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Composizione di vettori Dato un insieme di vettori: V1 ; V2 ; V3 ; aventi tutti, la stessa origine. (vedi fig.) Dato un insieme di vettori: V1 ; V2.

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3 Composizione di vettori Dato un insieme di vettori: V1 ; V2 ; V3 ; aventi tutti, la stessa origine. (vedi fig.) Dato un insieme di vettori: V1 ; V2 ; V3 ; aventi tutti, la stessa origine. (vedi fig.) R v1v1 v1v1 v3v3 v3v3 v2v2 v2v2 O O Si dice Risultante dellinsieme e si indica con R quellunico vettore equivalente allinsieme dato.

4 F1 F2 F3 Siano dati i tre vettori: F1 ; F2 ; F3 aventi origine comune in O O Come si può ottenere il loro risultante R? Un metodo consiste nel riportare, a partire dal primo vettore, il secondo, traslandolo, fino a far coincidere lorigine del secondo vettore traslato con la fine (freccia ) del primo. Successivamente, si trasla il terzo vettore portando la sua origine a coincidere con la fine (freccia) del secondo vettore e così via fino allultimo vettore qualora vi fossero più vettori. Osserva lanimazione

5 O v1v1 v2v2 v3v3

6 O v1v1 v2v2 v3v3

7 O v1v1 v2v2 v3v3 R R

8 O v1v1 v2v2 v3v3 R R Questo ci dice che la composizione (somma) dei vettori gode della proprietà commutativa: Qualunque sia lordine di composizione prescelto la somma vettoriale rimane la stessa. Cioè il risultante è lo stesso. Questo ci dice che la composizione (somma) dei vettori gode della proprietà commutativa: Qualunque sia lordine di composizione prescelto la somma vettoriale rimane la stessa. Cioè il risultante è lo stesso. Proviamo a seguire un nuovo ordine di composizione: Partiamo, ad esempio, dal Vettore V 2 Poi vi aggiungiamo V 3 ed infine V 1. Otterremo lo stesso punto finale di arrivo. Il risultante che è quel vettore che partendo dallorigine comune arriva fino allultimo punto della costruzione è ancora lo stesso. Partiamo, ad esempio, dal Vettore V2V2 Poi vi aggiungiamo V3V3 ed infine V1.V1. Otterremo lo stesso punto finale di arrivo. Il risultante che è quel vettore che partendo dallorigine comune arriva fino allultimo punto della costruzione è ancora lo stesso.

9 O v1v1 v2v2 v3v3

10 O v1v1 v2v2 v3v3 R R

11 OSSERVA LANIMAZIONE PER UN INSIEME DI PIU VETTORI.

12 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6

13 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6

14 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6

15 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6

16 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6

17 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6

18 V1V1 V1V1 V2V2 V2V2 V3V3 V3V3 V4V4 V4V4 V5V5 V5V5 V6V6 V6V6 R R Ed ecco, infine, il Risultante

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20 Scomposizione di un vettore Secondo due direzioni assegnate: Scomposizione di un vettore Secondo due direzioni assegnate: Sia dato un vettore K K K E due direzioni d 1 e d 2 d1d1 d1d1 d2d2 d2d2 Si traccino le parallele alle due direzioni date per i punti dorigine e di fine del vettore: Si traccino le parallele alle due direzioni date per i punti dorigine e di fine del vettore: Viene così individuato un parallelogramma di cui il vettore K è una delle diagonali. Viene così individuato un parallelogramma di cui il vettore K è una delle diagonali. Kd2Kd2 Kd2Kd2 Kd1Kd1 Kd1Kd1 I vettori K d 2 e K d 1 Sono le componenti del vettore K secondo le due direzioni date. I vettori Kd2 Kd2 e Kd1Kd1 Sono le componenti del vettore K secondo le due direzioni date. Fare attenzione a che il vettore dato e le sue componenti abbiano la stessa origine Fare attenzione a che il vettore dato e le sue componenti abbiano la stessa origine by by by

21 Esempio concreto

22 Esempio concreto: scomposizione della forza Peso di un corpo poggiato su di un piano inclinato secondo la direzione normale al piano e secondo la direzione tangente al piano n = normale al piano t = tangente al piano P = peso La componente P n rappresenta quanto della forza peso è diretto in direzione perpendicolare al piano inclinato ed è completamente bilanciato dalla reazione del piano - P n La componente PnPn rappresenta quanto della forza peso è diretto in direzione perpendicolare al piano inclinato ed è completamente bilanciato dalla reazione del piano -Pn-Pn PnPn PnPn PtPt PtPt La componente P t è quanto della forza Peso agisce tangente al piano inclinato e, in teoria, non è bilanciata da alcuna forza. Questa componente accelera il corpo, verso il basso, lungo il piano. - P n

23 Si osservi come la stessa biglia, posta su piani inclinati diversi, risulta soggetta a componenti della forza peso, secondo il piano, P t, e normale al piano, P n, diverse. Come ci si spetta: quando il piano è poco inclinato, caso A la componente tangente P t della forza peso è inferiore alla stessa componente quando il piano è maggiormente inclinato.Caso B Per tenere in equilibrio il corpo lungo il piano occorre imprimere una forza –P t ben diversa nei due casi Caso A Caso B Nelle stesse condizioni risultano diverse le componenti normali al piano del Peso. P n Questo però implica che per lequilibrio, lungo la normale al piano, il piano stesso esplica reazioni diverse, maggiore quando il piano è poco inclinato.


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