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TRASFORMAZIONI TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII.

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Presentazione sul tema: "TRASFORMAZIONI TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII."— Transcript della presentazione:

1 TRASFORMAZIONI TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII TTRRAASSFFOORRMMAAZZIIOONNII

2 La figura rappresenta unincisione di M.C.Escher ( ). Essa fornisce un esempio di riflessione sulla sfera; è interessante notare che le linee rette degli spigoli della stanza dove si trova lartista sono diventate linee curve.

3 LE TRASFORMAZIONI DEL PIANO SONO 1.CORRISPONDENZE BIUNIVOCHE TRA PUNTI DEL PIANO Date due figure corrispondenti, ad ogni punto della prima figura corrisponde uno ed un solo punto delle seconda 2.COLLINEAZIONI Ovvero conservano lallineamento dei punti.

4 Ogni trasformazione si caratterizza per qualche cosa che rimane invariato, i cosiddetti INVARIANTI Alcuni invarianti di una trasformazione possono essere La lunghezza dei segmenti Lampiezza degli angoli Il parallelismo Le direzioni Il rapporto tra i segmenti Lorientamento dei punti del piano

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6 Un punto che nella trasformazione corrisponde a se stesso si dice unito o fisso. Una figura che si trasforma globalmente in se stessa, anche se non tutti i punti sono fissi, si dice unita nella trasformazione.

7 DUE ESEMPI DI TRASFORMAZIONI 1. Una trasformazione che consiste in uno spostamento ovvero un movimento rigido ha come invariante globale la MISURA delle figure. Sono suoi invarianti : La lunghezza dei segmenti Lampiezza degli angoli Il parallelismo Il rapporto tra segmenti Il cavaliere nero è il risultato dellapplicazione, alla figura di sinistra, di una traslazione.

8 2. Una trasformazione che consiste in un ingrandimento o riduzione ha come invariante globale la FORMA delle figure. Sono suoi invarianti : Lampiezza degli angoli Il parallelismo Il rapporto tra segmenti

9 LE ISOMETRIE In matematica, e in particolare in geometria, si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che non modifica le distanze tra i punti (e, di conseguenza, le ampiezze degli angoli). A B C A' B' C' F F

10 Proprietà delle isometrie In una isometria: a una retta corrisponde una retta a rette incidenti corrispondono rette incidenti a retta parallele corrispondono rette parallele a ogni triangolo corrisponde un triangolo ad esso congruente ad ogni angolo corrisponde un angolo ad esso congruente

11 Quattro particolari isometrie del piano euclideo sono: rotazioni rotazioni, di cui sono un caso particolare le simmetrie centrali traslazioni traslazioni simmetrie assiali simmetrie assiali, anche dette riflessioni antitraslazioni antitraslazioni, anche dette glissosimmetrie, glissoriflessioni o simmetrie con scorrimento ( composizione di una simmetria assiale e di una traslazione di direzione parallela all'asse di simmetria.) RotazioneTraslazioneSimmetria assialeAntitraslazione

12 Le quattro classi di isometrie del piano possono essere a loro volta classificate in: isometrie invertenti, che comprendono le simmetrie assiali e le antitraslazioni isometrie non invertenti, tra cui si trovano rotazioni e traslazioni La simmetria assiale è un'isometria invertenteLa rotazione è un'isometria non invertente

13 Una generica isometria T, non appartenente ad una di queste classi, sarà ottenibile come composizione di alcune isometrie che vi appartengono. Si può dimostrare un altro risultato interessante: le simmetrie assiali sono sufficienti per generare tutte le isometrie

14 ISOMETRIE IN NATURA E NELLARTE In natura si possono individuare forme geometriche interpretabili assumendo come modello le trasformazioni isometriche. Le più frequenti sono la simmetria centrale e la simmetria assiale, presenti in natura sia nelle forme più elementari quali le diatomee, i protozoi e i cristalli di neve, sia in fiori, piante, pesci, uccelli, mammiferi. Nellarte sin dallantichità le trasformazioni isometriche del piano sono state usate per creare fregi ornamentali e pavimentazioni, per decorare soffitti e pareti di palazzi, per disegnare tessuti, per costruire rosoni ed edifici monumentali, realizzare statue.

15 fiocchi di neve medusa

16 rosoni

17 porta dei leoni (XV sec a.C.) Micene

18 fregio disegno di tessuto

19 I FREGI Se si utilizzano due colori, ci sono solamente 7 motivi lineari che possono essere ripetuti allinfinito su una striscia di carta per ottenere un fregio. Le 4 operazioni elementari che possono essere applicate per ottenere un motivo che si ripete.

20 Le diverse possibilità si creano agendo su un motivo di partenza, che non deve possedere alcuna simmetria, tramite le seguenti operazioni: I sette fregi distinti che si possono generare combinando le quattro operazioni fondamentali. Alle lettere corrispondono le combinazioni di tali operazioni.

21 I sette possibili tipi di fregio simmetrico, ciascuno illustrato da due esempi tratti dalle tradizioni decorative di diverse culture. (da: John D. Barrow, LUniverso come opera darte, Rizzoli 1997)


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