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L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N.

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Presentazione sul tema: "L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N."— Transcript della presentazione:

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2 L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N

3 2 Impareremo a …  Conoscere e comprendere il concetto di operazione aritmetica  Conoscere e comprendere le operazioni di addizione e sottrazione  Conoscere e comprendere come esse sono strutturate nell'insieme N: le loro proprietà, il "comportamento", gli elementi neutri  Lo 0 nelle due operazioni

4 3 Cos'è un'operazione aritmetica?  Eseguiamo una piccola operazione 2+3=5 Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5. Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo +

5 4 Diciamo che  L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni.  I due numeri dati si dicono termini dell'operazione, il numero a cui si perviene si dice risultato dell'operazione.

6 5 Addizione in N  Operazione e termini  Procedimento  Definizione addizione  Operazione interna  Commutativa  Associativa  Dissociativa  Elemento neutro

7 6 Operazione e suoi termini  Eseguiamo delle piccole addizioni considerando elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali 10+5=15 8+8=16 5+2=7 addendi somma

8 7 Procedimento  Quale procedimento ci permette di ottenere le somme, cioè i risultati delle addizioni?  Si tratta di porsi, nel primo esempio, la domanda: dal numero 10 come arriviamo al numero 15?  Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando !  E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità quante sono indicate dal secondo addendo, il numero 5.

9 8 Definizione di addizione  L’ addizione è dunque l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti addendi ad un terzo numero detto somma, al quale si arriva (o si perviene), contando successivamente al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo.

10 9 Operazione interna Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsias i, notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali, cioè elementi di N. In generale: : = = = = = = = 5 N N

11 10 Le proprietà: l'addizione è commutativa 5+6= = 11

12 11 l'addizione è associativa 4+5+3=12 associo il 4 con il 5 (4+5) + 3 = = 12 È la proprietà associativa

13 12 Gode della proprietà dissociativa = = 28 ho dissociato l'addendo 25 Questa è la proprietà dissociativa

14 13 Ha l'elemento neutro = = = = = = 25  Noto che quando lo zero appare come addendo, non modifica il risultato dell’addizione  Lo zero è perciò chiamato elemento neutro dell’addizione

15 14 La sottrazione  Procediamo come per l’addizione … 10 – 8 = 2 minuendo sottraendo differenza (o resto)

16 15 Procedimento  Quale procedimento ci permette di ottenere le la differenza, cioè il risultato della sottrazione?  Dal numero 10 come arriviamo al numero 2?  Considera: c’è un legame tra addizione e sottrazione? 10 -8=2 2+8= 10 e anche 10 -2=8 8+2= 10 La sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione e, come tale …

17 16 Definizione della sottrazione  Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10 ! Perciò: La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo dia come risultato il minuendo.

18 17 Operazione interna? Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un diagramma di Eulero-Venn Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire l’operazione restando in N. il risultato non sempre appartiene a N. 10 – 15 = 8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 7 – 4 = 3 15 – 5 = 10 3 – 7 = N N ? ? ? ?

19 18 Le proprietà: la sottrazione non è commutativa 9-6= 3 6-9≠ 3

20 19 Gode della proprietà invariantiva  Consideriamo la sottrazione 12 – 7 = 5 Operiamo nel seguente modo: (12 +2 ) – (7 +2 ) = 14 – 9 = 5 E ancora (12 -4 ) – (7 -4 ) = 8 – 3 = 5 Il risultato di una sottrazione non cambia se al minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno stesso numero: è la proprietà invariantiva

21 20 Brevi considerazioni  Non possiamo dire che la sottrazione ha l’elemento neutro poiché anche se 5-0=5 Essendo falso : 0-5=5 lo zero non può considerarsi elemento neutro.


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