La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

1 Intersezioni e distanze Daniele Marini. 2 Definizioni utili raggio r(t) semiretta dotata di origine e direzione (solitamente la direzione è normalizzata)

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "1 Intersezioni e distanze Daniele Marini. 2 Definizioni utili raggio r(t) semiretta dotata di origine e direzione (solitamente la direzione è normalizzata)"— Transcript della presentazione:

1 1 Intersezioni e distanze Daniele Marini

2 2 Definizioni utili raggio r(t) semiretta dotata di origine e direzione (solitamente la direzione è normalizzata) superfici: implicite e esplicite –implicite: f(p)=0 - es: x 2 +y 2 +z 2 -r 2 =0 dato il punto p si valuta se appartiene alla superficie risolvendo l’equazione (se =0) –esplicite: f(u,v)=(f x (u,v),f y (u,v),f z (u,v)) - es: f(  )=((r sin  cos  ), (r sin  sin  ), (r cos  ))

3 3 Rette dato un punto p =(x 0, y 0,z 0 ) per cui passa la retta, la sua forma parametrica è: r(t)=p+td dove d è la direzione (vettore normalizzato) e t il parametro, per t>0 abbiamo una semiretta (tipicamente il raggio) le componenti:

4 4 Bounding volume si definiscono tre tipi di bounding volumes: AABB, OBB, k-DOP AABB axis aligned bounding box, un parallelepipedo con le facce parallele ai piani coordinati, si definisce con due valori estremi a min,, a max a min a max

5 5 OBB oriented bounding box è un AABB ruotato rispetto agli assi principali, si può definire con un centro e tre vettori normalizzati che descrivono le direzioni dei lati k-DOP discrete oriented polytope definito da k/2 vettori normalizzati con associati due valori scalari per definire una porzione di piano; in pratica definiscono un poliedro

6 6 Bounding sfera Si utilizza anche la sfera come volume di contenimento lo studio delle intersezioni con i BV è essenziale per l’efficienza

7 7 Intersecare rette usato in ray tracing / ray casting usato per calcolare collisioni il raggio è una semiretta, con direzione data, e un punto di applicazione –la retta è specificata con coseni direttori e un punto da cui passa

8 8 la distanza di un punto q dalla retta r si ottiene proiettando q su r e valutando la norma: r q p d q-p w (q-p)-w

9 9 Intersezione con segmenti segmento per due punti (vettore): il calcolo della intersezione di un raggio con tutti gli oggetti di una scena può essere molto costoso, si riduce sfruttando boundig volumes caso più semplice di BV è la sfera

10 10 Intersezione con una sfera raggio in forma parametrica (vettore): sfera con centro in (l,m,n) e raggio r:

11 11 (x 1,y 1,z 1 ) (x 2,y 2,z 2 ) 01 sostituendo nell’equazione della circonferenza x,y,z (vediamo solo x):

12 12 la forma quadratica generale è quindi: da risolvere come equazione di II grado; se il determinate è 0 due intersezioni, e le radici t 1,t 2 danno il punto di entrata e di uscita del raggio i,j,k sono le differenze (x 2 -x 1 ) ecc. non sono coseni direttori !

13 13 si ricava anche la normale alla sfera nel punto di intersezione (tangenza):

14 14 per accelerare il calcolo si valuta prima il test di rifiuto rejection test le intersezioni “dietro” non interessano si valuta il vettore origine_raggio-centro_sfera, se ne calcola il modulo l 2, se < r 2 l’origine è interna alla sfera –il raggio interseca certamente, se ci interessa solo questo si termina (es: picking) altrimenti si procede) si calcola la proiezione del vettore sul raggio, se <0 e se l’origine è esterna allora la sfera è dietro al raggio e si termina altrimenti si calcola la distanza al quadrato dal centro sfera alla proiezione del vettore sul raggio m 2 se > r 2 il raggio non colpisce la sfera altrimenti si calcola l’intersezione

15 15 fare figura

16 16 Intersezione raggio triangolo (poligono) 3 passi: –determinare il piano su cui giace il triangolo –determinare l’intersezione piano-raggio –valutare se e’ interna al triangolo (poligono) usata anche per clipping, i raggi in questo caso sono i bordi del poligono e il piano è uno dei piani del frustum di visione; trovate tutte le intersezioni si genera un nuovo poligono

17 17 Determinare il piano equazione del piano: Ax+By+Cz+D=0 A,B,C sono le componenti della normale al piano il prodotto vettore tra due vettori identifica la normale dati due lati V, W del triangolo calcoliamo la normale: dove i,j,k sono i versori, quindi A,B,C sono: D si ottiene sostituendo un vertice del poligono nell’equazione (un punto che giace nel piano)

18 18 Intersezione raggio / piano si sostituisce x,y,z dalla equazione parametrica del raggio: se t<0 il raggio è nel semispazio che non contiene il poligono se il denominatore = 0 raggio e piano sono paralleli; per verificare se il raggio è nel semispazio che non contiene il poligono basta testare il segno del numeratore: se > 0 è esterno

19 19 Casi negativi raggio esterno al semispazio che contiene il poligono: t<0 raggio parallelo al piano del poligono: denominatore = 0 –nel semispazio esterno al poligono: numeratore >0 interno esterno raggio

20 20 Test di appartenenza del punto nei casi “positivi” si verifica se l’intersezione col piano cade nel poligono (triangolo) metodo diretto: se interno la somma degli angoli dal punto ai vertici è 360°

21 21 il metodo diretto è costoso, se il punto è su un bordo dà errore, non si può valutare se il poligono è orientato “back face” rispetto alla direzione del raggio (può interessare solo la prima intersezione con un poliedro) algoritmo di Haines: (inizializza t near come minimo valore negativo e t far come massimo positivo) if piano-è-back-face and (tt near ) then t near =t if (t near >t far ) then exit (raggio non interseca)

22 22 fare figura

23 23 Intersezione con OBB si considerano a turno coppie di piani paralleli determinando t near e t far si conserva nel confronto t near maggiore e t far minore se il massimo t near è maggiore del minimo t far non c’è intersezione

24 24 t near t far t near t far


Scaricare ppt "1 Intersezioni e distanze Daniele Marini. 2 Definizioni utili raggio r(t) semiretta dotata di origine e direzione (solitamente la direzione è normalizzata)"

Presentazioni simili


Annunci Google