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IL PROBLEMA. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO.

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Presentazione sul tema: "IL PROBLEMA. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO."— Transcript della presentazione:

1 IL PROBLEMA

2 ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO

3 Matematicamente si può: u decidere che tale calcolo non interessa u creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

4 Optiamo per la seconda ipotesi ok !

5 u Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. u Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. u Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unità immaginaria

6 si ha quindi per definizione i = -1 2

7 l’unità immaginaria è un po’ “strana”

8 l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

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10 in un riferimento cartesiano ortogonale in un riferimento cartesiano ortogonale poniamo u sull’asse delle ascisse i numeri reali i numeri reali u sull’asse delle ascisse i numeri reali i numeri reali u sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i u sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

11 Rappresentazione Geometrica a b P=(a,b) 

12 chiamiamo numero complesso chiamiamo numero complesso un numero del tipo a+ib

13 con a e b numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso

14 è nato u un nuovo insieme di numeri i numeri complessi

15 Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo Reali Immaginari Complessi a bi a+ib

16 Diamo qualche definizione a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib complessi coniugati

17 Somma algebrica di numeri complessi (a+ib)+(c+id) (a+c)+(b+d)i

18 esempi (3+2i)+(-5+7i)=-2+9i (-2-4i)+(-3+5i)=-5+i (4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i (1+2i)+(1-2i)=2 ??????? (1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????

19 Prodotto di numeri complessi (a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi 2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i in particolare: (a+ib) (a-ib) = a 2 - b 2 i 2 = a 2 + b 2 Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri complessi la somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!! Si però i fattori sono numeri complessi!!!

20 esempi (3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i (3+2i) (3-2i) = =13 somma di due quadrati

21 Reciproco di un numero complesso Si definisce reciproco del numero complesso c + id il numero complesso c - id_ c 2 + d 2 infatti il loro prodotto è uguale a 1

22 Quoziente di numeri complessi (a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id) = (a+ib) (c-id) c 2 +d 2

23 esempio

24 RIASSUMIAMO quello che abbiamo imparato

25 introducendo i numeri immaginari Avevamo un problema l’abbiamo risolto abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali =3i

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