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Potenziale Coulombiano Atomo monoelettronico >>>> Idrogeno Bohr >>>> Livelli energetici Conferma dallequazione di Schroedinger Mancano le funzioni donda.

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Presentazione sul tema: "Potenziale Coulombiano Atomo monoelettronico >>>> Idrogeno Bohr >>>> Livelli energetici Conferma dallequazione di Schroedinger Mancano le funzioni donda."— Transcript della presentazione:

1 Potenziale Coulombiano Atomo monoelettronico >>>> Idrogeno Bohr >>>> Livelli energetici Conferma dallequazione di Schroedinger Mancano le funzioni donda Le orbite di Bohr non compatibili con il principio di indeterminazione Il momento angolare orbitale non è inserito nel giusto contesto Non è previsto lo spin Rate di transizione tra i livelli Problema a due corpi si riduce ad un solo corpo con massa ridotta (+ moto del centro di massa/atomo)

2 Eq di Schroedinger per latomo monoelettronico V(r) Potenziale centrale

3 Coordinate sferiche Analogamente per y e z

4 Separazione delle variabili Lespressione del gradiente quadro si complica con il cambio di variabile ma abbiamo la possibilità di una separazione di variabili Cominciamo dalla. Moltiplichiamo tutto per e così possiamo isolare 1

5 Rimane Il problema è di risolvere queste equazioni 3 2 1

6 Soluzioni delle equazioni a variabili separate Abbiamo però introdotto due parametri m l e l Cominciamo ad esaminare la prima equazione. E facile verificare che la soluzione é: Bisogna tenere conto del requisito che la funzione donda deve essere a singolo valore. Questo impone una condizione sui valori che m l può assumere

7 Soluzioni delle equazioni a variabili separate Passiamo ora alla equazione nellaltra variabile angolare Il requisito che la funzione donda deve essere limitata impone una condizione sui valori che l può assumere ovvero i valori positivi Funzioni associate di Legendre F lm Polinomi di Legendre

8 Soluzioni delle equazioni a variabili separate Passiamo infine alla equazione nella variabile radiale che scriviamo, per comodità, in unità atomiche E facile verificare che vale la sostituzione:

9 Soluzione dellequazione donda radiale Eq unidimensionale con un termine di potenziale apparente in più. Come possiamo interpretare questo termine? Operatore momento angolare orbitale L

10 Soluzione dellequazione donda radiale Problema radiale identico ad un problema unidimensionale con energia potenziale Lintervallo in cui lenergia cinetica è positiva aumenta con laumentare di n

11 Soluzione dellequazione donda radiale x polinomi di Laguerre di grado (a-b) Nel mezzo la funzione si comporta in modo genericamente oscillante Il polinomio deve arrestarsi ad una potenza finita in modo da non interferire con lesponenziale. Sostituendo si ottiene la condizione di quantizzazione dellenergia

12 La densità di carica radiale è data da R 2 per il volume racchiuso tra r e r+dr, ovvero Per grandi r il limite del moto classico dipende dallenergia totale e quindi dal numero quantico principale n Tanto maggiore n tanto più estesa è lorbita classica (energia cinetica positiva). Per r la P(r) va come. Si trova quindi che il raggio misurato in unità atomiche è dato da n 2 /Z

13 Componente angolare della funzione donda Armoniche sferiche l=0,s 1,p 2,d 3,f 4,g


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