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Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI.

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Presentazione sul tema: "Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI."— Transcript della presentazione:

1 Teoria degli INSIEMI A cura Prof. Salvatore MENNITI

2 Questa presentazione può essere utilizzata come valido supporto allo studio, per studiare autonomamente le parti fondamentali dellunità didattica. Si propone inoltre un approfondimento sugli insiemi infiniti e alcuni paradossi che ne derivano. Sono proposti alcuni esercizi, grazie ai quali verificare il proprio grado di preparazione e i livelli di apprendimento. Presentazione

3 RAPPRESENTAZIONE Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare linsieme che chiameremo A di tutti gli amici di Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina. Con i diagrammi di Eulero Venn: 1 A Andrea Matteo Marta Anna Martina 2 Attraverso la rappresentazione tabulare (estensiva): 3 Enunciando la proprietà caratteristica (intensiva): A = Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna A = x x è amico di Marco Simone

4 APPARTENENZA A U (insieme ambiente o universo) a b B c e d f a A, a U, a B, U = a; b; c; d; e; f A = a; b; d; e; f B = b; d b B, b A, b U c U, c B, c A

5 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE, B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A A è un SOTTOINSIEME DI U Ogni insieme è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di sé stesso A U a b B c d B A A U A A, B B,….. Linsieme vuoto è un SOTTOINSIEME (IMPROPRIO) di ogni insieme C, B, ….. C C è un SOTTOINSIEME DI B C B

6 SOTTOINSIEMI, INCLUSIONE A U a b B c e d f U = a; b; c; d; e; f A = a; b; d; e; f B = b; d a; b; d A d B b; d B

7 APPARTENENZA e INCLUSIONE INCLUSIONEAPPARTENENZA b A b A Lelemento b appartiene allinsieme A Linsieme b è strettamente incluso nellinsieme A b A d Linsieme d;b A d;b A o d;b = A

8 INSIEME COMPLEMENTARE A C A U a b c e f g d C U A = a; b; g E linsieme degli elementi di U Che non appartengono ad A A C = C u A= x x U e x A

9 INTERSEZIONE A B A B A B E linsieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a B A B = x x A e x B

10 CASI PARTICOLARI DELLINTERSEZIONE A A = A A = Se B A allora A B = B A A = A U = A Se A B =, A e B si dicono DISGIUNTI

11 UNIONE A B A B A B E linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B = x x A o x B

12 UNIONE di insiemi DISGIUNTI AB LUNIONE degli insiemi A e B è linsieme degli elementi che appartengono ad A o a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati. A B

13 CASI PARTICOLARI DELLUNIONE A A = A A = A Se B A allora A B = A A A = U

14 A B A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l

15 DIFFERENZA A - B A B A - B Si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B E costituito dagli elementi di A che NON appartengono a B E linsieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B A - B = x x A e x B

16 DIFFERENZA. A - B, B - A. A B a d c b e f g h l i A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l

17 DIFFERENZA. A - B, B - A. AB a d c b e f g h l i A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l A B a d c b e f g h l i A B a d c b e f g h l i

18 CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA TRA INSIEMI A - A = A - = A Se A B = allora A - B = A e B - A = B Se B A allora B - A =

19 INSIEME DELLE PARTI P (A) A a c b A = a; b; c; a; b; c Dato un insieme A, linsieme di tutti i suoi SOTTOINSIEMI propri e impropri, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P (A) I possibili SOTTOINSIEMI di A sono: abc a; b a; c b; c P (A) = ; a ; b ; c ; a; b ; a; c ; b; c ; a; b; c Gli elementi di P (A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P (A) ne contiene 2 n Linsieme delle parti di A è:

20 PARTIZIONE DI UN INSIEME A Si consideri un numero n di sottoinsiemi di A. Si dice che questi sottoinsiemi costituiscono una PARTIZIONE di A se: A i A e A i, i A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 Ogni sottoinsieme è proprio A i A k = con i k I sottoinsiemi sono a due a due disgiunti A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 = A Lunione di tutti i sottoinsiemi dà linsieme A 1 2 3

21 PRODOTTO CARTESIANO Si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica A x B, linsieme formato da tutte le coppie ordinate (x;y) dove il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B A x B = (x;y) x A e y B Si legge A cartesiano B Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1;2 A a b c B 1 2 A x B = (a ;1), (a ;2), (b ;1), (b ;2), (c ;1), (c ;2)

22 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO Linsieme A x B = (a; 1); (a; 2); (b; 1); (b; 2); (c; 1); (c; 2) può essere rappresentato graficamente nei seguenti modi: A a b c B 1 2 Rappresentazione SAGITTALE Rappresentazione mediante tabella a DOPPIA ENTRATA a b c 1 2 Rappresentazione CARTESIANA

23 OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO La coppia (x;y) è diversa dalla coppia (y;x) Gli elementi dellinsieme cartesiano sono coppie A x A = A 2 A x B B x A Se A e B hanno rispettivamente n e m elementi, linsieme A x B possiede n*m elementi.

24 LE STRANEZZE DEGLI INSIEMI INFINITI

25 Rispondi: Linsieme dei numeri pari P è un sottoinsieme proprio dellinsieme dei numeri naturali N? N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. P = 0; 2; 4; 6; 8; 10…. Si! Infatti per costruire P scelgo solo alcuni elementi di N. Quale insieme ha più elementi? N o P? Se P ha meno elementi, come si è portati a pensare, essendo P un sottoinsieme proprio di N, contando gli elementi di P ad un certo punto ci si dovrà fermare, proprio come succede quando si conta il numero delle stanze della casa dove abitiamo! PROVA A CONTARE UTILIZZANDO LE DITA IL NUMERO DELLE STANZE DELLA TUA CASA!!!!

26 N = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12;.. P = 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18…. Proviamo a contare quanti elementi (numeri) ha P. Invece che contare utilizzando le dita come facciamo qualche volta, utilizziamo linsieme N e delle frecce. Per ora trascuriamo lo zero. A quale numero ci fermiamo????? Quanti sono gli elementi di P?? Chi ha più elementi N o P? Abbiamo ottenuto un risultato assai strano! Dato un insieme con un numero infinito di elementi è possibile che un suo SOTTOINSIEME PROPRIO abbia lo stesso numero di elementi!!!

27 ESERCIZIO N. 1….. A B a d c b e f g h l i Trova: A B C A C m n A A A Clicca sulla risposta corretta Esercizio Successivo

28 ESERCIZIO N. 2….. A B a d c b e f g h l i Trova: C - (A B) C - (A C m n C - (A Clicca sulla risposta corretta C - (A C - (A Esercizio Successivo

29 ESERCIZIO N. 3….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? C - (A C (C Clicca sulla risposta corretta C (A Esercizio Successivo

30 ESERCIZIO N. 4….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? C - (A C (C Clicca sulla risposta corretta C (A Esercizio Successivo

31 ESERCIZIO N. 5….. A B Quale espressione rappresenta larea evidenziata? (C - (A (C - (A - C) C (C B) - A Clicca sulla risposta corretta C B (A B) - C


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