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1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6.

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1 1. Costituenti della materia 2. Le forze fondamentali 3. Simmetrie e leggi di conservazione 4. Cinematica relativistica 5. Il modello a Quark statico 6. Linterazione Nucleare Debole 7. Introduzione al Modello Standard e massa del Neutrino 8. Violazione di CP nel Modello Standard Simmetrie e leggi di conservazione Mandala delle Cinque Divinità Tibet, dipinto nel XVII secolo La parola è utilizzata, anche, per indicare un diagramma circolare costituito, di base, dall'associazione di diverse figure geometriche ], le più usate delle quali sono il punto, il triangolo, il cerchio ed il quadrato. Il disegno riveste un significato spirituale e rituale sia nel Buddhismo che nell'Hinduismo. ] Mandala da it.wikipedia.org 1

2 A classification of symmetries in particle physics ClassInvarianceConserved quantity Proper orthochronous Lorentz symmetry translation in time (homogeneity) energy translation in space (homogeneity) linear momentum rotation in space (isotropy) angular momentum Discrete symmetryP, coordinate inversionspatial parity C, charge conjugationcharge parity T, time reversaltime parity CPTproduct of parities Internal symmetry (independent of spacetime coordinates) U(1) gauge transformationelectric charge U(1) gauge transformationlepton generation number U(1) gauge transformationhypercharge U(1) Y gauge transformationweak hypercharge U(2) [U(1) × SU(2)]electroweak force SU(2) gauge transformationisospin SU(2) L gauge transformationweak isospin P × SU(2)G-parity SU(3) "winding number"baryon number SU(3) gauge transformationquark color SU(3) (approximate)quark flavor S(U(2) × U(3)) [ U(1) × SU(2) × SU(3)] Standard Model Wikipedia: 2

3 Simmetrie di un sistema fisico: Sistema classico Sistema quantistico Formalismo Lagrangiano Formalismo Hamiltoniano Invarianza Equazioni del Moto Invarianza Eq. Dinamica Invarianza relazioni di commutazione (Invarianza della probabilità) Il Teorema di E. Noether (teorie di campo lagrangiane, quantistiche e no) stabilisce una relazione tra simmetrie e quantità conservate di un sistema 3

4 Un esempio classico: Se facciamo una traslazione: Le equazioni del moto sono invarianti per traslazione 4

5 Se calcoliamo la forza totale che agisce su 1 e 2: Nel formalismo lagrangiano classico: Invarianza di L rispetto q p conservato 5

6 Nel formalismo Hamiltoniano Eventuale conservazione di una quantità dinamica Eventuale simmetria Questo formalismo si trasporta facilmente al caso della Meccanica Quantistica In Meccanica Quantistica si può partire dallEq. Di Schroedinger : Evoluzione temporale (unitaria) 6

7 Operatori nella descrizione di Heisenberg Derivando: Quantità conservate: commutano con H Nel caso in cui vi sia una dipendenza esplicita dal tempo (sistemi non isolati) Descrizione di Schroedinger e di Heisenberg : HeisenbergSchroedinger 7

8 Traslazione finita unitario Autoaggiunto: è il generatore delle traslazioni spaziali Se H non dipende dalle coordinate Il momento si conserva Invarianza traslazionale: una simmetria continua Loperatore traslazione è naturalmente associato al momento 8

9 Invarianza rotazionale: una simmetria continua Loperatore rotazione è naturalmente associato al momento angolare Rotazione finita Operatore momento angolare attorno asse z (angolo phi) unitario Autoaggiunto: è il generatore delle rotazioni Se H non dipende dallangolo di rotazione φ attorno allasse z Il momento angolare si conserva 9

10 Invarianza temporale continua Si potrebbe anche procedere come prima costruendo il generatore delle traslazioni temporali (lenergia H), ma basta osservare che Se H non dipende da t, lenergia si conserva 10 Le simmetrie continue spaziotemporali: Traslazione spaziale Rotazione spaziale Tempo Momento lineare Momento angolare Energia

11 Simmetrie continue e gruppi: SU(2) Combinazione di due trasformazioni: dipende dalle regole di commutazione dei generatori del gruppo Algebra commutativa (Abeliana) delle traslazioni Operatore traslazione lungo asse x: (due traslazioni commutano). Inoltre: e ovviamente 11

12 Nel caso delle rotazioni: Regole di commutazione per i generatori: Algebra non commutativa Rotazioni attorno ad assi diversi in genere non commutano Nel caso di un sistema quantistico a due livelli, le trasformazioni sono descritte dal gruppo SU(2) (due dimensioni) che ha struttura algebrica simile a SO(3) (rotazioni in 3 dimensioni) 12

13 Simmetria di Isospin Si consideri un sistema quantistico a due stati (originariamente il neutrone e il protone, che per quanto riguarda le forze nucleari potevano essere considerati degeneri). Siccome degeneri, potevano essere ridefiniti arbitrariamente: Degenerazione Ridefinizione Doppia degenerazione simile a ciò che avviene nei sistemi a s=1/2. La degenerazione viene rimossa da un campo magnetico Si può allora introdurre lo spinore a due componenti: 13

14 La ridefinizione precedente diviene: Simmetria proposta per le interazioni forti (rotta dalla parte elettromagnetica) Gruppo di Lie SU(2) Proprietà determinate dalle trasformazioni infinitesime Può essere scritto nella forma generale: Matrici di Pauli 14

15 Isospin Una rotazione infinitesima del doppietto p-n: Una rotazione finita in SU(2): Generalizzazione di una trasformazione globale di fase Tre angoli di fase Operatori non commutanti (Invarianza di fase non abeliana) 15

16 Il sistema a due nucleoni Prendiamo una di queste trasformazioni: Uno stato a due nucleoni può essere: In seguito a questa rotazione:Singoletto di isospin Gli altri tre stati si traformano luno nellaltro in rotazioni di isospin, come farebbe un vettore nello spazio 3-d per rotazioni ordinarie Invarianza per isospin significa che vi sono due ampiezze, I=0 e I=1 E significa che gli stati con I=1 sono tra loro indistinguibili (interazione forte) 16

17 Un tripletto di isospin: il pione II3 Funzione donda Q/e o 0o0 Nucleoni e quark I3particellaantiparticellaparticellaantiparticella +1/2 -1/2 17

18 18 Costruzione delle particelle a interazione forte (adroni) a partire dai quark costituenti

19 19

20 Lo stato a due nucleoni: S A La funzione donda totale: Parte di Isospin (scomposizione non relativistica) Nel caso del deutone: spin 1 α simmetrica, φ ha simmetria (-) l ma siccome i due nucleoni sono in stati l=0 o l=2 φ è simmetrica. Quindi deve essere antisimmetrica. Questo perché la ψ tot è antisimmetrica per scambio dei nucleoni Il deutone è un singoletto di Isospin Si considerino allora le due reazioni Isospin I 1 1 0,1 1 (il deutone ha I=0 e il pione I=1) 20 Ma la reazione può procedere solo per I=1

21 Simmetrie di gauge (globali e locali) Sono simmetrie continue (gruppo continuo) che possono essere locali o globali. Globali: quantità conservate (carica elettrica) Locali: nuovi campi e loro leggi di trasformazione (teorie di gauge) Consideriamo lEquazione di Schoedinger Consideriamo una trasformazione di fase globale: il cambio di fase è lo stesso in tutti i punti Lequazione di Schroedinger è invariante per tale trasformazione. Tale invarianza è associata (T. di E. Noether) alla conservazione della carica elettrica Ma cosa succede se consideriamo una trasformazione di gauge locale ? 21

22 Come si fa a garantire linvarianza di gauge locale? Non invariante! Il problema deriva dal fatto che: extra termine ! 22

23 Per risolvere il problema possiamo introdurre un nuovo campo! E la sua legge di trasformazione! Dal momento che lEq. Di Schroedinger libera non è invariante per: La modifichiamo introducendo: Campi compensanti Che si trasformano: 23

24 In questo modo linvarianza viene ripristinata Per dare un significato fisico, scegliamo: E si ha linvarianza: Linvarianza di gauge locale del campo di Schroedinger richiede il campo EM ne stabilisce la legge di trasformazione 24

25 Vi sono molti altri esempi del principio di gauge In physics, a gauge principle specifies a procedure for obtaining an interaction term from a free Lagrangian which is symmetric with respect to a continuous symmetry -- the results of localizing (or gauging) the global symmetry group must be accompanied by the inclusion of additional fields (such as the electromagnetic field), with appropriate kinetic and interaction terms in the action, in such a way that the extended Lagrangian is covariant with respect to a new extended group of local transformations. LIBERO INTERAGENTE 25

26 Linvarianza di gauge U(1) e il campo di Dirac Equazione di Dirac (1928): una descrizione delle particelle elementari a spin ½ compatibile con la Relatività Speciale e la Meccanica Quantistica Spinore a 4 componenti Matrici 4x4 (gamma) Spinore coniugato Dirac probability current 26

27 La Lagrangiana di Dirac: Presenta una proprieta di invarianza per trasformazioni globali di gauge: (trasformazioni di fase) Si richiede che questa proprieta globale valga anche localmente. Linvarianza diviene principio dinamico. Ora la trasformazione di gauge dipende dal punto dello spaziotempo Vediamo come si comporta la L Dal momento che 27

28 E questa lagrangiana non e gauge-invariante. Se noi vogliamo una L gauge-invariante occorre introdurre un campo compensante con una legge di trasformazione opportuna: Questa nuova lagrangiana e invariante per trasformazione locale di gauge. Per renderlo tale e stato necessario introdurre un nuovo campo (il campo e.m.). 28

29 Il campo di gauge A deve pero comprendere un termine di campo libero. Questo termine di campo libero sara quello del campo elettromagnetico. 29

30 Simmetrie discrete: P,C,T Le simmetrie discrete descrivono cambiamenti non continui di un sistema (non possono essere ottenute integrando trasformazioni infinitesime). Questi cambiamenti sono associati a gruppi di simmetria discreti Parità P Inversione di tutte le coordinate spaziali: Il determinante di questa trasformazione è -1. Mentre le rotazioni sono +1 Operatore unitario. Autovalori: +1, -1 (se stati a parità definita) Autostati: stati a parità definita 30

31 La parità è conservata in un sistema se Lesempio del potenziale centrale: Gli stati legati di un sistema a simmetria centrale hanno parità definita. Ad esempio latomo di idrogeno Atomo di idrogeno: autofunzioni senza spin : Parte radialeArmoniche sferiche Transizioni di Dipolo Elettrico l = ± 1 31

32 32 La parità generale di uno stato quantistico Ad esempio in una rappresentazione come onde piane (autostati del momento) Intrinseca Spaziale La parità intrinseca è rappresentabile da una fase La parità intrinseca ha il significato della parità nel sistema di riferimento p=0

33 33 La parità del fotone dallanalogia classica Un campo classico obbedisce a Se facciamo loperazione P: Ma daltra parte vale anche, nel vuoto: E per loperazione di parità abbiamo: E per renderla coerente con la trasformazione del campo elettrico:

34 Azione della parità su quantità fisiche notevoli Momento angolare: Posizione: Momento: Tempo: Carica: Campo E: Campo B: Corrente: Spin: 34

35 Parità di sistemi composti: prodotto delle parità delle parti Parità: spaziale e instrinseca delle particelle: il pione Conservazione del momento angolare: J=1= L+S Simmetria globale n+n Scambio tra i due n 35

36 Alcune parità intrinseche non sono osservabili (protone, neutrone) e sono convenzionali (+1). Conservazione numero barionico leffettivo valore di P non è importante: si elide in ogni reazione Parità del pione neutro, dalla polarizzazione delle coppie in : Diverse proprietà di trasformazione per rotazioni e riflessioni spaziali P(particella) = - P (antiparticella)FERMIONI P(particella) = P (antiparticella)BOSONI La parità è violata nelle Interazioni Nucleari Deboli 36

37 Inversione temporale Inverte il flusso temporale T Equazioni dinamiche classiche invarianti perché del secondo ordine nel tempo Sistemi microscopici: T invarianza Sistemi macroscopici: direzione del tempo selezionata statisticamente (non diminuzione di entropia) Nel caso quantistico : non è invariante per 37

38 Definendo loperatore di inversione temporale: T Loperatore che rappresenta T è un operatore antilineare. Preserva il modulo quadro delle ampiezze di transizione 38 Partiamo dallEquazione di Schroedinger complessa coniugata

39 Nota: il bilancio dettagliato NON implica luguaglianza dei tassi di reazione: Una prova classica, lo studio della reazione T è violata nelle Interazioni Nucleari Deboli 39 Una importante conseguenza dellinvarianza per T a livello microscopico. E riguarda le ampiezze di transizione: (bilancio dettagliato) Physical Review Letters 109 (2012) Esperimento BaBar a SLAC Confronto tra le transizioni del tipo

40 Coniugazione di carica C Cambia i segni delle cariche (e dei momenti magnetici) Una simmetria discreta interna Per uno stato quantistico Gli autostati di C sono gli stati neutri Per il fotone 40

41 La C-parità di uno stato può essere calcolata se lo stato è neutro e se conosciamo la funzione donda dello stato E in generale per particelle a spin zero La coniugazione di carica di una coppia di particelle scambia le particelle dello stato e quindi occorre tenere conto della statistica cui obbediscono Per una coppia (globalmente neutra) di fermioni invece: Nel decadimento Lanalogo decadimento è proibito se C è conservata nelle interazioni elettromagnetiche. Infatti : 41

42 42 Azione di C,P,TC P T CPT

43 Il Positronio Sistema analogo allatomo di idrogeno La parte di spin Tripletto Singoletto La parte spaziale Il bilancio di C conjugation: 43

44 Il positronio nello stato fondamentale l=0 Singoletto: Tripletto: Antisimmetria per scambio di elettrone e positrone La conservazione della C-parità determina la modalità di decadimento del Ps Singoletto: Tripletto: 44

45 Fotoni, spin, elicità Gauge - invariantiGauge di Coulomb Propagazione libera: Soluzione a onde piane Ad esempio: Condizione di trasversalità 45 Pol. Piana Pol. circolare

46 Polarizzazione circolare Che si può esprimere anche coi vettori rotanti I vettori di polarizzazione possono essere associati agli stati di spin dei fotoni Se londa propaga lungo z:Jz solo dovuto allo spin Eseguiamo una rotazione attorno allasse z: Per la trasversalità abbiamo solo: Fotoni con Jz=0 sono i fotoni longitudinali. Virtuali: m0 k e k e 46 Autostati di Jz

47 ElicitàProiezione dello spin nella direzione del momento Un numero quantico approssimato per particelle con massa Tanto più buono quanto la particella è relativistica Rigorosamente buono per i fotoni La legge di invarianza in azione. Le Interazioni Elettromagnetiche conservano la Parità Ma: Nelle interazioni elettromagnetiche questa quantità deve essere nulla. Nelle interazioni elettromagnetiche i fotoni right e left handed compaiono sempre in pari ampiezze, in modo da compensarsi 47

48 Il Neutrino C, P sono violate nelle Interazioni Nucleari Deboli Il neutrino partecipa solo delle Interazioni Nucleari Deboli Peraltro, nellapprossimazione di neutrini senza massa, abbiamo : Levidenza sperimentale indica che nelle Interazioni Deboli: I neutrini sono sempre sinistrorsi. Gli antineutrini sono sempre destrorsi ! P C CP In buona approssimazione le Int. Deboli conservano CP (non C e non P) 48

49 Teorema CPT In una teoria quantistica di campo Lorentz-invariante e locale, linterazione (Hamiltoniana) è invariante per lapplicazione combinata di C,P,T (Pauli, Luders, Villars, 1957) Alcune conseguenze: 1)La massa di una particella = La massa dellantiparticella 2) (Momento magnetico di una particella) = -- (Momento magnetico antiparticella) 3) Vita media di una particella = Vita media antiparticella ProtoneAntiprotoneElettronePositrone Q+e-e +e B o L(e)+1+1 μ σ 49 Protoni ed elettroni : 49

50 Ricerca di violazioni delle leggi C,P,T Teorema CPT (wikipedia) In quantum field theory the CPT theorem states that any canonical (that is, local and Lorentz-covariant) quantum field theory is invariant under the CPT operation, which is a combination of three discrete transformations: charge conjugation C, parity transformation P, and time reversal T. It was first proved by G.Lüders, [1] W.Pauli [2] and J.Bell [3] in the framework of Lagrangian field theory.quantum field theorycovariant charge conjugationparity transformationtime reversalG.Lüders [1]W.Pauli [2]J.Bell [3] At present, CPT is the sole combination of C, P, T observed as an exact symmetry of nature at the fundamental level. [4] [4] Si formano delle quantità che violano una legge di conservazione Si vede se queste quantità esistono per uno stato puro. Ad esempio il momento di dipolo elettrico: Non può esistere in situazioni T, P invarianti 50

51 51 Numeri di particelle: barionico, sapore (flavor) e leptonico Sapore (flavor): Massa (MeV) QuarkUDSCB puud nudd Λuds+1 00 ΛcΛcudc π+π+u-dbar+1000 K-s-ubar0 00 D-d-cbar0+100 Ds+c-sbar B-b-ubar000 Υb-bbar Il sapore è il contenuto in quark di un adrone

52 52 I numeri quantici di sapore si riferiscono al contenuto in quark degli adroni Sono conservati nelle interazioni elettromagnetiche e forti Sono violati nelle interazioni deboli Stranezza CharmBeautyTop In un processo con interazione forte (o e.m.) tutti i sapori sono conservati: Nelle interazioni deboli invece : Numero barionico:

53 Il Numero Barionico equivale a: I barioni hanno B=1 mentre gli antibarioni B = -1 I mesoni hanno B = 0 Questa legge riflette la conservazione del numero dei quark. I quark si trasformano in altri quark, spariscono o vengono creati in coppie. I numeri quantici di flavor si riferiscono allidentità dei quark: (Isospin: +1/2 o -1/2 nei doppietti) Stranezza: -1 per il quark s Charm: +1 per il quark c Bottom: -1 per il quark b Top: +1 per il quark t Violati nelle Interazioni Deboli 53 Numero barionico

54 I numeri leptonici: Numero leptonico elettronico Numero leptonico muonico Numero leptonico tauonico Al meglio delle nostre conoscenze, tutti e tre i numeri leptonici sono conservati in tutte le interazioni. Una conseguenza e che il decadimento: Leggera violazione dei numeri leptonici Oscillazioni del Neutrino non avviene. Anche il numero leptonico totale (somma dei tre) e conservato in tutte le interazioni Numero Leptonico totale : conservato. 54

55 55


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