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Università di LAquila Claudio Arbib Ricerca Operativa Basi in IR n.

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Presentazione sul tema: "Università di LAquila Claudio Arbib Ricerca Operativa Basi in IR n."— Transcript della presentazione:

1 Università di LAquila Claudio Arbib Ricerca Operativa Basi in IR n

2 Sommario Combinazione lineare, affine, conica e convessa Dipendenza e indipendenza lineare e affine Basi per un insieme di vettori di IR nBasi per un insieme di vettori di IR n Teorema di rappresentazione Teorema di sostituzione (Steinitz) Matroide vettoriale

3 Combinazione lineare Definizione Un vettore x IR n si dice combinazione lineare dei vettori a 1, …, a m IR n con coefficienti 1,..., m IR se x = 1 a 1 + … + m a m Esempio = con 1 = –2/3, 2 = 1 –2/3(0, 3) +1(1, 4)

4 Combinazione affine Definizione Un vettore x IR n si dice combinazione affine dei vettori a 1, …, a m IR n con coefficienti 1,..., m IR se x = 1 a 1 + … + m a m e m = 1 Esempio ½2½2 = con 1 = –1, 2 = 2 –1(0, 2) +2(½, 2)

5 Combinazione conica Definizione Un vettore x IR n si dice combinazione conica dei vettori a 1, …, a m IR n con coefficienti 1,..., m IR se x = 1 a 1 + … + m a m e 1,..., m > 0 Esempio = con 1 = 1, 2 = ½ +1(0, 2) +½(2, 2)+½(2, 2)

6 Combinazione convessa Definizione Un vettore x IR n si dice combinazione convessa dei vettori a 1, …, a m IR n con coefficienti 1,..., m IR se x = 1 a 1 + … + m a m e m = 1 1,..., m > 0 Esempio +½(0, 2)+½(0, 2) +½(2, 2)+½(2, 2) = con 1 = ½, 2 = ½

7 Involucri Definizione Linvolucro affine (conico, convesso) di un insieme S IR n è linsieme di tutti e soli i vettori x IR n ottenibili come combinazione affine (conica, convessa) dei vettori di S. Esempio cone(S) aff(S) conv(S)

8 Dipendenza e indipendenza Definizione Un insieme A = {a 1, …, a m } IR n è linearmente dipendente se esistono m scalari 1, …, m non tutti nulli tali che 1 a 1 + … + m a m = 0. Esempio A = {, } è linearmente indipendente B = {,, } è linearmente dipendente ( 1 = 2 = 2/3, 3 = –1 ) La dipendenza affine è definita in modo analogo aggiungendo la clausola 1 + … + m = 1.

9 Basi Definizione Sia S IR n. Un insieme B = {b 1, …, b m } IR n si dice base per S se –B è linearmente indipendente –B {x} è linearmente dipendente per ogni x S – B (in altre parole, esistono coefficienti reali non tutti nulli 0, 1,..., m tali che 0 x + 1 b 1 + … + m b m = 0). Osserviamo che x 0 implica 0 0, altrimenti B non sarebbe indipendente. Quindi si può scrivere x = – 1 b 1 / 0 – … – m b m / 0 (rappresentazione di x in B)

10 Basi Teorema 1La rappresentazione di x S tramite una sua base B è unica. Dimostrazione: supponiamo x = 1 b 1 + … + m b m x = 1 b 1 + … + m b m Allora 0 = ( 1 – 1 )b 1 + … + ( m – m )b m e se i: i – i 0, allora B è linearmente dipendente (cd.).

11 Basi Teorema 2Sia x S – B, con B base per S e x 0. Supponiamo x = 1 b 1 + … + m b m con 1 0. Allora B = {x, b 2, …, b m } è una base per S. Dimostrazione: anzitutto B è indipendente. Se non lo fosse: 0 = 1 x + 2 b 2 + … + m b m con 1 0 (se 1 = 0, B sarebbe dipendente). Ma allora x = – 2 b 2 / 1 – … – m b m / 1 x = 1 b b 2 + … + m b m Inoltre B è massimale in S. Infatti y = 1 b 1 + … + m b m y S. Sostituendo b 1 = – x/ 1 – 2 b 2 / 1 – … – m b m / 1 si ottiene una rappresentazione di y in B.

12 Matroide vettoriale Teorema 3Sia U un insieme finito di vettori di IR n, e la famiglia di tutti i sottoinsiemi X di U linearmente indipendenti. Allora (U, ) è un matroide. Dimostrazione: anzitutto è evidentemente subclusiva, in quanto ogni sottoinsieme di un insieme indipendente è indipendente. Mostriamo che vale la proprietà di scambio: A, B : |B| > |A|, x B – A: A {x} cioè l insieme linearmente indipendente più piccolo può essere accresciuto con un elemento preso dal più grande mantenendosi linearmente indipendente.

13 Matroide vettoriale Teorema 3Sia U un insieme finito di vettori di IR n, e la famiglia di tutti i sottoinsiemi X di U linearmente indipendenti. Allora (U, ) è un matroide. Segue dimostrazione: Siano A = {a 1, …, a m }B = {b 0, b 1, …, b m } Se non vale la proprietà di scambio, allora A {b i } è dipendente i, cioè A è una base per B. Sia allora b m = 1 a 1 + … + m a m e senza perdere in generalità supponiamo m 0. Allora applicando il Teorema 2 si può sostituire b m ad a m, e A m = {a 1, …, a m–1, b m }è ancora una base per B.

14 Matroide vettoriale Teorema 3Sia U un insieme finito di vettori di IR n, e la famiglia di tutti i sottoinsiemi X di U linearmente indipendenti. Allora (U, ) è un matroide. Segue dimostrazione: Procedendo in tal modo, scriviamo b m–1 = 1 a 1 + … + m–1 a m–1 + m b m osservando che m–1 0 (altrimenti B sarebbe dipendente). QuindiA m–1 ={a 1, …, a m–2, b m–1, b m } A m–2 = {a 1, …, a m–3, b m–2, b m–1, b m } … …A 1 = {b 1, …, b m–3, b m–2, b m–1, b m } = B – {b 0 } sono basi per B. Ma allora A 1 consente di rappresentare b 0 in funzione di b 1, …, b m, contraddicendo l indipendenza di B.


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