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Contenuti minimi Matematica 1 ° anno del 1° biennio degli istituti superiori. La scomposizione di un polinomio in fattori Le operazioni con le frazioni.

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2 Contenuti minimi Matematica 1 ° anno del 1° biennio degli istituti superiori. La scomposizione di un polinomio in fattori Le operazioni con le frazioni algebriche Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni I sistemi di equazioni di 1° grado Home

3 La scomposizione di un polinomio in fattori Scomporre un polinomio in fattori significa trasformarlo in un prodotto di polinomi e monomi. Per scomporre un polinomio in fattori si possono applicare vari procedimenti. La scelta del procedimento dipende da come si presenta il polinomio da scomporre. Si potranno anche applicare più procedimenti nella stessa scomposizione. Raccoglimenti Binomi Trinomi particolari Quadrinomi particolari Scomposizione mediante la Regola di Ruffini Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione Verifica Scelta Contenuti matematicaHome

4 Raccoglimento a fattore comune: metti in evidenza il M.C.D. tra tutti i termini del polinomio, cioè i fattori comuni con il minimo esponente. M.C.D. polinomio Esempi: x 2 + ax + bx = x ( x + a + b ). 6a 2 b 3 - 2a 4 b 2 + 4a 3 b 3 = 2a 2 b 2 ( 3b - a 2 + 2ab ) Raccoglimenti parziali: raccogli i monomi che hanno dei fattori comuni; è importante che le parentesi ottenute dopo i primi raccoglimenti siano eguali in modo da poter procedere successivamente con un raccoglimento a fattore comune!monomi Esempio: ax + x + ab + b = x (a+1) + b (a+1) = (a+1)(x+b) I raccoglimenti

5 Esempi guidati di raccoglimenti totali 1 - Scomporre x 3 +2x 2 -x= Si calcola il massimo comune divisore tra x 3, x 2,x, cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = x. Si scrive il MCD trovato in evidenza, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè: x ( x 3 :x + 2x 2 :x – x:x) = ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente x ( x 2 + 2x -1 )

6 Esempi guidati di raccoglimenti totali Scomporre 2 a ( x+1) – 4 b ( x +1 ) = Si calcola il massimo comune divisore tra 2 a ( x+1 ), 4 b ( x+1 ), cioè si moltiplicano tra loro i fattori comuni con il minimo esponente. Nel nostro caso MCD = 2 ( x+1 ). Si scrive il MCD trovato in evidenza, successivamente si apre una parentesi tonda e si scrivono i termini che si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il MCD, si chiude la parentesi. Cioè: 2 ( x+1 )[ 2 a (x+1): 2(x+1) – 4 b (x+1) : 2(x+1)]= ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente 2 (x+1) (a – 2b)

7 Esempi guidati di raccoglimenti parziali Scomporre xa + 4 ay + 2 xb + 8b y= Osserviamo che non si può procedere con un raccoglimento totale perché il MCD tra tutti i termini è 1! Osserviamo, però, che il 1° e 3° termine hanno un MCD diverso da 1 come anche il 2° e il 4°! Cioè: xa + 4a y + 2b x + 8b y= MCD= x MCD = 4y In pratica si procede così: x (xa:x +2bx:x) + 4y (4ay:4y + 8by:4y) = ATTENTO! Le divisioni nella parentesi si svolgono mentalmente, infatti, in pratica, si scrive direttamente x ( a + 2b) +4y (a + 2b)= Possiamo ora procedere con il raccoglimento totale di (a+2b) e scrivere: (a + 2b) (x + 4y)

8 I Binomi

9 Quadrato di binomio: un trinomio potrebbe essere uguale al quadrato di un binomio se presenta due quadrati positivi; Esempio: 9a 2 +12ab+4b 2 = (3a+2b) 2 Attenzione! Verifica sempre leguaglianza! Trinomio di 2 o grado ordinato secondo le potenze decrescenti della variabile x, con il primo coefficiente eguale a 1: puoi provare a scomporlo con la regola della somma e prodotto. A tal fine, per tentativi, trova due numeri che come somma siano uguali al coefficiente della variabile di 1°gr. e come prodotto uguali al termine noto. Esempio: x 2 +5x+6= x 2 +(+2+3)x+[(+2)(+3)]= (x+2)(x+3) Trinomi particolari

10 Se il polinomio da scomporre è un quadrinomio che contiene 2 cubi, esso potrebbe essere uguale al cubo di un binomio. Esempio: 8x 3 -12x 2 +6x-1 = ( 2x-1 ) 3 Attenzione! Verifica sempre luguaglianza! Quadrinomi particolari

11 Supponiamo di dover scomporre il polinomio dividendo x 3 -3x-2. Ricordando che dividendo = divisore * quoziente, effettuiamo la scomposizione in due fasi:dividendodivisore 1- calcolo del divisore - si cercano i divisori del termine noto del polinomio da scomporre (nel nostro esempio i divisori di -2 sono +/-1 e +/-2); per tentativi, tra i divisori si trova quello, che chiameremo a, che annulla il polinomio [ nellesempio, il valore che annulla il polinomio è a= -1, infatti P(-1)= (-1) 3 -3(-1)-2 =0 ]; il divisore cercato sarà (x-a). [ nel nostro esempio (x+1)] Attenzione al cambiamento di segno!. 2- calcolo del quoziente - per calcolare il quoziente applichiamo la Regola di Ruffini [ nel nostro esempio calcoliamo (x 3 -3x-2):(x+1), che dà come risultato x 2 -x-2] In conclusione x 3 -3x-2 = (x+1)(x 2 -x-2) Scomposizione mediante la Regola di Ruffini

12 Raccoglimento a fattore comune; Raccoglimenti parziali; Binomi: Differenza di quadrati a 2 -b 2 = (a+b)(a-b) Differenza di cubi a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Somma di cubi a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2 ) Trinomi: Trinomio quadrato di binomio a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 Trinomio di 2° gr. ordinato con primo coefficiente uguale ad 1 Regola della somma e del prodotto. Quadrinomi Quadrinomio cubo di binomio a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 = (a+b) 3 Polinomi di ennesimo grado Scomposizione con la Regola di Ruffini Quadro riassuntivo dei metodi di scomposizione verifica

13 Verifica: Scomponi i seguenti polinomi in fattori Cliccando su soluzioni potrai controllare i tuoi risultati soluzioni

14 Soluzioni verifica

15 Le operazioni con le frazioni algebriche Una frazione algebrica è il quoziente di due polinomi, il secondo dei quali diverso da zero. o Ao Addizione e sottrazione di frazioni algebriche o Mo Moltiplicazione tra frazioni algebriche o Do Divisione tra frazioni algebriche o Po Potenza di frazioni algebriche Verifica Scelta Contenuti matematicaHome

16 Procedi nel seguente modo: Scomponi i denominatori di ciascuna frazione;denominatori Calcola il m.c.m. tra i denominatori;m.c.m. Dividi il m.c.m. per il denominatore di ciascuna frazione e moltiplica per il corrispondente numeratore; Svolgi i calcoli al numeratore e somma gli eventuali monomi simili;numeratoremonomi simili; Scomponi, se possibile, il numeratore; Semplifica eventualmente la frazione. Esempio: Addizione e sottrazione di frazioni algebriche

17 Scomponi il numeratore e il denominatore delle frazioni; Semplifica in verticale o in diagonale MAI in orizzontale;Semplifica Moltiplica i fattori rimasti. Esempio: Moltiplicazione tra frazioni algebriche

18 Procedi nel seguente modo: Scomponi i numeratori e i denominatori; Inverti la seconda frazione; Semplifica in verticale o in diagonale MAI in orizzontale;Semplifica Moltiplica i fattori rimasti. Esempio: Divisione tra frazioni algebriche

19 Procedi nel seguente modo: Scomponi in fattori il numeratore e il denominatore, se possibile; se possibile, riduci la frazione ai minimi termini;frazione ai minimi termini eleva allesponente dato sia il numeratore, sia il denominatore della frazione, facendo attenzione ai segni. Esempio: Potenza di frazioni algebriche

20 Verifica: Risolvi le seguenti espressioni Cliccando su ogni traccia potrai controllare i procedimenti di risoluzione

21 Procedimento risolutivo espressione 1^ Verifica

22 Procedimento risolutivo espressione 2^

23 Procedimento risolutivo espressione 3^ Fai attenzione alla scomposizione di a ! Verifica

24 Attenzione al cambiamento di segno! Procedimento risolutivo espressione 4^ Verifica

25 Procedimento risolutivo dellespressione 5^ Verifica

26 Scelta Contenuti matematicaHome Le eguaglianze algebriche: identità ed equazioni identità ed Equazioni: generalità ( Identità o equazione? – Tipi di equazione – Equazioni determinate, indeterminate, impossibili – Forma normale, grado – Soluzioni ) Principi di equivalenza: 1° principio – 2° principio – Lequilibrio delle equazioni Procedimento risolutivo di una equazione numerica intera di 1° grado Procedimento risolutivo di una equazione numerica fratta di 1° grado Procedimento risolutivo di una equazione letterale intera di 1° grado Verifica

27 Eguaglianze algebriche IdentitàEquazioni Eguaglianza tra due espressioni letterali verificata da qualsiasi valore attribuito alle lettere Eguaglianza tra due espressioni algebriche letterali verificata da particolari valori attribuiti alle lettere a+3 = 3+a per a=4 4+3=3+4 per a=0 0+3=3+0 Qualsiasi valore di a rende leguaglianza vera! b+5 = 7 Lunico valore che si può attribuire a b per rendere leguaglianza vera è b = 2! Identità ed equazioni

28 Leguaglianza è una IDENTITA se Leguaglianza è una EQUAZIONE se Svolgendo tutti i calcoli e sommando i termini simili nei due membri delleguaglianza, si ottengono in entrambi gli stessi termini Svolgendo tutti i calcoli e sommando i termini simili nei due membri delleguaglianza, NON si ottengono in entrambi gli stessi termini 5(6 a + 3 b)+3 a=3(11 a + 5 b) 30 a + 15 b +3 a=33 a + 15 b 33 a + 15 b=33 a + 15 b 2(3 a + 3) + 2 b=3 a – 3( a) 6 a b=3 a – 6 – 12 a 6 a b=– 6 – 9 a Come verificare se una eguaglianza è una identità o una equazione

29 numerica: se, oltre alla lettera incognita, non figurano altre lettere; es: 4x+2 = 5- 4x letterale: se, oltre alla lettera incognita, figurano altre lettere; es: 3a+4x = 4+6x-a intera: se la lettera incognita non figura al denominatore; es:3x+4=4x-3 fratta: se la lettera incognita figura anche al denominatore; es:(4x+3)/(5x-1)= 6/(8x) Tipi di equazioni

30 Unequazione del tipo ax = b può essere: determinata: se ammette un numero finito di soluzioni; cioè se a#0 e b#0, x = a/b indeterminata: se ammette infinite soluzioni; cioè se a = 0 e b = 0 impossibile: se non ammette nessuna soluzione; cioè se a = 0 e b#0 Equazioni determinate, indeterminate, impossibili

31 Una equazione si dice ridotta a forma normale se, tramite delle opportune trasformazioni, è posta nella forma P(x) =0. Si chiama grado di una equazione lesponente massimo con il quale lincognita figura nellequazione ridotta a forma normale. Es: lequazione 4 x x – 6 = 0 è di 3°grado. Equazione a forma normale Grado di una equazione

32 Risolvere unequazione significa trovare quei valori da dare alla lettera incognita in modo che leguaglianza risulti verificata. Es: la soluzione dellequazione 2x+4 =10 è x =3 infatti, sostituendo tale valore nellequazione verifichiamo che leguaglianza risulta vera : 2 * 3 +4 =10. Le soluzioni di una equazione Due o più equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Il numero delle soluzioni di una equazione coincide con il suo grado. Es: una equazione di 1° grado ha una soluzione, una di 2° ha due soluzioni...

33 1° Principio: addizionando ad ambo i membri di una equazione uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: _Regola della cancellazione: se nei due membri di una equazione cè un addendo uguale, questo si può cancellare. Es: 2x+4+5x= 2x+8 4+5x = 8. _Regola del trasporto: in una equazione si può trasportare un termine da un membro allaltro cambiandogli il segno. Es: 2x+4+5x= x-3 2x+5x-x= Principi di equivalenza: 1° principio

34 Principi di equivalenza: 2° principio 2° Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una equazione per uno stesso numero o espressione diversa da zero, si ottiene una equazione equivalente a quella data. Conseguenze: Regola della cancellazione: se nei due membri di una equazione cè un fattore comune diverso da zero, questo può essere cancellato. Es: 2x (x+1) = (x+1) (2x+4) 2x=2x+4 con x+1# 0 Regola della soppressione dei denominatori numerici: per eliminare i denominatori numerici basta moltiplicare ambo i membri per il loro m.c.m. Es:

35 I due principi ci dicono che unequazione è come una bilancia in equilibrio: per mantenere lequilibrio ciò che si fa su un piatto bisogna farlo anche sullaltro! Lequilibrio delle equazioni!

36 Se ci sono coefficienti frazionari, si calcola il loro m.c.m.; si divide il m.c.m. trovato per ciascun denominatore e si moltiplica per il corrispondente numeratore; si svolgono gli eventuali prodotti al numeratore di entrambi i membri dellequazione; applicando la 2^ conseguenza del 2° Principio si eliminano i denominatori se ci sono; applicando la 1^ conseguenza del 1° Principio si cancellano eventualmente i termini uguali nei due membri; applicando la 2^ conseguenza del 1° Principio si trasportano i termini contenenti lincognita al primo membro e quelli noti al secondo; si sommano i termini simili; applicando il 2° Principio si dividono entrambi i membri per il coefficiente, se diverso da 1, della lettera incognita. Procedimento risolutivo di una equazione numerica intera di 1° grado Esempio

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38 E conveniente portare tutti i termini dellequazione al primo membro. Si scompongono in fattori i denominatori che figurano nellequazione. Si calcola il minimo comune multiplo tra i denominatori. Si divide il m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica per il corrispondente numeratore. Si svolgono i calcoli al numeratore ( eventuali moltiplicazioni e somme algebriche). Si determinano le condizioni di accettabilità (C.A) delle eventuali soluzioni ciò per evitare che qualche frazione algebrica perda di significato per qualche valore dellincognita. Per determinare le C.A. si impone m.c.m #0. Si sopprime il denominatore (m.c.m.). Si risolve lequazione intera così ottenuta. Delle soluzioni trovate si accettano solo quelle che soddisfano alle condizioni di accettabilità. Procedimento risolutivo di una equazione numerica fratta di 1° grado Esempio

39 Si portano tutti i termini al primo membro Si scompongono tutti i denominatori Si calcola il m.c.m. tra i termini al denominatore; quindi si divide il m.c.m. per ciascun denominatore e si moltiplica per il corrispondente numeratore Si determinano le condizioni di accettabilità delle soluzioni Applicando il 2° principio si elimina il denominatore e si svolgono i calcoli Si controlla laccettabilità della soluzione!

40 Svolgi gli eventuali prodotti indicati e libera lequazione dai denominatori se questi sono presenti (se i denominatori sono numerici si sopprimono semplicemente per il 2° principio; se i denominatori sono letterali dovrai determinare quei valori dei parametri per cui essi si annullano). Trasporta tutti i monomi contenenti lincognita al primo membro e tutte le costanti al secondo. Somma i termini simili. Eventualmente raccogli a fattor comune lincognita al primo membro facendo assumere allequazione la forma Ax=B dove A e B possono essere monomi o polinomi. Se A e B sono polinomi scomponili in fattori. Procedi alla discussione: se A = 0 e B = 0 equazione indeterminata infinite soluzioni se A = 0 e B 0 equazione impossibile nessuna soluzione se A 0 e B 0 equazione determinata soluzione x = B/A Esempio Procedimento risolutivo di una equazione letterale intera di 1° grado

41 discussione: m=3 equazione impossibile nessuna soluzione se (m-3)(m-1)=0 m=1 equazione perde significato (v. condizione su m) se (m-3)(m-1)0 m 1 e m 3 equazione determinata x= 2/(m-3) Condizione di accettabilità di m

42 Verifica: Trova le soluzioni delle seguenti equazioni Cliccando sulle tracce potrai controllare i procedimenti risolutivi

43 Procedimento risolutivo dellequazione numerica intera Verifica

44 Procedimento risolutivo dellequazione numerica a coefficienti frazionari Verifica

45 Procedimento risolutivo dellequazione numerica fratta Verifica

46 Procedimento risolutivo dellequazione letterale

47 Scelta Contenuti matematicaHome I sistemi di equazioni di 1° grado o Generalità sui sistemi di equazioni: * soluzioni, forma normale, grado * sistema determinato, indeterminato, impossibile. o Metodi di risoluzione: * Metodo di sostituzione * Metodo di addizione * Matrici e determinanti – Metodo di Cramer Verifica

48 Si chiama soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite x e y, una coppia ordinata di numeri che, sostituiti a x e y, soddisfano simultaneamente entrambe le equazioni. Risolvere un sistema di equazioni in due incognite vuol dire trovare tutte le soluzioni del sistema. Un sistema si dice posto nella forma normale se si può scrivere in questa forma: a x + b y = c. ax + by = c Il grado di un sistema di equazioni, posto nella forma normale,è il prodotto dei gradi delle singole equazioni. Soluzioni – Forma normale – Grado di un sistema

49 Un sistema nella forma normale: a x + b y = c si dice: Determinato se ammette un numero finito di soluzioni; questo si verifica se: Impossibile se non ha soluzioni; questo si verifica se: Indeterminato se ammette infinite soluzioni; questo si verifica se: Sistema determinato, indeterminato, impossibile

50 Si risolve una delle equazioni rispetto ad unincognita, ad es. la x; Si sostituisce lespressione così trovata al posto della x nellaltra equazione; Si risolve questultima equazione rispetto allincognita y, determinando il valore di questa incognita; Si sostituisce il valore trovato della y nella espressione contenente la x. Metodo di sostituzione Esempio

51 Rifletti: conviene sempre ricavarti la variabile che ha come coefficiente 1! Nel nostro caso appunto la x

52 Si pone il sistema in forma normale Se necessario, si moltiplicano ambo i membri delle due equazioni per numeri, diversi da zero, tali che i coefficienti di una delle incognite, per esempio la x, risultino opposti; Si sommano, membro a membro,le due equazioni ottenute; Si risolve lequazione ottenuta nella incognita y; Con analogo procedimento si ricava il valore della variabile x. Metodo di addizione Esempio

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54 Una matrice è un qualsiasi gruppo di numeri ordinatamente disposti su righe e colonne. Una matrice con il numero delle righe uguale a quello delle colonne si chiama quadrata. Ad ogni matrice quadrata 2X2si può associare un numero, detto determinante, che si ottiene sottraendo al prodotto degli elementi della diagonale principale il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Cioè: Diagonale principale Diagonale secondaria Matrici e determinanti

55 Poni il sistema nella forma normale Calcola il determinante del sistema Calcola il determinante di x Calcola il determinante di y I valori delle incognite sono: x = x / y = y / Esempio Metodo di Cramer

56 Osserva come sono stati calcolati i determinanti!

57 Verifica: Risolvi i seguenti sistemi con i metodi indicati. Cliccando su ogni traccia potrai controllare lo svolgimento

58 Conviene ricavare la x in quanto ha coefficiente = 1! Verifica

59 Moltiplichiamo per -4 la seconda equazione in modo che i coefficienti della x siano opposti! Moltiplichiamo la prima equazione per 5 e la seconda per -3 in modo che i coefficienti della y siano opposti! Verifica

60 Svolgiamo dapprima i calcoli nelle equazioni separatamente in modo da porre il sistema nella forma normale Verifica

61 B Binomio: polinomio formato da due soli termini. Es: 2x+y ; 5 a 2 -b

62 D Dividendo:è il primo termine della divisione Divisore: è il secondo termine della divisione dividendo divisore quoto resto o Denominatore: è il termine che si trova sotto il segno di frazione Numeratore denominatore

63 M Monomio:espressione letterale che non contiene operazioni di addizione e sottrazione 3 a b- a b- ½ a 2 o Monomi simili: due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale 3 a b- a b

64 o M.C.D.(massimo comune divisore tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente o m.c.m.(minimo comune multiplo tra numeri o polinomi): si scompongono in fattori primi i numeri o i polinomi; si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente M.C.D. ( 20; 16 ) = ( 2 2 * 5 ; 2 4 ) = 22 M.C.D. [ ( x 2 – 1 ); x 2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = ( x – 1 ) m.c.m. ( 15; 18 ) = ( 3 * 5 ; 2 * 3 2 ) = 2 * 3 2 * 5 = 90 m.c.m. [ ( x 2 – 1 ); x 2 – x ] = [ ( x – 1 )( x + 1 ) ; x ( x – 1 ) ] = x ( x – 1 ) ( x + 1 )

65 N Numeratore: è il termine che si trova sopra il segno di frazione Numeratore denominatore

66 P Polinomio: è la somma algebrica di monomi interi 2 a b + 4 a

67 Q Quadrinomio: è un polinomio formato da 4 termini 4 a + 2b – a 2 + 5b 3

68 R Regola di Ruffini: permette di svolgere la divisione tra un polinomio ordinato e completo e un binomio di 1° grado con il coefficiente del termine di 1° grado uguale a 1. per illustrare questa regola svolgiamo la divisione Ordiniamo i coefficienti come nel prospetto, Cambiando il segno del termine noto: Scriviamo il primo coefficiente sotto la linea orizzontale e moltiplichiamolo per +3; trascriviamo il risultato +6 sotto il secondo coefficiente +4 e sommiamo trascrivendo il risultato +10 sotto la linea orizzontale Moltiplichiamo ora anche +10 per +3 e trascriviamo il risultato +30, sotto il terzo coefficiente -1; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +29 sotto la linea orizzontale. Moltiplichiamo ancora +29 per +3 e trascriviamo il risultato + 87 sotto il termine noto +5; sommiamo algebricamente e trascriviamo il risultato +92 sotto la linea orizzontale Il quoto della divisione sarà il polinomio 2 x x + 29 con resto +92 Osserviamo che il grado del polinomio quoto è inferiore di 1 rispetto al grado del polinomio dividendo!

69 S Semplificazione di una frazione algebrica: Semplificare una frazione algebrica significa dividere il suo numeratore e denominatore per un fattore comune. La frazione si dirà semplificata ai minimi termini se non si potrà ulteriormente semplificare. Per semplificare una frazione si procede così: * Si scompongono il numeratore e il denominatore della frazione * Si eliminano dal numeratore e dal denominatore i fattori comuni

70 T Trinomio: è un polinomio formato da tre termini ad es: 5ab + 6b + c


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