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Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica. Sommario Richiami di Meccanica Quantistica Evoluzione temporale Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg.

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Presentazione sul tema: "Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica. Sommario Richiami di Meccanica Quantistica Evoluzione temporale Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg."— Transcript della presentazione:

1 Evoluzione Temporale in Meccanica Quantistica

2 Sommario Richiami di Meccanica Quantistica Evoluzione temporale Rappresentazioni di Schroedinger e di Heisenberg Serie di Dyson Matrice S Probabilita di transizione Regola doro Fattore di spazio delle fasi F. Bianchi2

3 Ket, Bra, Operatori (1) |a> ket, vettore di stato in spazio vettoriale complesso. |a> + |b> = |c> somma di ket e un ket c|a> =|a>c c numero complesso |a> e c|a> rappresentano lo stesso stato fisico Unosservabile A puo essere rappresentata da un operatore. In generale A|a> e diverso da c|a> Per gli autoket di A vale la proprieta A|a 1 > = c 1 |a 1 >, A|a 2 >=c 2 |a 2 >,… Linsieme dei numeri c i e linsieme degli autovalori di A Gli stati fisici corrispondenti agli autoket |a i > sono chiamati autostati di A Gli autoket di unosservabile A costituiscono una base in uno spazio vettoriale: – Un generico ket puo essere scritto come |b> = i c i |a i > 3F. Bianchi

4 Ket, Bra, Operatori (2) Spazio dei bra + c b |b> c* a = 0 – |a> e |b> ortogonali se = 0 X|a>

5 Rappresentazione Matriciale X= i j |a i > siano una base. Allora: 5F. Bianchi

6 Misura in MQ Una misura fa sempre saltare il sistema in un autostato della variabile dinamica che si misura (P.A.M. Dirac) – Prima della misura: |b> = i c i |a i > – La misura dellosservabile A fa saltare il sistema in |a i > uno degli autostati di A Eccezione: quando il sistema si trova gia in un autostato di A – Il risultato di una misura e uno degli autovalori di A. – Probabilita che il sistema salti nellautostato |a i > e | | 2 Valore di aspettazione di A in uno stato |b>: = – Se a i e lautovalore dellautostato|a i > = i a i | | 2 6F. Bianchi

7 Osservabili Compatibili, Operatori Unitari Quando i corrispondenti operatori commutano: [A,B] = 0 – Sono diagonalizzabili contemporaneamente – Hanno autostati comuni: |a i,b i > A|a i,b i > = a i |a i,b i > B|a i,b i > = b i |a i,b i > Autovalore degenere: quando a diversi autostati di un operatore corrisponde lo stesso autovalore. Date due basi di ket ortonormali e complete |a i > e |b i >, esiste un operatore unitario U (UU + =U + U=1) tale che: – |b i > = U|a i > – U ij = = – X =U + XU dove X e la rappresentazione matriciale di un operatore nella base |a i > e X e la sua rappresentazione nella base |b i >, 7F. Bianchi

8 Evoluzione Temporale in MQ (1) Tempo e parametro (e non un operatore) A t= t 0 stato del sistema e |a> Ad un tempo t>t 0 lo stato del sistema e|a,t 0 ;t> lim t->t0 |a,t 0 ;t> = |a,t 0 ;t 0 >=|a>=|a,t 0 > Vogliamo studiare levoluzione temporale |a> |a,t 0 ;t> – Introduciamo loperatore di evoluzione temporale U(t,t 0 ) – |a,t 0 ;t> = U(t,t 0 ) |a,t 0 > – U + U=1 – U(t 2,t 0 )=U(t 2,t 1 )U(t 1,t 0 ) proprieta di composizione Operatore infinitesimo di evoluzione temporale: – |a,t 0 ;t 0 +dt> = U(t 0 +dt,t 0 ) |a,t 0 > – lim dt->0 U(t 0 +dt,t 0 ) = 1 – Tutte richieste sono soddisfatte con U(t 0 +dt,t 0 ) = 1-iWdt; W + =W – Identificando W con lHamiltoniana H: W=H/h: – U(t 0 +dt,t 0 ) = 1-i(Hdt)/h 8F. Bianchi

9 Evoluzione Temporale in MQ (2) Usando la proprieta di composizione: Questa e lequazione di Schroedinger per loperatore di evoluzione temporale Moltiplicando ambo i membri per il ket di stato |a,t 0 >: Che e lequazione di Schroedinger per un ket di stato. Se viene dato U(t,t 0 ) e sappiamo come agisce su |a,t 0 >, non abbiamo bisogno di occuparci dellequazione di Schroedinger per i ket di stato, basta applicare U(t,t0) a |a,t 0 > per ottenere |a,t 0 ;t>. Dobbiamo trovare soluzioni dellequazione di Schroedinger per U(t,t 0 ) con la condizione iniziale U(t 0,t 0 )=1 9F. Bianchi

10 Evoluzione Temporale in MQ (3) Equazione da risolvere: Tre casi: 10F. Bianchi

11 Evoluzione Temporale in MQ (4) Occupiamoci del caso 1 (H non dipende dal tempo). Per sapere come agisce U(t,t=0) su un generico ket, dobbiamo capire come agisce sui ket di una base. Scegliamo come base gli autoket di un operatore A tale che [A,H]=0 – autoket di A sono autoket di H: H|a>=E a |a> Se e nota lespansione del ket iniziale |b>: N.B.: Le fasi relative delle diverse componenti Cambiano nel tempo perche le frequenze di oscillazioni sono diverse 11F. Bianchi

12 Evoluzione Temporale in MQ (5) Caso speciale: Se il sistema e in un autostato di A ed H rimane in tale autostato Se [A,H]=0 allora A e una costante del moto Si puo facilmente generalizzare al caso di diverse osservabili compatibili tra di loro e con H. – E fondamentale trovare un insieme di osservabili compatibili fra loro e con H 12F. Bianchi

13 Evoluzione Temporale in MQ (6) Consideriamo ora una osservabile B che non commuta necessariamente con A od H e calcoliamone il valor medio in un autostato di A e indipendente dal tempo autostati dellenergia sono stazionari Calcoliamo in uno stato non stazionario. Se lo stato non e stazionario, lo si puo esprimere come una sovrapposizione di autostati dellenergia. 13F. Bianchi

14 Rappresentazione di Schroedinger Quella vista finora: Gli stati evolvono nel tempo, gli operatori sono stazionari Valore di aspettazione 14F. Bianchi

15 Rappresentazione di Heisenberg Gli stati restano costanti Le osservabili (gli operatori) evolvono nel tempo Equazione del moto di Heisemberg Valore di aspettazione Identico nelle due rappresentazioni 15F. Bianchi

16 Momento Magnetico in Campo Costante(1) 16F. Bianchi

17 Momento Magnetico in Campo Costante(2) 17F. Bianchi

18 Momento Magnetico in Campo Costante(3) 18F. Bianchi

19 Rappresentazione dInterazione(1) Dovuta a Dirac Utile quando H =H 0 + H(t) – H 0 termine libero – V(t) termine dinterazione eventualmente dipendente dal tempo Intermedia tra la rappresentazione di Heisenberg e quella di Schroedinger – Osservabili variano nel tempo: evoluzione determinata da H 0 – Stati variano nel tempo: evoluzione determinata dal termine dinterazione 19F. Bianchi

20 Rappresentazione dInterazione(2) Supponiamo che: H =H 0 + H(t) H 0 |n> = E n |n> Consideriamo un ket arbitrario, che allistante t=0 e dato da: |a> = n c n (0)|n> Il nostro problema e determinare i c n (t) tali che: |a,t=0;t>= n c n (t)exp(-iE n t/h)|n> Attenzione alla fattorizzazione della dipendenza temporale: – Il fattore exp(-iE n t/h) sarebbe presente anche in assenza di H(t) – La dipendenza dal tempo di c n (t) e dovuta a H(t). In assenza di H(t) c n (t)= c n (0) 20F. Bianchi

21 Rappresentazione dInterazione(3) Sviluppo di un ket generico nella base di autostati di H 0 Moltiplichiamo ambo i membri dellequaz. di Sch. per i ket per

22 Serie di Dyson(1) Soluzione di equazione differenziale per c n (t) in generale complicata approccio perturbativo Lavoriamo con loperatore di evoluzione temporale U I (t,t 0 ) definito da: |a,t 0 ;t> I =U I (t,t 0 )|a,t 0 ;t 0 > I Che quindi soddisfa allequaz: Con la condizione iniziale U(t 0,t 0 )=1 22F. Bianchi

23 Serie di Dyson(2) Equaz differenziale + condiz iniziale equivalente a equazione integrale: Soluzione iterativa: 23F. Bianchi

24 Probabilita di Transizione (1) Relazione tra U I (t,t 0 ) ed U(t,t 0 ) (nella rapp di Schroedinger) Elemento di matrice di U I (t,t 0 ) tra autostati di H 0 : Ampiezza di transizione: diversa nella rapp di Interazione ed in quella di Schroedinger Ma la probabilita di transizione: E la stessa ! (N.B.: solo tra autostati di H 0 ) 24F. Bianchi

25 Probabilita di Transizione (2) Supponiamo che a t =0 il sistema sia in un autostato di H 0, |i>: Confrontando con: Si vede che: Anche i c n (t) possono essere sviluppati in modo perturbativo: 25F. Bianchi

26 Probabilita di Transizione (3) Confrontando con lo sviluppo perturbativo di U I (t,0): Ampiezza di transizione allordine j da|i> ad|n>: c n (j) (t) – Termine di ordine 0: nessuna interazione – La m nel termine di ordine 2 ha il senso di somma sui possibili stati intermedi Probabilita di transizione da |i> ad |n> ( stati diversi fra loro!): 26F. Bianchi

27 Intuitivamente…. 27F. Bianchi

28 Perturbazione Costante (1) H = costante Sviluppo dellampiezza di transizione |i> |f>: 28F. Bianchi

29 Perturbazione Costante (2) Termine ordine zero: evoluzione libera dello stato iniziale da t 0 a t senza scambio energia con interazione Termine primo ordine:evoluzione libera dello stato iniziale da t 0 a t 1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve liberamente da t 1 a t Termine secondo ordine: evoluzione libera dello stato iniziale da t 0 a t 1 in cui avviene scambio energia con interazione che lascia il sistema in uno stato intermedio |a> che evolve liberamente da t 1 a t 2. Nellistante t 2 ce un ulteriore scambio energia con interazione che lascia il sistema nello stato finale che evolve liberamente da t 2 a t. – Oltre ad integrare su tutti i possibili istanti t 1 e t 2 occorre anche sommare su tutti i possibili stati intermedi. E cosi via per tuitti gli altri ordini perturbativi…. Ad ogni ordine il sistema evolve liberamente con H 0 fra i vertici dove interagisce con la perturbazione H 29F. Bianchi

30 Finora: ampiezza di transizione per intervallo di tempo finito Per studio di problemi di scattering e piu interessante lestensione ad intervallo di tempo infinito. Introduciamo la matrice di Scattering: – Scambio di sommatoria e limite forza un po la matematica…. Il sistema si considera non interagente con la perturbazione a tempi lunghi nel passato e nel futuro. Gli stati asintotici |i> ed |f> sono autostati di H 0 Matrice S (1) 30F. Bianchi

31 Matrice S (2) Somma su stati intermedi include integrazione su gradi di liberta continui 31F. Bianchi

32 Matrice T Se la serie si sapesse sommare, si potrebbe scrivere: Dove T e la matrice di transizione, il cui sviluppo perturbativo e: Gli elementi di T, tra stati imperturbati, rappresentano la somma (in principio infinita) delle ampiezze per lo scambio di 1,2,..n quanti fra sistema imperturbato e perturbazione Interpretazione:negli ordini superiori al primo compaiono stati intermedi (virtuali), che corrispondono a transizioni interne al processo in cui il sistema scambia energia con la perturbazione – N.B: nelle interazioni intermedie il sistema non conserva lenergia che viene invece conservata globalmente grazie aalla – Si puo far risalire alla relazione di indeterminazione tempo-energia. 32F. Bianchi

33 Probabilita di Transizione (1) 33F. Bianchi

34 Probabilita di Transizione (2) Probabilita di transizione al primo ordine tra gli autostati |i> ed |f> di H 0 : Probabilita di transizione per unita di tempo: 34F. Bianchi

35 Probabilita di Transizione (3) Prob. di transizione per unita di tempo, al II ordine perturbativo: Quando e importante considerare ordini perturbativi > 1 ? – Quando lelemento di matrice al I ordine e = 0 (P.es. per motivi di simmetria) – Quando e necessaria elevata accuratezza N.B: Tutti gli elementi di matrice di processi relativistici fra particelle reali sono come minimo del II ordine; quelli del I ordine non conservano E,p 35F. Bianchi

36 Una Rappresentazione della 36F. Bianchi

37 Limiti Sbarazzini 37F. Bianchi

38 Commenti sulle Probabilita di Transizione Finora: transizione tra stati |i> ed |f> specificati solo dalle energie In generale fissare E f non fissa univocamente lo stato finale: esiste una molteplicita di stati finali (degeneri) corrispondenti ad una data energia – Questa molteplicita e funzione dellenergia. Per una data E f si puo determinare la densita degli stati finali per intervallo di energia In pratica siamo interessati alla probabilita di transizione verso un gruppo di stati tutti alla energia E f – Occorre sommare w fi su tutti gli stati finali che si considerano. – Normalmente si puo approssimare la somma con un integrale. 38F. Bianchi

39 Regola dOro N. 2 Se gli stati finali costituiscono un continuo: Prob. (infinitesima) di transizione verso un intervallo (infinitesimo) di stati Al I ordine: regola doro n. 2 (Dirac, Fermi): Nel caso di transizioni verso lo spettro continuo la di fatto scompare dn/dE f :densita' di stati finali/Intervallo di energia; Fattore di spazio delle fasi – Fattore puramente cinematico (non dinamico) caratteristico dello stato finale – Incremento del numero di stati finali accessibili al sistema per incremento unitario dellenergia disponibile 39F. Bianchi

40 Fattore di Spazio delle Fasi(1) Esempio 1: 40F. Bianchi

41 Fattore di Spazio delle Fasi(2) Esempio 2: 41F. Bianchi

42 Fattore di Spazio delle Fasi(3) Esempio 3: Due particelle libere senza vincoli tra gli impulsi Quindi: F. Bianchi42

43 Atomo dIdrogeno in Condensatore (1) Atomo di H, nello stato fondamentale in condensatore piano collegato a generatore di corrente alternata di frequenza Generatore acceso a t= 0 e spento a t=t 0 E I (energia ionizzazione) Hamiltoniano dinterazione: Due casi: h E I F. Bianchi43

44 Atomo dIdrogeno in Condensatore (2) Primo caso: h

45 Atomo dIdrogeno in Condensatore (3) Se E f >E i, solo il secondo termine e importante e la probabilita di transizione diventa: La probabilita di transizione oscilla nel tempo in funzione della durata della perturbazione con la frequenza di battimento (differenza fra frequenza della perturbazione e frequenza naturale della transizione) F. Bianchi45

46 Atomo dIdrogeno in Condensatore (4) Secondo caso: h >E I Latomo si ionizza e lo stato finale appartiene al continuo. Probabilita di transizione verso un gruppo di stati: Poiche (slide 40): Ne segue: F. Bianchi46

47 Atomo dIdrogeno in Condensatore (5) Alcune considerazioni: – Il volume di quantizzazione L 3 si cancella con i fattori di normalizzazione L 3/2 delle funzioni donda – Per avere probabilita di transizione finita occorre integrare su range finito di energia ed angolo solido dellelettrone Trattiamo lelemento di matrice come costante: F. Bianchi47


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