La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Integrali definiti I parte Iniziamo ripercorrendo quanto visto a lezione. Utilizziamo un foglio preimpostato di Geogebra. Integrali definiti – I parte.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Integrali definiti I parte Iniziamo ripercorrendo quanto visto a lezione. Utilizziamo un foglio preimpostato di Geogebra. Integrali definiti – I parte."— Transcript della presentazione:

1 Integrali definiti I parte Iniziamo ripercorrendo quanto visto a lezione. Utilizziamo un foglio preimpostato di Geogebra. Integrali definiti – I parte

2 Integrali definiti – I parte Ripercorriamo i vari passaggi cercando di definire le diverse azioni fatte 1.Abbiamo considerato una funzione f(x): continua (e tornerà utile a breve) positivia (e dopo vedremo che non è fondamentale) 2.Abbiamo considerato un intervallo limitato e chiuso [a,b] a è detto estremo inferiore b è detto estremo superiore Inutile dire che a<=b 3. Abbiamo considerato la zona delimitata da: asse x, x=a,x=b e y=f(x) che abbiamo chiamato trapezoide. Possiamo descrivere il trapezoide anche come l’insieme dei punti (x,y) tali che x è compreso tra a e b, y è compreso tra 0 e f(x)

3 Integrali definiti – I parte Abbiamo poi costruito una partizione dell’intervallo [a,b] Ricordiamo che in generale una partizione di un insieme A è una famiglia di sottoinsiemi di A, a due a due disgiunti e la cui unione è tutto A. Nel nostro caso la partizione dell’intervallo I=[a,b] sarà costituita da sottointervalli disgiunti Ciascun sottointervallo sarà delimitato da due ascisse Possiamo allora affermare che una partizione di [a,b] è l’insieme di ascisse

4 Integrali definiti – I parte Abbiamo poi costruito una partizione dell’intervallo [a,b] in n sottointervalli Inoltre possiamo osservare che ciascun sottointervallo avrà una ampiezza che indicheremo con Se tutte le ampiezze sono uguali diremo la partizione equispaziata e chiameremo passo della partizione tale ampiezza che risulterà Se le ampiezze sono diverse allora sceglieremo l’ampiezza massima (l’idea è che nel tanto ci stà il poco!) e la chiameremo norma Noi per facilitarci scegliamo una partizione equispaziata. Chi avesse voglia potrà verificare che i punti della partizione possono essere facilmente calcolati con la formula:

5 Integrali definiti – I parte Costruiamo adesso i rettangoli: in ciascun sottointervallo vogliamo costruire un rettangolo che sia interamente contenuto nel trapezoide. Ce ne sono infiniti; scegliamo quello che ha come altezza il minimo di f(x) nell’intervallo. In ogni sottointervallo scegliamo il minimo della funzione f(x) e lo indichiamo con Per il teorema di Weierstrass: f continua in un intervallo limitato e chiuso allora ammette un minimo e un massimo assoluto Osserviamo: limitiamoci per un momento a considerare solo le “basi superiori” di questi rettangoli: -Graficamente otteniamo una funzione a “gradoni” o costante a tratti. - Proviamo a descriverla con una espressione:

6 Integrali definiti – I parte Poiché tornerà utile diamo la definizione di funzione a scala (o a gradoni) o costante a tratti: è una funzione che è costante in ciascun sottointervallo di una partizione di [a.b] E la descriviamo con Come abbiamo visto in classe non è una idea tanto strana o strampalata: ad esempio sono funzioni a scala: -Piovosità mensile media - Produzione industriale

7 Integrali definiti – I parte Torniamo ai nostri rettangoli Descritta la funzione a scala s(x): costante su ciascun sottointervallo di valore = minimo di f(x) in Calcoliamo l’area del plurirettangolo: calcoliamo l’area del rettangolo di base che risulterà sommiamo tutte le aree Otterremo un valore. Lo possiamo vedere nel nostro foglio di Geogebra Definiamo plurirettangolo l’unione di tutti i rettangoli Poiché questo plurirettangolo è costruito in modo da stare dentro il trapezoide lo possiamo chiamare plurirettangolo minorante

8 Integrali definiti – I parte Ripetiamo il procedimento e andiamo a costruire un plurirettangolo che contenga il trapezoide. Otterremo un valore. Lo possiamo vedere nel nostro foglio di Geogebra 1.Consideriamo la funzione a scala ottenuta considerando in ciascun sottointervallo il massimo della funzione f(x) 2.Consideriamo il plurirettangolo maggiorante 3.Calcoliamo l’area di tale plurirettangolo

9 Integrali definiti – I parte Arriviamo ora al nodo di tutto il discorso. Nel foglio di Geogebra possiamo modificare il numero di sottointervalli e ottenere: -Diversi plurirettangoli maggioranti e minoranti - Diversi valori per le aree di tali plurirettangoli. Aiutandoci con Geogebra e con un poco di intuito possiamo pensare che: 1.Le aree dei plurirettangoli minoranti sono sempre minori di quelle dei maggioranti 2.Aumentando i sottointervalli la differenza tra le aree dei maggioranti e quelle dei minoranti diminuisce 3.Non abbiamo limite al numero di sottointervalli che possiamo considerare (al meno nella nostra mente!) L’idea allora che ci può venire è quella di una pressa, o di un hot dog

10 Integrali definiti – I parte Vediamo prima con Geogebra Vediamo prima con Geogebra e poi proviamo a rendere rigoroso il discorso. Mettiamo: -in un insieme L tutte le aree dei plurirettangoli minoranti - in un insieme U tutte le aree dei plurirettangoli maggioranti Aumentando il numero dei sottointervalli gli elementi di L e di U si avvicinano Qui troviamo tutto quanto visto in precedenza Qui sono riportate le aree maggioranti e minoranti e la loro differenza

11 Integrali definiti – I parte Proviamo adesso a mettere il tutto in forma rigorosa

12 Integrali definiti – I parte Proviamo adesso a mettere il tutto in forma rigorosa Ovvero la terza colonna del nostro foglio avrà valori sempre “più piccoli”

13 Integrali definiti – I parte Concludiamo questa prima parte con due osservazioni Il nostro discorso non si modifica se la funzione non è tutta positiva. Cambierà solo il fatto che l’area dei rettangoli “sotto l’asse x” avrà un segno negativo (o per esser più precisi, poiché l’area è sempre >0, andrà sottratta ) E se “l’area” del trapezoide risultasse negativa? Il nostro ragionamento continua ad esser corretto, ma non potremo più riferirci al concetto di area o dovremo interpretare il segno “-”


Scaricare ppt "Integrali definiti I parte Iniziamo ripercorrendo quanto visto a lezione. Utilizziamo un foglio preimpostato di Geogebra. Integrali definiti – I parte."

Presentazioni simili


Annunci Google