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La legge di Snell applicata alle due superfici della lastra: sin 2 = (1/n) sin 1 ; sin 3 = n sin 2 da cui: 3 = 1 : la lastra non altera la direzione di.

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1 La legge di Snell applicata alle due superfici della lastra: sin 2 = (1/n) sin 1 ; sin 3 = n sin 2 da cui: 3 = 1 : la lastra non altera la direzione di propagazione ma provoca uno spostamento laterale d: Ora: sin ( ) = sin 1 cos 2 - cos 1 sin 2 e sin 2 = sin 1 /n si ottiene: Esempio: Un sottile fascio luminoso monocromatico di 0 = 589 nm incide con angolo i = 30 o su una lastra di vetro flint spessa h = 2 cm e con indice di rifrazione n = 1.66 ( a 0 ): determinare la posizione del fascio di uscita. Numericamente d = 4.53 mm. Se la luce non è monocromatica avviene il fenomeno della dispersione e lo spostamento d = d( ): in uscita si hanno raggi paralleli di diverso colore. Misurando d( ) è possibile ricavare n( ).

2 Misura di n con prisma Calcolare lindice di rifrazione n in funzione dellangolo di deviazione minima m e dellangolo di apertura del prisma. In condizioni di deviazione minima la luce allinterno del prisma si propaga parallela alla base. Si ha: = m /2, 1 = /2, i = 1 + = ( + m )/2. Da Snell: sin i = n sin 1, sin ( + m )/2 = n sin /2 e: Misurato m e noto si può calcolare lindice di rifrazione: nel caso di liquidi si può utilizzare un prisma cavo di vetro riempito del liquido in esame

3 Lunica condizione per cui per riflessione si origina un fascio polarizzato rettilineamente è la condizione di Brewster: tg B = 1.5; B = o ; t = ( B ) = o. Per la componente σ con il campo elettrico perpendicolare al piano di incidenza, che trasporta la potenza P/2 la percentuale di potenza riflessa è: R = sin 2 (56.31 – 33.69) = 0.15 e quindi la potenza del fascio riflesso è: P R = (P/2) R = 0.74 W. Per la componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza non vi è componente riflessa: tutta la potenza P/2 viene trasmessa: La potenza del fascio trasmesso è quindi: P T = P – P R = 9.26 W. Il fascio riflesso ha poca potenza ma è polarizzato rettilineamente: il fascio Esempio Un fascio di luce ordinaria di potenza P = 10 W incide con angolo su una lastra piana di vetro con n = 1.5. Il fascio riflesso risulta polarizzato rettilineamente: Calcolare, la potenza del fascio riflesso e del fascio trasmesso. Calcoliamo per una sola superficie di discontinuità!

4 trasmesso non polarizzato contiene il 93% della potenza incidente. Se ora consideriamo anche la seconda superficie si può ripetere il ragionamento: anche in questo caso siamo con incidenza allangolo di Brewster per cui la componente π con il campo elettrico parallelo al piano di incidenza non ha componente riflessa e viene trasmessa tutta, mentre il fascio riflesso è costituito tutto da componente σ Si avrà quindi: P(π) trasmessa = P/2 = 5 W. P(σ) riflessa = [ (5-0.74) R ] W = [ *0.15] W = [ ] W = 1.38 W La potenza totale PT = [5 + (5 – 1.38)] W = 8.62 W Al fascio trasmesso viene a mancare una porzione della componente σ crescente al crescere del numero di riflessioni. Il fascio riflesso è costituito da fasci paralleli ma spostati a causa dello spessore della lastra.

5 Esempio Un fascio luminoso di intensità I 0 polarizzato rettilineamente incide normalmente su un sistema di due polarizzatori P 1 e P 2 i cui assi formano un angolo = /4. Langolo tra il campo elettrico E i dellonda incidente e lasse ottico di P 1 è ancora = /4. Determinare la percentuale di energia trasmessa dal sistema P 1 P 2 Si applica in successione la legge di Malus: da P 1 esce unonda di intensità I 1 = I 0 cos 2 = I 0 /2 e da P 2 unonda di intensità I 2 = I 1 cos 2 = I 0 /4, per cui lenergia trasmessa è il 25% di quella incidente; il resto è stato assorbito e/o diffuso in ogni direzione. Esercizio Due onde luminose di 0 = 0.4 m attraversano due sottili lamine traspa- renti di egual spessore L = 4 m e indici di rifrazione n 1 = 1.4 e n 2 = 1.6

6 Calcolare la i ; il numero donde k i allinterno dei due mezzi; la differenza di tempo di percorrenza t; la differenza di fase introdotta nellattraversamento delle lamine. 1 = 0 /n 1 = m ; 2 = 0 /n 2 = 0.25 m ; k 1 = k 0 n 1 = (2 / 0 )n 1 = n 1 = m -1 ; k 2 = k 0 n 2 = m -1 t = (L/c)(n 2 - n 1 ) = s; = (k 2 -k 1 )L = k 0 L(n 2 -n 1 ) = 4 : le due onde sono in fase. Esercizio Un fascio di luce inizialmente in acqua (n 1 = 1.33) entra in una sostanza trasparente con angolo di incidenza 1 = 37 o ed il fascio rifratto esce ad un angolo 2 = 25 o. Calcolare la velocità della luce nella sostanza. n 2 = 1.89; v 2 = c/n 2 = m/s

7 Esercizio Un pesce nuota sottacqua a h = 30 cm al di sotto della superficie. Nellipotesi che venga osservato ad angoli piccoli rispetto alla normale calcolare la profondità h apparente. Esercizio Lindice di rifrazione dellaria è n = Una stella invia luce secondo una direzione che forma langolo 0 = 45 o rispetto allo zenit. Calcolare in quale direzione dovrà essere puntato un telescopio per vedere la stella al centro del suo campo. misurabile!

8 Esercizio In fig. un sottile fascio di luce incide su un sistema di tre lastre piane sovrapposte con indici n 1, n 2, n 3 = 1.55 con angolo = 60 o. Calcolare 3, 4 sin = n 1 sin 1 = n 2 sin 2 = n 3 sin 3 ; sin 3 = (sin )/n 3 ; 3 =34 o ; 4 = = 60 o Esercizio Un fascio di luce incide con un angolo 1 molto piccolo su una lastra di vetro trasparente a facce piane e parallele, di spessore h e indice n. Calcolare lo spostamento d del fascio alluscita dalla lastra. Dalla ; per 1 piccolo: 1 / 2 = n; cos 2 1 per cui

9 Esercizio Un fascio laser incide con un angolo = 50 o sulla superficie piana di una fibra ottica di diametro d = 3 mm, lunghezza l = 50 cm ed indice n = Calcolare il numero di riflessioni N che subisce il fascio prima di uscire dalla fibra; la lunghezza effettiva L eff del percorso della luce ed il tempo t di percorrenza. sin 1 = (sin )/n = 0.528; tg 1 = 0.622; h = d/ tg 1 = 4.82 mm; N 1/h 104; L eff = l/(cos 1 ) 58.9 cm; t = L eff n/c 3 ns. Esercizio Un fascio di luce incide con un angolo = 56 o su una faccia di un prisma retto; il fascio rifratto incide sullaltra faccia in modo che langolo di rifrazione sia di 90 o con la normale. Calcolare: lindice di rifrazione n del prisma; il massimo valore dellindice n max per

10 cui ciò è possibile. sin 1 = (sin )/n; = /2; 1/n = sin 2 = sin ( /2 - 1 ) = cos 1 da cui: Per = /2 n max = 1.41 Esercizio Un fascio di luce attraversa normalmente una lastra trasparente a facce piane e parallele di materiale con indice n = 1.5. Trascurando lassorbimento del materiale calcolare la percentuale di luce trasmessa dalla lastra. :percentuale riflessa dalla prima faccia della lastra; T = 1 – R = 0.96: percentuale trasmessa dalla prima faccia; dalla seconda faccia viene trasmessa la percentuale = (0.96) 2 = 0.92

11 Esercizio In fig. un sottile fascio di luce incide su una lastra a facce piane e parallele avente indice n 2 = 1.5; il fascio rifratto incide su una superficie che delimita due mezzi con indici n 2 ed n 3 : In entrambe le rifrazioni è verificata la condizione di Brewster. Calcolare n 3 : tg 1 = n 2 = 1.5; 1 = 56.3 o ; sin 2 = sin 1 /n 2 = ; tg 2 = = n 3 /n 2 ; n 3 = 1: aria

12 Uno specchio sferico concavo ha raggio di curvatura R = - 20 cm. Trovare la posizione dellimmagine per distanze delloggetto dal vertice V di: s 1 = 25 cm e s 2 = 5 cm; calcolare lingrandimento trasversale M di un piccolo oggetto posto nelle posizioni suddette. La distanza focale è f = -R/2 = 10 cm a)Per s 1 = 25 cm si ha: 1/25 + 1/q 1 = 1/10; q 1 = cm ; M 1 = -q 1 /s 1 = -0.67; limmagine reale si forma dalla stessa parte dello specchio in cui è loggetto, è più piccola e capovolta. b) Per s 2 = 5 cm si ha: 1/5 + 1/q 2 = 1/10; q 2 = -10 cm; M 2 = - q 2 /s 2 = 2; limmagine virtuale si forma dietro lo specchio, è diritta ed ingrandita.

13 Uno specchio sferico convesso ha raggio di cur- vatura R = 20 cm. Trovare la posizione dellim- magine di un piccolo oggetto posto a distanza s 1 = 25 cm dal vertice V dello specchio ed il suo ingrandimento trasversale. Ripetere il calcolo per s 2 = 5 cm. 1/25 + 1/q 1 = - 1/10; q 1 = cm M 1 = - q 1 /s 1 = Limmagine è virtuale, si forma tra il fuoco F ed il vertice V: è diritta e rimpicciolita. Per s 2 = 5 cm, q 2 = cm, M 2 = 0.67 e valgono le stesse considerazioni.

14 Una signora alta h = 170 cm si specchia in uno specchio piano verticale. Calcolare laltezza minima l dello specchio e la sua posizione rispetto a terra cui deve essere posto affinché la signora possa vedersi completamente. Si assuma che gli occhi distino 10 cm dal punto più alto della testa. Nella figura si sono tracciati i raggi estremi a e b che partendo dalla testa e dalle scarpe raggiungono gli occhi. Si vede che laltezza dello specchio dal pavimento è h = ( h – 10 )/2 = 80 cm per cui lo specchio deve avere altezza minima l = h + d/2 = 85 cm.

15 Un pesciolino nuota allinterno di un vaso sferico di vetro, pieno dacqua ( n = 1.33). Il raggio del vaso è R = 15 cm e il pesciolino si trova alla profondità p = 10 cm. Calcolare la posizione dellimmagine del pesciolino e il suo ingrandimento trasversale. Dalla ed. del diottro: n 1 /p + n 2 /q = (n 2 – n 1 )/R si ha: 1.33/10 + 1/q = (1 – 1.33)/-15 : q = -9 cm; limmagine virtuale si forma davanti alloggetto. Il pesciolino appare più lungo in quanto: I = n 1 q/n 2 p = -1.2

16 Determinare le posizioni dei fuochi per i quattro tipi di diottri possibili: Convesso: n 1 < n 2 f 1 = n 1 R/(n 2 -n 1 ) f 2 = n 2 R /(n 2 -n 1 ); R > 0 f 1 > 0; f 2 >0: reali Convesso n 1 > n 2 f 1 <0; f 2 <0 virtuali Concavo n 1 < n 2 f1<0; f2 <0 virtuali Concavo n 1 > n 2 f1>0; f2 >0 reali

17 Un pesce nuota a distanza d = 20 cm dal pelo dellacqua. Calcolare la profondità apparente q. Dallequazione del diottro: n 1 /s 0 + n 2 /s i = (n 2 – n 1 )/R. applicata al diottro piano si ha: q = - (n 2 /n 1 )d si ha: q = - (1/1.33)d = -15 cm: quindi il pesce appare a 15 cm al di sotto del pelo dellacqua

18 Una lente convergente simmetrica: biconvessa con R 1 = 0.3 m, R 2 = -0,3 m è fatta di vetro con n 2 = 1.5. Essa è alternativamente immersa in aria (n 1 = 1) o acqua (n 2 = 1.33). Calcolare nei due casi la distanza focale della lente. Dalla formula Si ricava: Da cui si vede che il potere convergente è minore (la focale maggiore) quando la differenza tra gli indici di rifrazione della lente e del mezzo circostante diminuisce.

19 Due lenti convergenti con f 1 = 15 cm e f 2 = 25 cm sono distanti d = 20 cm ed hanno lasse in comune. Un piccolo oggetto è posto a distanza p 1 = 25 cm davanti alla prima lente. Calcolare la posizione dellimmagine e lingrandimento trasversale. Per la prima lente: 1/25 + 1/q 1 = 1/15: q 1 = 37.5 cm misurato rispetto alla prima lente; il punto di coordinata q 1 cade a destra della seconda lente: i raggi uscenti dalla prima lente vengono intercettati dalla seconda lente e convergono a formare unimmagine reale. Limmagine della prima lente è oggetto virtuale per la seconda lente. Si ha: 1/ /q 2 = 1/25: q 2 = 10.3 cm. Limmagine finale della seconda lente è a destra della seconda lente ed è reale. Lingrandimento di ciascuna lente è: I 1 = - q 1 /p 1 = -1.5; I 2 = - q 2 /p 2 = 0.59 per cui I = I 1 I 2 = -0.88: limmagine è reale, capovolta e rimpicciolita.

20 Calcolare di quanto varia la distanza focale di un occhio normale quando locchio è accomodato per focalizzare il punto prossimo ( d = 25 cm), assumendo che quando è accomodato allinfinito sia f = 25 mm Quando p = 25 cm per avere q = 2.5 cm la focale deve essere: 1/25 + 1/2.5 = 1/f : f = 2.27 cm = 22.7 mm Per cui la distanza focale deve diminuire di Δf = -2.3 mm. Siccome vi è proporzionalità diretta tra f ed il raggio di curvatura R del cristallino deve avvenire una corrispondente diminuzione di R: ΔR/R = Δf/f = che è effettuata dai muscoli ciliari.


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