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Sistemi di Numerazione. 5 Numero e Numerale Entità astratta; idea che si ha della quantità. E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli.

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1 Sistemi di Numerazione

2 5 Numero e Numerale Entità astratta; idea che si ha della quantità. E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli. Numero: Numerale: V

3 Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e principi, che si usano per rappresentare correttamente i numeri. Fra i principi elenchiamo: 1. Principio dell' Ordine 2. Principio della Base Che cos'è un Sistema di Numerazione ? 3. Principio posizionale

4 Tutte le cifre in un numerale, hanno un ordine, per convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra. Esempio: 568 1. Principio dell' Ordine 1° Ordine 2° Ordine 3° Ordine Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra, il posto è contato da sinistra a destra Osservazione:

5 Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo di come si devono raggruppare le unità. Esempio: 2. Principio della Base Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6: 23 (6) Gruppi Unità che avanzano = 15

6 Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario ( Base 5 ) ? 40 (5) Gruppi Unità che avanzano = 20 Nel sistema Quinario, dobbiamo raggruppare di 5 in 5.

7 Per rappresentare un numero in un sistema differente dal decimale, si usa il metodo delle: Divisioni Successive Come rappresentare un numero in un'altra base ? Esempio: Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 ) 2437 34 5 7 4 6 Allora: 243 =465 (7)

8 La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante cifre si possono usare nel sistema: BaseSistemaCifras que emplea 2 Binario0; 1 3 Ternario0; 1; 2 4 Quaternario0; 1; 2; 3 5 Quinario0; 1; 2; 3; 4 6 Senario0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Eptale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Ottale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Endecimale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A 12 Duodecimale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B A = 10B = 11

9 In un numerale tutte le cifre hanno un valore posizionale, vediamo un esempio: 457 3. Principio posizionale: Unità Decine Centinaia La somma dei valori posizionali, ci dà il numero. Osservazione: = 7.1 = 7 = 5.10 = 50 = 4.100 = 400 400 + 50 + 7 = 457

10 Scrittura polinomiale nel sistema decimale Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori posizionali delle sue cifre. Esempi:

11 Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un altro sistema di numerazione Esempio: 4357= (9) 1 9 9 2 9 3 4.9 + 3 3.9 + 2 5.9 +7.1 (cioè 7. 9 0 )

12 Altri esempi: 2143= 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3 (5) 3 2 124= 1.6 + 2.6 + 4 (6) 2 54= 5.8 + 4 (8) 346= 3.8 + 4.8 + 6 (8) 2 23A5= 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5 (11) 3 2

13 Ejemplos: Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un numerale qualsiasi a quello equivalente nel Sistema Decimale 4521= 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1 (7) 3 2 = 4.343 + 5.49 + 14 + 1 = 1632 124= 1.5 + 2.5 + 4 (5) 2 = 1.25 + 10 + 4 =39 64= 6.8 + 4 = (8) 52

14 Esempi: In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei numerali con base incognita Se 2x3y= 2.5 + x.5 + 3.5 + y (5) 3 2 = 2.125 + x.25 + 15 + y = 265 + 25x + y Allora 352 = 3.n + 5.n + 2 (n) 2 xyz= x.a + y.a + z (a) 2 2abc= 2.x + a.x + b.x + c (x) 3 2

15 Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra, se legge come da sinistra a destra. Esempi: Alcuni Concetti conclusivi 44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321 Numerale Palindromo (Bifronte) In generale, con simboli letterali, si rappresentano così: aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; ……. Cifra Significativa Si chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema decimale le cifre significative sono: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9

16 Esercitazioni

17 Esercizio 1: Se: ab + ba = 132, calcolare (a+b). Scomponiamo polinomialmente: (10a + b) + (10b + a) = 132 11a + 11b = 132 a + b = 12 Sommiamo i termini simili: Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11: Risposta.

18 Esercizio 2: Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma delle sue cifre?. Se il numerale è di due cifre, allora sarà: ab 10a + b = 2a = b Dalle informazioni: ab = 4 ( a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: 6a = 1 2 2 4 ab = 4a + 4b 3b 12 24 3 6 4 8 ab = 36 48 Risposta: Ci sono 4 numerali di due cifre che soddisfano le condizioni date

19 Esercizio 3: Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre. Se il numerale inizia con 6, allora sarà: 6ab 600 + 10a + b = 30 = 5a + 6b Per i dati: 2 Risposte. 6ab = 55 ( 6+a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: Sommiamo i termini simili e semplifichiamo: 270 = 0 5 6 0 6ab = 330 + 55a + 55b 45a +54b 605 660

20 Esercizio 4: Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a destra, il numerale aumenta di 2871. Trovate il numerale. Se è un numerale di due cifre: ab 100 ab – ab = Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo: ab00 Però: Perciò l'aumento è: 99. ab = 2871 ab00 = Allora: ab = 29 Risposta. ab. 100 =100.ab 99.ab

21 Esercizio 5: Se: abcd = 37.ab + 62.cd, calcolare (a+b+c+d) abcd = ab00 + cd Sostituendo, abbiamo: = 100.ab + cd 100.ab + cd = 37.ab + 62.cd 63.ab = 61.cd ab 61 cd 63 = Allora: ab = 61cd = 63y Risposta.Di conseguenza:a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16

22 Calcolare il valore di a, in: 13a0= 120 (4) Convertiamo 120 nel sistema quaternario Risposta. 1204 30 0 4 7 2 4 1 3 120 =1320 (4) Sostituendo ad a il 2 abbiamo: 13a0 = (4) 1320 (4) a = 2 Esercizio 6:

23 Calcolare il valore di a, in: 2a2a= 1000 (7) Scomponiamo polinomialmente 2.7 + a.7 + 2.7 + a 3 2 = 1000 686 + 49a + 14 + a = 1000 700 + 50a= 1000 50a= 300 a= 6 Risposta Esercizio 7: 2.343 + a.49 + 14 + a = 1000

24 Se i numerali: n23 ; (m) Sicuramente: BASE > CIFRA Risposte. p21 ; (n) n3m y (6) 1211 (p) Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p. n23 (m) m > n m > 3y p21 (n) n > p n > 2y n3m (6) 6 > n 6 > my 1211 (p) p > 2 Ordinando, si ha: 6 > m> n> p> 2 5 3 4 Esercizio 8:

25 Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di base 6. 555 (6) Il maggior numero di tre cifre di base 6 è: 2158 26 7 8 3 2 = 215 = 327 (8) La cifra di ordine minore è 7 Esercizio 9: Trasformandolo in base 10: 555= 5.6 + 5.6 + 5 (6) 2 = 180 + 30 + 5 =215 Adesso nel sistema ottale (base 8): 555 (6)


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