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06/06/20021 Mappa La scoperta delle onde solitarie Lequazione di Korteweg-de Vries Il modello di Zabusky-Kruskal e la definizione di Solitone Esempi di.

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2 06/06/20021 Mappa La scoperta delle onde solitarie Lequazione di Korteweg-de Vries Il modello di Zabusky-Kruskal e la definizione di Solitone Esempi di soluzioni solitoniche Presenza di Solitoni nei Plasmi

3 06/06/20022 Il lavoro di J.Scott Russel Nel 1834 lo scienziato Scott Russel stava cavalcando lungo il canale che congiungeva Edinburgo a Glasgow…una barca trainata da una coppia di puledri si fermò improvvisamente vicino a lui. Con sorpresa notò il comportamento anomalo dellonda generata dalla barca; la massa dacqua messa in moto ed accumulatasi in stato di violenta agitazione di fronte alla prua del battello continuò infatti la sua corsa.

4 06/06/20023 Il lavoro di J.Scott Russel Ecco come documentò la sua osservazione alla British Association nel 1844: […]when the boat suddenly stopped-not so the mass of water in the channel wich it had put in motion; […]it assumed the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, wich continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed, preserving its original figure…

5 06/06/20024 Il lavoro di J.Scott Russel Russel allestì dunque alcuni esperimenti, gettando in un piccolo canale dacqua alcuni pesi,ed osservando le caratteristiche delle onde generate.

6 06/06/20025 Il lavoro di J.Scott Russel Alla fine riuscì a ricavare empiricamente la legge che lega la velocità allaltezza dellonda: Dove g è laccelerazione di gravità, a laltezza dellonda ed h il livello dellacqua indisturbata.

7 06/06/20026 Il lavoro di J.Scott Russel Possiamo quindi, alla luce delle osservazioni fatte da Russel e di quanto visto fin ora, dare una definizione rigorosa di onda solitaria. Def: la soluzione di una eq. differenziale alle derivate parziali la cui dipendenza da x e t sia del tipo f(x,t)=f(x-vt); con la proprietà che i limiti di f a più e meno infinito siano nulli. E evidente dalla def. che il profilo di unonda solitaria non varia nel tempo.

8 06/06/20027 Lequazione di Korteweg-De Vries Nel 1895 Korteweg e De Vries, riprendendo in parte un lavoro di Rayleigh e Boussinesq, riuscirono a ricavare dalla teoria dei liquidi incomprimibli e non viscosi, una equazione differenziale che governava il moto di una onda lunga debolmente non lineare:

9 06/06/20028 Lequazione di Korteweg-De Vries Prima di vedere la soluzione esatta dellequazione KdV, procediamo ad una analisi qualitativa. Cerchiamo prima le soluzioni per onde di piccola ampiezza, cioè linearizziamo lequazione KdV riscritta nella forma standard:

10 06/06/20029 Lequazione di Korteweg-De Vries Prima di vedere la soluzione esatta dellequazione KdV, procediamo ad una analisi qualitativa. Cerchiamo prima le soluzioni per onde di piccola ampiezza, cioè linearizziamo lequazione KdV riscritta nella forma standard:

11 06/06/ Lequazione di Korteweg-De Vries Sostituendo la soluzione di onda piana otteniamo la legge di dispersione Da cui derivano facilmente: La velocità di gruppo

12 06/06/ Lequazione di Korteweg-De Vries Sostituendo la soluzione di onda piana otteniamo la legge di dispersione Da cui derivano facilmente: La velocità di fase

13 06/06/ Lequazione di Korteweg-De Vries Dunque il termine e dunque è quello responsabile della dispersione del pacchetto ondoso. Consideriamo invece solo il termine non-lineare:

14 06/06/ Lequazione di Korteweg-De Vries Utilizzando il metodo delle caratteristiche si può risolvere la precedente equazione, ottenendo: Da ciò si vede che la velocità caratteristica di propagazione è (1+u). Dunque la parte alta del fronte donda viaggia ad una velocità superiore a quella bassa.

15 06/06/ Lequazione di Korteweg-De Vries Questo causa progressivamente una discontinuità, fino al formarsi di una Shock Wave.

16 06/06/2002Soluzione della KdV a t=0 e v=115 Lequazione di Korteweg-De Vries Anticipando un risultato possiamo dire che nella KdV il contributo dei due termini tende a bilanciarsi, stabilizzando la soluzione. I profili ottenuti tramite integrazioni successive sono infatti della forma [Sech(x-vt)]^2

17 06/06/ La scoperta dei solitoni Esaminando il modello di fononi in un reticolo anarmonico di Fermi,Pasta e Ulam, Zabusky e Kruskal (1965) furono portati a lavorare sulla KdV sfruttando la potenza di calcolo dei nuovi camputer. Imposte le opportune condizioni al contorno…

18 06/06/ La scoperta dei solitoni …ecco quello che videro:

19 06/06/ La scoperta dei solitoni Sì osservò la formazione di otto profili sotto forma di impulsi localizzati, del tipo Sech(x)^2, cioè simili alle soluzioni della KdV. Dopo la fase di stabilizzazione lunica interazione tra loro era la comparsa di uno sfasamento. Linterazione era inoltre chiaramente non lineare. Più erano grandi le ampiezze, maggiori le velocità dei profili.

20 06/06/ La scoperta dei solitoni A queste onde Z. e K. Dettero il nome di Solitoni. Cioè onde solitarie che però preservano la loro forma dopo linterazione, come se fosse ripristinato il principio di sovrapposizione. Pertanto lenergia può propagarsi in pacchetti ben localizzati, senza venir dispersa per processi di interazione non lineari.

21 06/06/ La scoperta dei solitoni Riassumendo si definisce Solitone la soluzione di una equazione differenziale non-lineare che: Rappresenta unonda di forma permanente Può interagire fortemente con altri solitoni mantenendo inalterata la sua forma, come se fosse ancora valido il principio di sovrapposizione E localizzata, decadendo o diventando costante ad infinito

22 06/06/ Lequazione di Schroedinger non lineare Ecco un altro importante esempio di equazione che ammette soluzioni di tipo solitonico; la cosiddetta NSE: In questo caso si hanno come soluzioni oltre a quelle del tipo f(x-vt), anche

23 06/06/ Lequazione di Schroedinger non lineare La cosa interessante è che simulazioni numeriche hanno mostrato anche per questo secondo tipo di soluzione tutte le proprietà delle soluzioni solitoniche. Queste soluzioni sono dette Envelope Solitons. Profilo della parte reale della NSE

24 06/06/ Lequazione di Sine-Gordon Questa eq. ha la stessa forma di quella delle onde, ma con un termine aggiuntivo che la rende non omogenea: Le soluzioni sono:

25 06/06/2002Profilo del Kink24 Lequazione di Sine-Gordon Le due soluzioni prendono il nome di Kink e Anti- Kink.

26 06/06/ Lequazione di Sine-Gordon Oltre a queste due soluzioni, dobbiamo aspettarcene altre che descrivano le interazioni kink-kink o kink-antikink. In particolare linterazione Kink-antiKink da origine ad uno stato legato chiamato Breather, il cui centro di massa è fermo.

27 06/06/ La teoria delle particelle elementari Da quanto visto prima riguardo le molteplici soluzioni della SG e la loro interazione, emerge una analogia stringente tra i solitoni e le particelle elementari. In particolare cè chi sta indagando su una possibile correlazione tra una soluzione solitonica di qualche teoria di campo non-lineare e le proprietà delle particelle elementari.

28 06/06/ Recenti applicazioni nei plasmi I Plasmi freddi possono essere confinati da contenitori metallici o dielettrici con grande facilità. Lo spettro delle loro onde include dei modi chiamatiSurface Waves; esse si sviluppano nella zona di confine tra plasma e superficie, e le loro caratteristiche sono strettamente legate alla forma delle pareti. La loro caratteristica è lattenuazione esponenziale dellenergia con lallontanarsi dal bordo, cioè praticamente sono onde di interfaccia.

29 06/06/ Recenti applicazioni nei plasmi Le Onde di Superficie rappresentano il mezzo di comunicazione tra il plasma e lesterno,e ci possono fornire molte informazioni come la densità elettronica o la frequenza di collisione. Sono utilizzate in Ottica e nelle comunicazioni a fibra ottica per: Misura dello spessore e costante dielettrica di film metallici Analisi di fenomeni di scattering di luce ed elettroni col mezzo esterno Misura delle caratteristiche di assorbimento dei nuovi materiali…

30 06/06/ Recenti applicazioni nei plasmi Si è visto che inviando nel plasma una perturbazione ondosa, detta Pump wave, le Onde di Superficie assumono caratteristiche solitoniche. Studi di V.Vladimirov e N.Tsytovich hanno mostrato la presenza,alla superficie di separazione del plasma, di pacchetti del tipo:

31 06/06/ Recenti applicazioni nei plasmi La precedente equazione ricorda molto da vicino la soluzione della KdV, nonostante il termine addizionale ne vari la larghezza al centro.

32 06/06/ Recenti applicazioni nei plasmi Lavori recentissimi di S.Burman e Roy Chowdhury mostrano invece la presenza di solitoni in plasmi di elettroni-positroni. In particolare utilizzando un procedimento matematico piuttosto pesante, essi hanno dedotto una espressione per la legge di dispersione del plasma da cui far discendere unequazione analoga alla NSE vista in precedenza.

33 06/06/ Fine


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