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CONCETTI FONDAMENTALI GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE.

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Presentazione sul tema: "CONCETTI FONDAMENTALI GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE."— Transcript della presentazione:

1 CONCETTI FONDAMENTALI GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE

2 GEOMETRIA Può essere INTUITIVARAZIONALE Quella sviluppata dagli antichi Egizi Quella sviluppata dagli antichi Greci (organizzata da Euclide)

3 INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI ESPERIENZE

4 RAZIONALE Parte da ENTI e CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI o POSTULATI Non definibili, ma descritti mediante

5 Concetti e enti primitivi Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari Assiomi o postulati Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo.

6 ENTI e CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI o POSTULATI ENTI GEOMETRICI NON PRIMITIVI PROPRIETA dei NUOVI ENTI GEOMETRICI (=TEOREMI) Da cui si deducono Mediante definizioni Mediante dimostrazioni

7 DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie) ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori)

8 Enti geometrici primitivi Gli enti primitivi della geometria sono: PUNTI RETTE PIANI SPAZIO

9 Concetti primitivi Tra i concetti primitivi della geometria vi sono ad esempio quelli di MOVIMENTO RIGIDO: una figura può muoversi nel piano e nello spazio senza deformarsi; APPARTENENZA: un ente geometrico fa parte di un altro

10 Gli assiomi scelti devono soddisfare le seguenti condizioni: COMPATIBILITA: non devono contraddirsi luno con laltro INDIPENDENZA: dalle proprietà affermate delluno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dellaltro Assiomi o Postulati

11 - Una retta contiene infiniti punti Assiomi fondamentali - Un piano contiene infiniti punti e infinite rette - Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani

12 Assiomi di appartenenza - Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due punti distinti appartengono a una sola retta) - Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (= tre punti non allineati appartengono a un solo piano) - La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

13 Assioma di ordinamento -La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che: AB - Se A precede B e B precede C, allora A precede C. ABC - Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A.

14 Postulato di partizione del piano Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che: r AB Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto r C D

15 Enti geometrici non primitivi: definizioni SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto: ORIGINE delle semirette Due semirette si dicono OPPOSTE se: hanno solo lorigine in comune appartengono alla stessa retta

16 SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento AB In una retta ci sono infiniti punti (lo dice lassioma). E in un segmento?

17 Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta SEGMENTI PARTICOLARI

18 SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano Due semipiani si dicono OPPOSTI se: hanno solo lorigine in comune appartengono allo stesso piano

19 Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune Rette SGHEMBE: rette non complanari che non hanno nessun punto in comune Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune

20 Postulato di Euclide Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data

21 Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta

22 ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi lorigine in comune Angolo convesso Angolo concavo Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

23 Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dellaltro ( 180° = π); non è né concavo né convesso ANGOLI PARTICOLARI 1 Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto (90° = π/2); è convesso equivale ad un semipiano

24 Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo. ANGOLI PARTICOLARI 2 Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°); è convesso. equivale ad un piano equivale ad una semiretta

25 Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto

26 Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni luno sul prolungamento dellaltro (o che appartengono alla stessa retta)

27 Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati delluno sono i prolungamenti dellaltro

28 SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente allaltro a b a + b

29 a b Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, laltro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore. a < b CONFRONTO DI SEGMENTI

30 SOMMA DI ANGOLI CONVESSI Dati due angoli convessi la loro somma è langolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo allaltro

31 Angolo ottuso Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto ed è convesso (quindi è sempre minore di un angolo…. …piatto)

32 Angolo acuto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto (quindi è sempre…. …convesso)

33 Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

34 Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

35 Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

36 Poligonale o spezzata aperta (non intrecciata) Insieme di più segmenti consecutivi vertici estremi lato

37 Poligonale o spezzata chiusa (non intrecciata) Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento che ne congiunge gli estremi

38 POLIGONO Parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti

39 Angoli interni e esterni Angoli esterni Angoli interni Langolo interno e langolo esterno di ciascun vertice di un poligono sono supplementari

40 Figure convesse Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura A B

41 Figure concave Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura A B

42 CONGRUENZA Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto F1F1 F2F2

43 Proprietà della congruenza RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè F1 F1 SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2, allora anche F2 è congruente a F1, cioè se F1 F2, allora F2 F1 TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2 è congruente a F3 allora anche F1 è congruente a F3, cioè se F1 F2 e F2 F3, allora F1 F3

44 Bisettrice di un angolo Semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti

45 Punto medio di un segmento ABM AM MB Punto che divide il segmento in due segmenti congruenti

46 Asse di un segmento AB 90° M AM MB Retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

47 Distanza di un punto da una retta Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH P 90° H


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