La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce."— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della seconda e terza goccia in quellistante. Ogni quanto tempo cade una goccia? –Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne sono cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli). –E essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2 metri tra lugello e il fondo. Studiamo il moto di una goccia: –il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità. –Facciamo partire il cronometro nellistante in cui la goccia si stacca dallugello. –Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso lalto, con lorigine sul fondo. –Con questa scelte le condizioni iniziali sono: xo=2m v xo =0m/s a xo =-g=-9.81m/s 2 laccelerazione di gravità è diretta verso il basso

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne La legge oraria della goccia sarà: Listante t f in cui la goccia tocca il fondo si può calcolare imponendo che la posizione in quellistante sia nulla: La durata del moto della goccia è dato da t f -t i Poiché t i è uguale a zero la durata è t f =.63s Lintervallo tra una goccia e la successiva è un terzo di questo valore t=.21s Per sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo un t e dopo due t.

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il contatto. La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il basso Poiché rimbalza verso lalto, riparte dal suolo con una velocità diretta verso lalto. Cè stata quindi una variazione di velocità. Cè stata una accelerazione! Fissiamo lasse y di riferimento diretto lalto, coincidente con la verticale passante per il punto di impatto, con lorigine nel punto di impatto. Occorre calcolare la velocità finale e quella iniziale sullintervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. La velocità iniziale è quella con cui arriva al suolo dopo la caduta di 4 m La velocità finale è quella con cui riparte dal suolo.

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono: –y o = 4.00m –v oy =0m/s –a oy =-g=-9.81m/s 2 La legge oraria vale: Listante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che y(t f )=0 (va preso listante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che la palla è partita) La velocità in quellistante sarà: Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da utilizzare nella formula dellaccelerazione media.

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Per calcolare la velocità finale da usare nella formula dellaccelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita. Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato (accelerazione di gravità) Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni iniziali valgono: –y o = 0.00m –v oy =? da determinare –a oy =-g=-9.81m/s 2 La legge oraria vale: Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: Da cui:

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Abbiamo ottenuto lespressione della velocità in funzione dalla posizione Possiamo ricavare v oy : Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto di risalita che in quello di discesa. Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la velocità è nulla: Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa allintervallo di tempo in cui la palla è a contatto con il suolo. Laccelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque:

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Accelerazione in funzione della posizione In alcuni casi laccelerazione è nota in funzione della posizione del punto materiale a x (x). –Quindi non si conosce direttamente a x (t), ma la dipendenza dal tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), a x (x(t)). L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dv x e lintervallo di tempo dt è proprio uguale allaccelerazione. Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto materiale nellintervallo di tempo dt –Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo) ma diverso da zero. –Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dellequazione precedente per dx

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Accelerazione in funzione della posizione Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente uguaglianza: Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso lintervallo di osservazione del moto, otteniamo: Osservando che dx/dt è la velocità v x, si ottiene: Integriamo il primo membro: La variabile di integrazione è v x La funzione integranda è f(v x )= v x La primitiva F(v x )= v 2 x /2

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Accelerazione in funzione della posizione Pertanto: Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere lespressione di a x (x). Esaminiamo il caso in cui laccelerazione a x (x) è costante, a x (x)= a xo. In conclusione otteniamo: Chiamando, come al solito, v xi =v xo, x i =x o, x f =x(t) e v xf =v x (t) Che ci da lespressione di v in funzione di x Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi.

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La misura di g Lapparato sperimentale consiste in 12 coppie di fotocellule -fotodiodi poste a distanza di 4 cm luna dallaltra lungo la verticale. Una pallina viene fatta cadere tra le fotocellule Si misurano 11 intervalli di tempo impiegati dalla pallina per percorrere lo spazio tra due fotocellule successive. Conoscendo la distanza tra due fotocellule successive si possono misurare 11 valori di velocità media y t 1 t 2 t 3

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Relazione tra la velocità media e la velocità istantanea Il moto viene studiato in un sistema di riferimento con lasse y orientato verso il basso Supponendo di far partire la misura dei tempi quando la pallina passa davanti alla prima fotocellula, che viene anche assunto come origine del sistema di riferimento, le equazioni del moto sono: v yo è la velocità con cui la pallina arriva alla prima fotocellula: Non è nulla se la pallina viene fatta cadere da un po più in alto. Calcoliamoci la velocità media tra gli istante t 1 e t 2 (t 2 >t 1 ) Dalla definizione

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Relazione tra la velocità media e la velocità istantanea Proseguendo: la velocità media tra gli istante t 1 e t 2 è uguale alla velocità istantanea nel istante di mezzo dellintervallo stesso. –Si osservi che questo risultato dipende dal fatto che la velocità varia linearmente con il tempo t1t1 t2t2

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La misura di g Allora mi calcolo gli istanti di tempo corrispondenti alla metà di ciascun intervallo di tempo: Riporto in un grafico i valori della velocità media in ciascun intervallo di tempo (= alla velocità istantanea al tempo intermedio) in corrispondenza del tempo intermedio Risultato: mi costruisci il grafico della velocità istantanea Dalla teoria so che i punti devono essere allineati su una retta di pendenza g Mi calcolo, con un fit, la pendenza della retta ed ottengo g

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Osservazioni sulla prova Si osservi come lerrore nella misura dei tempi si ripercuote maggiormente sugli intervalli di tempo più piccoli. –Limitarsi a considerare solo i primi intervalli di tempo (più lunghi) per fare la misura di g Ripetere la prova diverse volte, ed ottenere g come media delle varie misure e diminuire così lerrore casuale. Verificare se le varie misure si distribuiscono secondo una curva a campana. –E stato raggiunto il limite degli errori casuali? –Siamo affetti da errori sistematici ? –Come si può fare a stimare lerrore sistematico –Lorologio è tarato bene?

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato Il moto smorzato si verifica quando laccelerazione è proporzionale allopposto della velocità. a x =-bv x con b numero reale positivo. –Lanalisi dimensionale ci dice che b ha le dimensioni di un tempo alla meno uno e, nel SI, si misura in s -1. Un accelerazione di questo tipo si ottiene quando un corpo si muove in un fluido (liquido, gas). Supponiamo quindi di lanciare con una velocità iniziale non nulla v xo un corpo in una regione di spazio in cui laccelerazione è proporzionale allopposto della velocità. (per esempio moto di una barca su acque tranquille dopo aver smesso di remare) Possiamo scrivere la seguente equazione differenziale: Si vede che la funzione v x (t)=0 è una soluzione dellequazione differenziale, essa però non soddisfa al problema delle condizioni iniziali: non è la soluzione che va bene per noi –La nostra soluzione non è identicamente nulla.

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato Se la soluzione non è identicamente nulla, esistono degli intervalli di tempo in cui v x è diversa zero. Limitandoci a tali intervalli di tempo possiamo dividere ambi i membri per v x e moltiplicarli per dt In ciascuno degli infiniti intervalli infinitesimi dt, in cui abbiamo suddiviso lintero intervallo di osservazione del moto, la variazione di velocità subita dal punto materiale diviso per la sua velocità è uguale allopposto del prodotto della costante b per dt. Luguaglianza continuerà a valere anche quando sommo sugli infiniti intervalli infinitesimi di tempo: i ed f rappresentano gli istanti iniziale e finale dellintervallo di osservazione del moto, i coincide con t=0s, f con il generico istante t Equazione differenziale a variabili separabili.

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato Integriamo il primo membro: Integriamo il secondo membro: Lespressione della velocità in funzione del tempo. Variabile di integrazione v x Funzione integranda 1/ v x Primitiva log(v x ) Otteniamo: Oppure:

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato - studio del grafico della velocità Abbiamo ottenuto per la velocità lespressione: Indichiamo con =1/b la costante di tempo del moto, corrisponde infatti ad un intervallo di tempo. In termini di la velocità diventa:

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato - studio del grafico della velocità Si noti che, se v xo è diversa da zero, la velocità v x (t) è diversa da zero per tutti gli istanti di tempo tra 0s ed infinito. –A posteriori si giustifica dunque la divisione per v x. La velocità diminuisce con il passare del tempo Essa diminuisce di un fattore e=2.718 quando t aumenta di una costante di tempo Tende zero per t che tende allinfinito In realtà dopo 5 costanti di tempo il valore della velocità si è ridotto a meno dellun % del valore iniziale. La tangente al grafico allistante iniziale (laccelerazione iniziale) taglia lasse delle ascisse in un punto di ascissa pari a 1 costante di tempo. –Questo è particolarmente utile quando si deve disegnare a mano un esponenziale. –Conviene prima disegnarsi la retta tangente al grafico nellistante t=0s e poi, lasciandosi guidare dalla retta tangente si disegna la curva.

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato: la legge oraria Abbiamo ricavato lespressione della velocità in funzione del tempo: possiamo quindi risalire alla legge oraria. Si ottiene: Per t che tende ad infinito x(t) tende ad x o +v xo

21 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato: la legge oraria v xo

22 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il moto smorzato: la velocità in funzione della posizione Partiamo dalla definizione dellaccelerazione e cerchiamo di eliminare il tempo. Moltiplicando ambo i membri per dx Integrando Da cui: La velocità si annulla quando x raggiunge la sua posizione limite:


Scaricare ppt "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Appli cazio ne Dallugello della doccia sgocciola lacqua cadendo sul fondo posto 2.00 m più in basso. Le gocce."

Presentazioni simili


Annunci Google