sul libretto di risparmio (su cui sono depositati 1000 Euro) dopo un anno degli interessi quantità di funghi raccolti delle precipitazioni nei giorni precedenti

6 Prof.ssa A. Sia Funzioni iniettive: Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A (Dominio) corrispondono elementi distinti di B (Codominio). Si può anche scrivere x 1 x 2 A -> f(x 1 ) f(x 2 ) B Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. Si può anche scrivere x 1, x 2 A x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo y B da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento x A Funzione iniettivaFunzione non iniettiva

7 Prof.ssa A. Sia Funzioni suriettiva: Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Ogni elemento del codomino deve avere almeno un corrispondente nel dominio Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. Si può anche scrivere x 1, x 2 A x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo y B da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento x A Funzione suriettivaFunzione non suriettiva

8 Prof.ssa A. Sia Funzioni biettiva: Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva viene detta corrispondenza biunivoca. iniettiva suriettivainiettiva suriettiva Ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. Si può anche scrivere x 1, x 2 A x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo y B da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento x A Funzione biettiva

9 Prof.ssa A. Sia

10 cosa succede se dobbiamo risolvere delle disequazioni in cui una o più espressioni contenenti lincognita compaiono in valore assoluto? Per risolvere queste disequazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire allincognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e lequazione data assume forma diversa nei suddetti intervalli

11 Prof.ssa A. Sia Esempio disequazione con valore assoluto: studiamo lespressione con il v.a. |x-1|>4-2x Quando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1 quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1 quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1 -x+1 x+1 e di conseguenza anche lequazione assume forme diverse in ciascuno di questi intervalli: Quando x>=1 lequazione diventa x - 1 > 4 - 2x quando x<1 lequazione diventa - x + 1 > 4 - 2x

12 Prof.ssa A. Sia Perciò risolvere lequazione con il valore assoluto |x-1|>4-2x vuol dire risolvere due sistemi, contenenti le forme diverse dellequazione negli intervalli determinati dal v.a. e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi

13 Prof.ssa A. Sia e se i valori assoluti nella disequazione sono due oppure più di due? Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le forme diverse di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! Lunione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!

14 Prof.ssa A. Sia htm#WasisteineFunktion


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