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Le proporzioni. Definizione di rapporto: Dati due numeri a e b, con b diverso da 0, si dice rapporto fra a e b il quoziente di a per b e si scrive: Dati.

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1 Le proporzioni

2 Definizione di rapporto: Dati due numeri a e b, con b diverso da 0, si dice rapporto fra a e b il quoziente di a per b e si scrive: Dati due numeri a e b, con b diverso da 0, si dice rapporto fra a e b il quoziente di a per b e si scrive: a:b oppure a a:b oppure a b

3 Definizione di proporzione: Dati quattro numeri: a, b, c, d, nellordine in cui sono scritti e con b e d diversi da 0, si dice che essi sono in proporzione se il rapporto fra i primi due è uguale al rapporto fra gli ultimi due e si scrive: Dati quattro numeri: a, b, c, d, nellordine in cui sono scritti e con b e d diversi da 0, si dice che essi sono in proporzione se il rapporto fra i primi due è uguale al rapporto fra gli ultimi due e si scrive: a:b = c:d dove: a:b = c:d dove: b e c sono detti medi ; a e d sono detti estremi ; a e c sono detti antecedenti ; b e d sono detti conseguenti ; d è detto quarto proporzionale.

4 Proporzione continua: Definizione: Definizione: Se in una proporzione, i medi sono uguali, la proporzione si dice continua e il termine medi si dice Medio Proporzionale Se in una proporzione, i medi sono uguali, la proporzione si dice continua e il termine medi si dice Medio Proporzionale a:b = b:c a:b = b:c c è detto terzo proporzionale c è detto terzo proporzionale Es. 2:4 = 4:8 Es. 2:4 = 4:8

5 Proprietà: Proprietà: Proprietà fondamentale Proprietà fondamentale Proprietà fondamentale Proprietà fondamentale Proprietà dellinvertire Proprietà dellinvertire Proprietà dellinvertire Proprietà dellinvertire Proprietà del permutare Proprietà del permutare Proprietà del permutare Proprietà del permutare Proprietà del comporre Proprietà del comporre Proprietà del comporre Proprietà del comporre Proprietà dello scomporre Proprietà dello scomporre Proprietà dello scomporre Proprietà dello scomporre

6 Proprietà fondamentale: Proprietà fondamentale: In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Es. Nella proporzione 5:4 = 20:16, si ha: Es. Nella proporzione 5:4 = 20:16, si ha: 5 ·16 = 20 · 4 5 ·16 = 20 · 4 Termine incognito di una proporzione: Termine incognito di una proporzione: La proprietà fondamentale della proporzione permette di calcolare un termine incognito di una proporzione quando siano noti gli altri tre. La proprietà fondamentale della proporzione permette di calcolare un termine incognito di una proporzione quando siano noti gli altri tre. Un estremo è uguale al prodotto dei medi diviso laltro estremo. Un estremo è uguale al prodotto dei medi diviso laltro estremo. Un medio è uguale al prodotto degli estremi diviso laltro medio. Un medio è uguale al prodotto degli estremi diviso laltro medio. Es. x:4=20:16 x = 4 · 20 Es. x:4=20:16 x = 4 · :4=x:16 x = 5 · 16 5:4=x:16 x = 5 · 16 4

7 Proprietà dellinvertire: Proprietà dellinvertire: Definizione: Definizione: Se in una proporzione si scambiano ogni antecedente con il proprio conseguente si ha ancora una proporzione. Se in una proporzione si scambiano ogni antecedente con il proprio conseguente si ha ancora una proporzione. Es. Se operiamo gli scambi nella proporzione 4:12 = 3:9 4:12 = 3:9 otteniamo una proporzione otteniamo una proporzione 12:4 = 9:3 12:4 = 9:3 perché il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: 12·3 = 36 ; 4·9= ·3 = 36 ; 4·9= 36.

8 Proprietà del permutare: Proprietà del permutare: Definizione: Definizione: Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi e\o gli estremi, si ottiene ancora una proporzione. Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi e\o gli estremi, si ottiene ancora una proporzione. Es. 2:5 = 6:15 Es. 2:5 = 6:15 scambiando gli estremi si ha 15:5=6:2 scambiando gli estremi si ha 15:5=6:2 scambiando i medi 2:6=5:15 scambiando i medi 2:6=5:15

9 Proprietà del comporre: Proprietà del comporre: In ogni proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo termine come la somma del terzo e del quarto sta al terzo e al quarto. In ogni proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo o al secondo termine come la somma del terzo e del quarto sta al terzo e al quarto. Es. Dalla proporzione 5:12 = 10:4 Es. Dalla proporzione 5:12 = 10:4 si ottengono le proporzioni: si ottengono le proporzioni: (5+2):5 = (10+4) :10 (5+2):5 = (10+4) :10 7:5 = 14:10 7:5 = 14:10 oppure (5+2):2 = (10+4):4 oppure (5+2):2 = (10+4):4 7:2 = 14:4 7:2 = 14:4

10 Proprietà dello scomporre: Proprietà dello scomporre: In ogni proporzione in cui gli antecedenti, siano maggiori dei conseguenti, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza fra il terzo e il quarto termine sta al terzo o al quarto termine In ogni proporzione in cui gli antecedenti, siano maggiori dei conseguenti, la differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo o al secondo termine come la differenza fra il terzo e il quarto termine sta al terzo o al quarto termine Es. Dalla proporzione 5:2 = 10:4, Es. Dalla proporzione 5:2 = 10:4, si ottengono le proporzioni: si ottengono le proporzioni: (5-2) : 5 = (10-4) : 10 (5-2) : 5 = (10-4) : 10 3:5 = 6:10 3:5 = 6:10 (5-2) : 2 = (10-4) :4, (5-2) : 2 = (10-4) :4, 3:2 = 6:4 3:2 = 6:4


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