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La logica matematica Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della classe IB Lic. Sc. A.S. 2010-2011.

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1 La logica matematica Si ringraziano per il loro contributo gli alunni della classe IB Lic. Sc. A.S

2 La logica studia le proposizioni logiche e le relazioni tra esse. Una proposizione logica è unaffermazione per la quale esiste un criterio ben preciso per stabilire se è vera o falsa.

3 A: > è una proposizione logica (Vera) B: > non è una proposizione logica C: > è una proposizione logica (Falsa)

4 Le proposizioni logiche possono essere semplici o composte. Proposizione logica semplice: una proposizione logica si dice semplice o atomica se contiene un solo predicato. Proposizione logica composta: una proposizione logica si dice composta o molecolare se contiene più di un predicato cioè se è composta da più proposizioni semplici.

5 Proposizioni semplici A: > (Vero) B: > (Falso) Proposizioni composte C: > (Vero) D: > (Falso)

6 I connettivi logici Due o più proposizioni logiche semplici possono essere legate tra di loro in modo diverso mediante connettivi in modo da formare proposizioni logiche composte I connettivi vengono detti anche operazioni logiche perché permettono di ottenere, partendo da due o più proposizioni Vere o False, una sola proposizione che può essere Vera o Falsa

7 I connettivi logici Negazione La negazione si esegue negando il predicato verbale, invertendo così il valore di verità. A: > V A: > F

8 A A VF FV Tavola di verità della negazione

9 Congiunzione La congiunzione si esegue unendo le due proposizioni con la congiunzione e. La congiunzione risulta vera solo se entrambe le proposizioni sono vere, falsa in tutti gli altri casi. A: > V B: > V C: > F A B: > V B C: > F

10 AB A B VVV VFF FVF FFF Tavola di verità della congiunzione

11 Disgiunzione inclusiva La disgiunzione si esegue unendo le due proposizioni con la congiunzione o. La disgiunzione risulta falsa solo se entrambe le proposizioni sono false, vera in tutti gli altri casi. A: > F B: > F A B: >

12 Tavola di verità della disgiunzione inclusiva AB A B VVV VFV FVV FFF

13 Disgiunzione esclusiva Nella disgiunzione esclusiva il risultato risulta vero soltanto se le proposizioni logiche sono una vera e una falsa, risulta falso se le proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità. A: > V B: > V A B > F

14 Tavola di verità della disgiunzione esclusiva AB A B VVF VFV FVV FFF.

15 Implicazione materiale Limplicazione tra due proposizioni logiche si esegue congiungendo le proposizioni con se…allora… Limplicazione risulta falsa soltanto nel caso in cui la prima è vera e la seconda è falsa. A: > V B: > F A B: <> F

16 Tavola di verità dellimplicazione AB A B VVV VFF FVV FFV

17 Doppia implicazione (coimplicazione) La doppia implicazione si esegue congiungendo le due frasi con se e solo ………allora La doppia implicazione risulta vera se le due proposizioni logiche hanno lo stesso valore di verità, falsa negli altri casi. A: > F B: > V A B: << se e solo se 3 è divisibile per 2 allora 5 è un numero primo>> F

18 Tavola di verità della doppia implicazione AB A B VVV VFF FVF FFV

19 Espressioni logiche Le espressioni logiche sono costituite da due o più operazioni logiche. A B con A (V) e B(F) A B = V F = F F = F

20 Tautologie Si chiama tautologia unespressione logica che risulta vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la costituiscono. A. A AA B VFV FVV

21 Contraddizioni Si chiama contraddizione unespressione logica falsa qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la costituiscono. A A A VFF FVF

22 Enunciati aperti Si chiama enunciato aperto una proposizione logica che contiene una o più variabili. A(x): > Si chiama insieme universo linsieme che contiene tutti i valori che possono essere attribuiti alle variabili dellenunciato aperto. U= x N|x 15 A(5): > F B(6): > V

23 Insieme verità Si chiama insieme verità il sottoinsieme dellinsieme universo che contiene tutti gli elementi che rendono vero lenunciato aperto.

24 A U Insieme verità A(x)= enunciato aperto A= insieme verità A(x) : > A= {3;6;9;12;15}

25 A U Insieme verità A(x): > U= x N|x 15 Insieme verità di A(x) A={3,6,9,12,15 Cioè linsieme verità della negazione è il complementare dellinsieme verità rispetto allinsieme universo Negazione di A(x) A(x) : > Insieme verità di A(x) A={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14 Negazione di un enunciato aperto

26 13 14 U= x N|x 15 A(x): > B(x): > Insiemi verità di A(x) e B(x) A={3,6,9,12,15 B={2,4,6,8,10,12,14 Cioè linsieme verità della congiunzione è lintersezione dei due insiemi verità Congiunzione di A(x) con B(x) A(x) B (x) : > Insieme verità di A(x) B (x) AB ={6,12 Congiunzione tra due enunciati aperti A U B

27 A U U= x N|x 15 A(x): > B(x): > Insiemi verità di A(x) e B(x) A={3,6,9,12,15 B={2,4,6,8,10,12,14 Cioè linsieme verità della disgiunzione è lunione dei due insiemi verità Disgiunzione di A(x) con B(x) A(x) B (x) : > Insieme verità di A(x) B (x) AUB ={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15 Disgiunzione tra due enunciati aperti B


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