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Sistemi di Numerazione. 5 Numero e Numerale Entità astratta; idea che si ha della quantità. E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli.

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1 Sistemi di Numerazione

2 5 Numero e Numerale Entità astratta; idea che si ha della quantità. E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli. Numero: Numerale: V

3 Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e principi, che si usano per rappresentare correttamente i numeri. Fra i principi elenchiamo: 1. Principio dell' Ordine 2. Principio della Base Che cos'è un Sistema di Numerazione ? 3. Principio posizionale

4 Tutte le cifre in un numerale, hanno un ordine, per convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra. Esempio: Principio dell' Ordine 1° Ordine 2° Ordine 3° Ordine Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra, il posto è contato da sinistra a destra Osservazione:

5 Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo di come si devono raggruppare le unità. Esempio: 2. Principio della Base Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6: 23 (6) Gruppi Unità che avanzano = 15

6 Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario ( Base 5 ) ? 40 (5) Gruppi Unità che avanzano = 20 Nel sistema Quinario, dobbiamo raggruppare di 5 in 5.

7 Per rappresentare un numero in un sistema differente dal decimale, si usa il metodo delle: Divisioni Successive Come rappresentare un numero in un'altra base ? Esempio: Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 ) Allora: 243 =465 (7)

8 La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante cifre si possono usare nel sistema: BaseSistemaCifras que emplea 2 Binario0; 1 3 Ternario0; 1; 2 4 Quaternario0; 1; 2; 3 5 Quinario0; 1; 2; 3; 4 6 Senario0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Eptale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Ottale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Endecimale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A 12 Duodecimale0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B A = 10B = 11

9 In un numerale tutte le cifre hanno un valore posizionale, vediamo un esempio: Principio posizionale: Unità Decine Centinaia La somma dei valori posizionali, ci dà il numero. Osservazione: = 7.1 = 7 = 5.10 = 50 = = = 457

10 Scrittura polinomiale nel sistema decimale Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori posizionali delle sue cifre. Esempi:

11 Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un altro sistema di numerazione Esempio: 4357= (9) (cioè )

12 Altri esempi: 2143= (5) = (6) 2 54= (8) 346= (8) 2 23A5= (11) 3 2

13 Ejemplos: Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un numerale qualsiasi a quello equivalente nel Sistema Decimale 4521= (7) 3 2 = = = (5) 2 = =39 64= = (8) 52

14 Esempi: In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei numerali con base incognita Se 2x3y= x y (5) 3 2 = x y = x + y Allora 352 = 3.n + 5.n + 2 (n) 2 xyz= x.a + y.a + z (a) 2 2abc= 2.x + a.x + b.x + c (x) 3 2

15 Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra, se legge come da sinistra a destra. Esempi: Alcuni Concetti conclusivi 44 ; 373 ; 4224 ; ; ; Numerale Palindromo (Bifronte) In generale, con simboli letterali, si rappresentano così: aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; ……. Cifra Significativa Si chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema decimale le cifre significative sono: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9

16 Esercitazioni

17 Esercizio 1: Se: ab + ba = 132, calcolare (a+b). Scomponiamo polinomialmente: (10a + b) + (10b + a) = a + 11b = 132 a + b = 12 Sommiamo i termini simili: Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11: Risposta.

18 Esercizio 2: Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma delle sue cifre?. Se il numerale è di due cifre, allora sarà: ab 10a + b = 2a = b Dalle informazioni: ab = 4 ( a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: 6a = ab = 4a + 4b 3b ab = Risposta: Ci sono 4 numerali di due cifre che soddisfano le condizioni date

19 Esercizio 3: Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre. Se il numerale inizia con 6, allora sarà: 6ab a + b = 30 = 5a + 6b Per i dati: 2 Risposte. 6ab = 55 ( 6+a+b ) Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo: Sommiamo i termini simili e semplifichiamo: 270 = ab = a + 55b 45a +54b

20 Esercizio 4: Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a destra, il numerale aumenta di Trovate il numerale. Se è un numerale di due cifre: ab 100 ab – ab = Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo: ab00 Però: Perciò l'aumento è: 99. ab = 2871 ab00 = Allora: ab = 29 Risposta. ab. 100 =100.ab 99.ab

21 Esercizio 5: Se: abcd = 37.ab + 62.cd, calcolare (a+b+c+d) abcd = ab00 + cd Sostituendo, abbiamo: = 100.ab + cd 100.ab + cd = 37.ab + 62.cd 63.ab = 61.cd ab 61 cd 63 = Allora: ab = 61cd = 63y Risposta.Di conseguenza:a+b+c+d = = 16

22 Calcolare il valore di a, in: 13a0= 120 (4) Convertiamo 120 nel sistema quaternario Risposta =1320 (4) Sostituendo ad a il 2 abbiamo: 13a0 = (4) 1320 (4) a = 2 Esercizio 6:

23 Calcolare il valore di a, in: 2a2a= 1000 (7) Scomponiamo polinomialmente a a 3 2 = a a = a= a= 300 a= 6 Risposta Esercizio 7: a a = 1000

24 Se i numerali: n23 ; (m) Sicuramente: BASE > CIFRA Risposte. p21 ; (n) n3m y (6) 1211 (p) Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p. n23 (m) m > n m > 3y p21 (n) n > p n > 2y n3m (6) 6 > n 6 > my 1211 (p) p > 2 Ordinando, si ha: 6 > m> n> p> Esercizio 8:

25 Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di base (6) Il maggior numero di tre cifre di base 6 è: = 215 = 327 (8) La cifra di ordine minore è 7 Esercizio 9: Trasformandolo in base 10: 555= (6) 2 = =215 Adesso nel sistema ottale (base 8): 555 (6)


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