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1 1. Classificazione dei sistemi e dei modelli La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue.

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1 1 1. Classificazione dei sistemi e dei modelli La teoria dei sistemi e del controllo si è sempre tradizionalmente occupata dei sistemi a variabili continue modellati da equazioni differenziali o alle differenze. Tali modelli sono tuttavia inadeguati nella descrizione dei sistemi man-made. Sistemi dinamici i cui stati assumono diversi valori logici o simbolici in corrispondenza delloccorrenza di eventi. Es: processi produttivi, reti di trasporto, di comunicazione, etc.

2 2 Es. di eventi: arrivo o partenza di un cliente, completamento di una lavorazione, guasto o riparazione di una macchina, trasmissione o ricezione di un insieme di dati, etc. Levoluzione nel tempo di tali sistemi è dettata dalloccorrenza degli eventi mentre i micro-cambiamenti che avvengono continuamente allinterno del sistema vengono ignorati. Sistemi ad eventi discreti

3 3 Sistemi ibridi Sis. ad avanzamento temporale Sis. ad eventi discreti Un sistema la cui evoluzione è dettata sia dalloccorrenza di eventi discreti, sia dal trascorrere del tempo viene detto ibrido.

4 4 Principi di base della teoria classica dei sistemi e del controllo Nozione fondamentalesistema Dizionario Webster: Un sistema è ununità complessa formata da molte componenti, spesso diverse tra loro, soggette ad un piano comune o orientate verso un obiettivo comune. Dizionario IEEE: Un sistema è una combinazione di elementi che cooperano per svolgere una funzione altrimenti impossibile per ciascuno dei singoli componenti.

5 5 Per procedere ad unanalisi quantitativa di un sistema è indispensabile la formulazione di un modello formale che riproduca il comportamento del sistema. Ogni sistema fisico è caratterizzato da un certo numero di variabili fisiche che evolvono nel tempo: cause esterne al sistema ingressi del sistema effetti uscite del sistema uy S S realizza la dipendenza degli effetti dalle cause esterne al sistema.

6 6 Esempio: pantografo m KwKw K b u y Y: posizione di equilibrio di m u: posizione di equilibrio del punto di contatto con la catenaria

7 7 In generale luscita ad un dato istante di tempo dipende anche dalla storia del sistema. Lo stato di un sistema allistante di tempo 0 è la grandezza che contiene linformazione necessaria in 0 per determinare univocamente landamento delluscita y( ), per 0, sulla base della conoscenza dellandamento dellingresso u( ), 0 e dello stato in 0.

8 8 Si definiscono equazioni di stato linsieme di equazioni che determinano lo stato x( ) per ogni 0 sulla base di x( 0 ) e di u( ), 0. Modello a tempo continuo uxy

9 9 Esempio: pantografo N.B. La scelta del modello in termini di variabili di stato non è mai unica.

10 10 Se il tempo è discreto, cioè rappresentato dallintero k, k=0,1,…, il sistema può venire descritto mediante un insieme di equazioni alle differenze: Modello a tempo discreto uxy

11 11 I sistemi ad eventi discreti La ricerca nellabito dei sistemi ad eventi discreti (SED) sta acquistando un ruolo sempre più rilevante nella comunità scientifica e ciò è una immediata conseguenza della crescente complessità dei sistemi creati dalluomo. La teoria dei SED si sta evolvendo ora in analogia alla teoria classica dei sistemi e del controllo concetti di stabilità, controllabilità, osservabilità, etc.

12 12 Levoluzione in questo caso è asincrona ossia basata sui tempi di occorrenza degli eventi e non su una temporizzazione regolare. Un sistema ad eventi discreti è un sistema dinamico il cui comportamento è caratterizzato dalloccorrenza di eventi istantanei con un cadenzamento irregolare non necessariamente noto. Alcuni sistemi sono intrinsecamente ad eventi e la risoluzione di un problema di controllo in questo caso consiste nella determinazione di una politica di gestione e di coordinamento degli eventi.

13 13 Definizione formale: Un SED è un sistema il cui comportamento dinamico è caratterizzato dallaccadimento asincrono di eventi che individuano lo svolgimento di attività di durata non necessariamente nota. Un SED è caratterizzato da: insieme degli eventi E spazio di stato X (insieme discreto) evoluzione dello stato regolata dagli eventi x k+1 = (x k,e k ) k N funzione di transizione di stato

14 14 Esempio: il sistema a coda Un sistema a coda si basa su 3 componenti fondamentali: le entità che attendono per poter utilizzare le risorse (clienti) le risorse (servitori o serventi) lo spazio in cui si attente (coda) arrivo clienti partenza clienti codaservitore

15 15 Insieme degli eventi E={a,p} a : evento di arrivo di un cliente p : evento di partenza di un cliente I clienti possono essere: persone, veicoli di trasporto, messaggi, etc. I serventi possono essere: persone, macchine, semafori, canali di comunicazione, etc.

16 16 Se scegliamo come variabile di stato il numero di clienti in coda Spazio di stato X={0,1,2,…}=N 0123 a aa ppp Il sistema a coda può venire rappresentato mediante il seguente grafo

17 17 Esempio: macchina soggetta a guasti X = {F (macchina ferma), L (macchina che lavora), G (macchina guasta)}spazio di stato E = {inizio,fine,rottura,riparazione}spazio degli eventi FL G inizio fine rottura riparazione

18 18 Esempio: circuito elettrico l1l1 l2l2 s d Linterruttore può ruotare a sinistra o a destra di 1/4 di giro. Ci sono 4 possibili posizioni ss s d dd d s

19 19 Possiamo individuare 3 insiemi: X = {x 1,x 2,x 3,x 4 }posizioni dellinterruttore U = {s,d}rotazioni Y = {l 1,l 2,b}condizioni delle lampade Tale sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo. x1x1 x4x4 x2x2 x3x3 d s s s s d d d x1x1 x2x2 x3x3 x4x4

20 20 Se assumiamo linsieme Y come spazio di stato, allora il sistema può essere rappresentato mediante il seguente grafo l1l1 b s,d l2l2 Se poi volessimo addirittura limitarci a distinguere il buio dalla luce l b s,d

21 21 A tale sistema possiamo anche associare una evoluzione temporale X x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 t t1t1 t2t2 sdss s t3t3 t4t4 t5t5 x1x1 x4x4 x2x2 x3x3 d s s s s d d d

22 22 Modellazione di sistemi ad eventi discreti Un modello ad eventi discreti è un modello matematico in grado di rappresentare linsieme delle traiettorie (o tracce) degli eventi che possono essere generate da un sistema. In generale linsieme delle possibili traiettorie degli eventi è infinito, mentre il modello deve comunque essere finito. A seconda del livello di astrazione con cui le diverse traiettorie possono venire rappresentate, i modelli vengono distinti in due diverse categorie: Modelli logici e Modelli temporizzati

23 23 Modelli logici La traccia è una sequenza di eventi {e 1,e 2,e 3 …} in ordine di occorrenza. La traiettoria è allora la sequenza degli stati raggiunti {x 0,x 1,x 2,…}. Modelli temporizzati La traccia è una sequenza di coppie {(e 1,t 1 ),(e 2,t 2 ),(e 3,t 3 ),...} in ordine di occorrenza. La traiettoria è ancora la sequenza degli stati raggiunti {x 0,x 1,x 2,…}. In questo caso tuttavia conosciamo esattamente listante di tempo in cui ciascuno stato viene raggiunto.

24 24 I modelli logici rendono agevole lo studio delle proprietà qualitative del sistema analisi strutturale. I modelli temporizzati permettono di studiare levoluzione temporale di un sistema analisi prestazionale. I modelli temporizzati possono essere: deterministici (gli intervalli tra 2 eventi sono noti) stocastici (gli intervalli sono variabili casuali) Una trattazione analitica diventa estremamente complessa simulazione

25 25 Automi: modello logico Definizione: Un AFD è una 5-upla G=(X,E,,x 0,X m ) dove: X è un insieme finito di stati; E è un insieme finito di eventi (alfabeto); : X E X è la funzione di transizione; x 0 X è lo stato iniziale; X m X è linsieme di stati finali. (x,e) è lo stato raggiunto quando si verifica levento e a partire dallo stato x.

26 26 Esempio: x0x0 x1x1 x2x2 a d b d c x 0 : m. spenta x 1 : m. accesa x 2 : in avviamento a: accensione b: predisposizione c: lavorazione d: spegnimento Possibile evoluzione: w = abcc parola x 0 : stato iniziale e finale

27 27 Ad ogni AFD è possibile associare un linguaggio generato e un linguaggio accettato (o marcato) Le proprietà fondamentali degli automi sono: ­ la raggiungibilità ­ la reversibilità ­ la vivezza Esiste poi un altro modello di SED che può essere visto come una generalizzazione degli AFD, ossia gli automi finiti non deterministici (AFN)

28 28 Esempio di AFN: x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 a a a a a b b b b Vi sono: transizioni etichettate con la parola vuota più transizioni uscenti dallo stesso nodo e aventi la stessa etichetta

29 29 Sistemi ibridi Sistemi ad avanzamento temporale (SAT) Sistemi ad eventi discreti (SED) SAT a tempo continuo SAT a tempo discreto SAT a t. continuo lineari SAT a t. continuo non lineari SAT a t. discreto lineari SAT a t. discreto non lineari SED temporizzati SED logici SED deterministici SED stocastici


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