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La probabilità Schema classico aleatorio o casuale Un fatto qualunque, che non sia certo a priori, si dice aleatorio o casuale Alcuni esempi Il lancio.

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Presentazione sul tema: "La probabilità Schema classico aleatorio o casuale Un fatto qualunque, che non sia certo a priori, si dice aleatorio o casuale Alcuni esempi Il lancio."— Transcript della presentazione:

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2 La probabilità Schema classico

3 aleatorio o casuale Un fatto qualunque, che non sia certo a priori, si dice aleatorio o casuale Alcuni esempi Il lancio di un dado da gioco la durata della degenza in ospedale di un ammalato il numero degli incidenti stradali, nella prossima settimana in un determinato tratto stradale una misurazione scientifica mediante un qualche strumento

4 eventi casuali Le proposizioni che a priori sono incerte si chiamano eventi casuali Alcuni esempi nella prossima mano di poker verrà un poker dassi nel lancio del dado uscirà un numero pari la durata della degenza del sig. X sarà minore di 20 giorni certo Un evento si dice certo quando della sua verità si è certi a priori impossibile Un evento si dice impossibile quando della sua falsità si è certi a priori Esempio: nel lancio del dado otterrò un numero non superiore a 14 Esempio: nella ruota di Venezia il primo numero che uscirà sarà il 100

5 Gli eventi elementari Consideriamo il lancio di un dado Evento elementare Estraiamo una carta da un mazzo Evento elementare evento elementare Consideriamo una macchina automatica produttrice di viti: la prossima vite che sarà prodotta è una delle infinite viti producibili dalla macchina nelle sue condizioni attuali, ognuna delle quali è un evento elementare

6 Spazio Fondamentale Definizione : si chiama Spazio Fondamentale di un esperimento C, linsieme dei suoi eventi elementari asso di cuori asso di fiori asso di denari asso di picche 2 di cuori 2 di fiori 2 di denari 2 di picche ….. …... ….. ….. evento casuale Definizione : un evento casuale A è un sottoinsieme dello spazio fondamentale A= la faccia che uscirà sarà pari B=la carta che verrà estratta sarà un asso Consideriamo un esperimento C e il corrispondente spazio fondamentale Linsieme E di tutti i sottoinsiemi di ha le seguenti proprietà: appartiene ad E Se A appartiene ad E anche A appartiene ad E Se A 1, A 2 E anche A 1 A 2 E

7 Teorema se A, B E, anche A B E Teorema se A, B E, anche A - B E incompatibili se Definizione Due eventi A, B E si dicono incompatibili se A B= Esempio Si lancia un dado: A e C sono eventi incompatibili A e B sono eventi compatibili B- uscirà un multiplo di 3 C-uscirà un numero dispari A- uscirà un numero pari consideriamo questi eventi:

8 Il concetto di probabilità Estraiamo una pallina da unurna contenente 4 palline bianche e 6 palline rosse contiene 10 eventi elementari ciascuno di essi ha probabilità 1/10 di uscita Consideriamo levento : A:uscirà una pallina rossa Tale evento, unione di 6 eventi equiprobabili, avrà probabilità 6/10 La probabilità di un evento A è data dal rapporto tra il numero k dei casi favorevoli al verificarsi di A e il numero degli n casi possibili.

9 Levento impossibile ha probabilità P( )=0 Levento certo ha probabilità 1 Se A e B sono eventi incompatibili P(A B) = P(A) +P(B) Esempi A: nel lancio del dado otterrò un numero non superiore a 14 P(A)=1 B: nella ruota di Venezia il primo numero che uscirà sarà il 100 P(B)=0 Lanciamo un dado e consideriamo: C: uscirà un numero maggiore di 4 P(C)=2/ P(C D)=2/6+2/6=2/3 D: uscirà un numero minore di 3 P(D)=2/6

10 Se A e B sono eventi compatibili P(A B) = P(A) +P(B) –P( A B) Lanciamo due dadi e consideriamo lo spazio degli eventi: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 A=la somma dei numeri sarà 5 P(A)=4/36 B=il primo numero sarà pari P(B)=18/36 A B= (2,3) (4,1) P(A B)=2/36 P(A B)=4/36+18/36-2/36=5/9

11 Probabilità condizionate B:lanciando un dado uscirà un numero minore di 4 A:lanciando un dado uscirà un numero dispari P(A)=1/2 P(B)=1/2 Supponiamo di sapere che si è verificato A e di voler valutare la probabilità di B, data questa ulteriore informazione. probabilità condizionata La indichiamo con P(B/A) e la chiamiamo probabilità condizionata È cambiato lo spazio degli eventi P(B/A)=2/3 Consideriamo gli eventi : da cui si ricava:

12 Eventi indipendenti indipendenti Definizione: due eventi A e B sono tra loro indipendenti se P(A B)=P(B)P(A) In generale P(B) P(B/A), se dovesse verificarsi che : P(B)=P(B/A) allora gli eventi A e B sarebbero tra loro indipendenti Esempio: Lanciamo un dado e consideriamo gli eventi: A= 1,2,3,4 B= 4,5,6 C= 2,4,6 P(A)=4/6 P(B)=3/6 P(C)=3/6 P(A B)=1/6 P(A)P(B) P(A C)=2/6=P(A)P(C) A e B sono dipendenti A e C sono indipendenti

13 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,2 2,1 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Lanciamo due dadi consideriamo i due eventi: B 1 = la somma è minore o uguale a 7 B 1 B 2 = B 1 B 2 = Supponiamo di sapere che: A= il primo numero è 2 Ci chiediamo: qual è la probabilità che la somma sia minore od uguale di 7? (21/36)(5/21) P(B 1 /A)= = 5/6 (21/36)(5/21)+(15/36)(1/15) B 2 = la somma è maggiore di 7 P(B 1 A) P(B 1 /A) = = P(A) P(B 1 ) P(A/ B 1 ) = P(A B 1 )+ P(A B 2 ) P(B 1 ) P(A/ B 1 ) P(B 1 ) P(A/ B 1 )+P(B 2 ) P(A/ B 2 )

14 Consideriamo due urne dalle seguenti composizioni: B1B1 B2B2 Si sceglie una pallina da unurna a caso. La pallina è bianca (evento A) Qual è la probabilità che la pallina provenga dalla prima urna? B1B1 B2B2 (1/2)(4/8) P(B 1 /A)= = 3/5 (1/2)(4/8)+(1/2)(2/6)

15 La formula di Bayes Consideriamo n eventi incompatibili B 1, B 2,...,B n tali che B i = sia A un altro elemento di B1B1 B2B2 BnBn A A=A = P(A) = P (A B 1 ) + P (A B 2 ) P (A B n )= = P (B 1 ) P (A/ B 1 ) + P (B 2 ) P (A/ B 2 ) P (B n ) P (A/ B n ) A (B 1 B 2... B n )= (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n )


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