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Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il concetto di onda 2)Onde trasversali e longitudinali 3)Lequazione.

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1 Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina 1)Il concetto di onda 2)Onde trasversali e longitudinali 3)Lequazione delle onde 4)La propagazione ondosa 5)La soluzione dellequazione delle onde 6)Onde viaggianti e stazionarie 7)I suoni: altezza, intensità e timbro 8)Effetto Doppler Parte XXIV: Onde e cenni di acustica

2 x y O d y Supponiamo di avere una corda idealmente elastica (e.g. senza attriti interni) che nella sua posizione di riposo si trovi lungo la direzione x di un riferimento. x y O d Pizzichiamo la corda tirandone un trattino per una altezza y Si verranno a creare due forze di richiamo diverse ai due lati del trattino sollevato TsTs TdTd Il concetto di onda

3 Se adesso rilasciamo la corda accadrà che la deformazione si sposterà lungo la corda stessa x y O d x y O d x y O d Potranno verificarsi molti casi che dipenderanno dal fatto che le estremità della corda sono mantenute ferme (e.g. la chitarra, onde stazionarie), oppure una estremità si muove (e.g. la frusta, onde viaggianti). Si noti che in questo moto non cè affatto trasporto di materia (vedremo che viaggia lenergia). Tuttavia la deformazione y, che abbiamo applicato ad un punto della corda si propaga lungo la corda stessa. Questo tipo di moto si chiama onda, e in questo caso di movimenti dei trattini perpendicolari alla direzione x si parla di onde trasversali

4 Durante una propagazione ondosa non cè trasporto di materia Consultare Fig Fishbane- Gasiorowicz- Thornton

5 Può tuttavia accadere che la deformazione iniziale sia obliqua, ovvero che esista una componente parallela alla direzione x. Se immaginiamo la corda come un insieme di piccole molle, a causa della deformazione alcune si allungheranno ed altre si comprimeranno Si potranno quindi realizzare delle onde longitudinali, ovvero delle vibrazioni coordinate parallele alla direzione della corda stessa. In tal caso si parla di onde di compressione e rarefazione, che sono caratteristiche soprattutto dellaria (o meglio di un gas) in un tubo Nel caso generale quindi di perturbazione obliqua rispetto alla direzione della corda su questa si propagheranno sia onde trasversali che longitudinali Onde longitudinali

6 Si deve a DAlembert laver derivato unequazione che descrive la propagazione di unonda in un mezzo elastico. Consideriamo una deformazione alta y e lunga x x y TdTd d TsTs s x y Scriviamo le equazioni del moto per le direzioni x e y, indicando con m la piccola massa del trattino x Ma gli angoli sono piccoli se la deformazione è piccola e dovrà aversi Lequazione delle onde

7 Supponiamo adesso che la massa sia distribuita unifomemente lungo la corda (omogeneità) e limitamoci, al solo scopo di semplificare la trattazione, a considerare solo onde trasversali, cioè nessun moto lungo x dove abbiamo introdotto la densità lineare di massa (massa per unità di lunghezza). Sostituendo Tutto ciò fornisce, nel limite di x e y molto piccoli Ma dalla figura è facile vedere che

8 Adesso bisogna realizzare che se la corda è deformata in un suo punto di ascissa x, la variabile y assumerà un dato valore che cambierà al cambiare della ascissa. Inoltre al variare del tempo la deformazione y nello stesso punto x assumerà valori diversi. cioè Tutto ciò significa che possiamo comprendere come unonda si propaga studiando la y come funzione delle due variabili indipendenti x e t Sostituendo Lequazione delle onde (equazione di DAlembert omogenea) Va notato che la costante v che compare nella equazione ha le dimensioni di una velocità e come vedremo è la velocità di propagazione dellonda nel mezzo

9 Il fatto che lequazione delle onde sia omogenea implica che una possibile soluzione sia y(x,t)=0 per tutte le x e tutte le t. Noi naturalmente vogliamo cercare le soluzioni non banali, se esistono. Non è difficile dimostrare che qualunque soluzione dellequazione delle onde non può essere una funzione qualunque delle variabili indipendenti x e t, ma deve essere una funzione SOLO dellargomento x-vt o x+vt Cioè La propagazione ondosa

10 Per comprendere che y(x-vt) è unonda consideriamo la funzione ad un istante fissato t 0 e consideriamone il valore in un dato punto x 0 y(x,t) x t 0 y(x 0 -vt 0 ) x0x0 Se adesso consideriamo un altro punto x 1 =x 0 + x, possiamo chiederci se lì la funzione potrà assumerre lo stesso valore y(x 0 -vt 0 ) ad un altro istante t 1 =t 0 + t. x1x1 x t1?t1?

11 Ciò è possibile se si verifica la seguente condizione che è sicuramente possibile al variare del tempo!! Quindi: y(x,t) x t 0 t 1 x0x0 y(x 0 -ct 0 ) x1x1 x Quindi funzione y(x,t 0 ) trasla nel verso positivo delle x con velocità v. Una tale onda si chiama progressiva. È altrettanto facile far vedere che y(x+vt) è unonda regressiva, cioè viaggia lungo la direzione –x.

12 In sostanza è come per le insegne del Luna park o una scritta che scorre nello schermo di un televisore La sensazione è che il punto illuminato si sposti, in realtà non si sposta nulla, salvo la circostanza che il punto è illuminato o no In realtà, come vedremo, unonda trasporta energia.

13 Proviamo a risolvere lequazione di DAlembert ponendo che le soluzioni non banali siano fattorizzabili nel prodotto di una funzione della sola x e di una della sola t Sostituendo e dividendo tutto per g(x)h(t) 0, per ipotesi Ma siccome il primo membro dipende solo da x ed il secondo solo da t, che sono variabili indipendenti, entrambi i membri si devono ridurre alla stessa costante che assumiamo –k 2. Si ottiene: cioè lequazione del moto armonico semplice, di cui conosciamo possibili soluzioni La soluzione dellequazione delle onde

14 Compatibilmente con le condizioni al contorno, le soluzioni possono quindi essere del tipo: (sin(kx t) è una combinazione lineare di sinkx, coskx, sin t e cos t, via formule di addizione e sottrazione) La relazione =kv si chiama relazione di dispersione ed introducendo la frequenza f e la lunghezza donda La quantità =kx- t=k(x-vt) è una costante fissati x e t. In particolare per i punti di un piano perpendicolare alla direzione di propagazione x, è costante. Un tale piano, definito quindi come il luogo dei punti in cui la fase è costante, si chiama fronte donda. La circostanza che il fronte donda in questo caso sia un piano ci fa chiamare le onde piane. Notare che per comprendere il significato di propagazione ondosa, noi abbiamo verificato che i fronti donda viaggiano con velocità v. Questa è dunque la velocità di fase dellonda.

15 Cambiando le condizioni al contorno cambia il tipo di onda Onde stazionarie= estremità fisseOnde viaggianti= estremo fisso e vel. iniziale Onde stazionarie e viaggianti Consultare figg e 14-6 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

16 Onde stazionarie in 2D Onde viaggianti in 2D Consultare figg e 14-8 Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

17 Studiamo il caso di una corda vibrante (una dimensione) ovvero le onde stazionarie Dal punto di vista matematico si tratta di un problema con condizioni al contorno non con condizioni iniziali come il moto armonico semplice. Le condizioni al contorno vanno fissate in base al fatto che i punti iniziali e finali della corda sono mantenuti fermi a tutti i tempi. Cioè Prendiamo lequazione differenziale spaziale Il suono e le onde stazionarie

18 Questultimo risultato implica che sono soluzione dellequazione delle onde per queste condizioni al contorno TUTTE quelle funzioni per le quali Il fatto che le soluzioni siano tante e sovrapposte dipende dal fatto che lequazione delle onde è lineare: una combinazione lineare di soluzioni possibili è ancora una soluzione possibile Le ampiezze Y n sono in generale decrescenti con il parametro n (0

19 Quindi sulla corda si stabiliranno TANTE vibrazioni sinusoidali di lunghezza donda e frequenza tali che Riassumendo abbiamo visto che londa totale sarà la sovrapposizione di tante onde sinusoidali le cui lunghezze donda saranno tutte sottomultipli di 2d (il doppio della lunghezza della corda) e ciascuna di ampiezza diversa Ciascuna delle onde sinusoidali avrà poi una frequenza che sarà un multiplo della frequenza fondamentale Le funzioni (fermini della serie) la cui frequenza è via via crescente e multiplo intero della frequenza fondamentale si chiamano armoniche superiori. Si noti che dipendono solamente da caratteristiche della corda

20 Questultima equazione riassume la normale esperienza di chi ha suonato uno strumento a corda: 1)Accorciando la corda (e.g. pressando con un dito su un tasto della chitarra) laltezza suono emesso (la frequenza) aumenta, ovvero il suono diventa più acuto; 2)Aumentando la tensione della corda la frequenza del suono cresce (e.g accordatura) 3)Aumentando la densità della corda il suono diventa più grave (e.g. corde più sottili producono suoni più acuti) Le formule che abbiamo visto ci spiegano pure perché siamo in grado di riconoscere differenti strumenti musicali che suonano la stessa nota (ovvero differenti voci che cantano la stessa canzone). Questa proprietà si chiama Timbro. Laltezza della nota suonata corrisponde alla frequenza fondamentale. Se solo questo suono dovesse giungere al nostro orecchio la sensazione sarebbe molto sgradevole come il suono di un diapason. Insieme allonda di frequenza fondamentale lo strumento emette anche tante armoniche superiori, ovvero onde di tutte le frequenze multiple di quella fondamentale. La differenza fra due strumenti differenti è che le ampiezze Y n di queste sono differenti per ciascun n. Il nostro orecchio è in grado di apprezzare le differenze fra queste differenti serie (ne fa a nostra insaputa lanalisi di Fourier). Per questo sappiamo distinguere il suono di un pianoforte da quello di un clarinetto, e cè chi sa distinguere se un determinato pezzo per violino è eseguito usando uno Stradivari o un Guarneri

21 Onde su una corda vibrante

22 x y O d Calcoliamo lenergia connessa con una deformazione Lenergia cinetica sarà Lenergia potenziale sarà Lintensità di unonda ed il trasporto di energia

23 Le deformazioni sono piccole quindi possiamo cercare di semplificare l Lenergia totale per unità di lunghezza allora diventa Per unonda sinusoidale noi sappiamo che:

24 Sostituendo È interessante notare che in questo caso la densità di energia cinetica e potenziale sono uguali e pari a Si noti anche che lenergia si propaga come unonda: è infatti funzione dellargomento kx- t=k(x-vt). Ciò significa che lenergia che abbiamo ceduto allinizio della corda viaggierà lungo tale mezzo elastico ideale (non ci sono attriti e dissipazioni) e raggiungerà laltra estremità (onde viaggianti)

25 Si noti che si è usato il simbolo di derivata totale e non parziale a proposito della densità di energia totale, cinetica e potenziale. Ciò perché deve essere per unonda Ciò ci consente di calcolare facilmente la potenza istantanea trasportata dallonda Possiamo ora calcolare quanta energia trasporta londa al secondo attraverso una superficie unitaria (1 m 2 ) perpendicolare alla direzione di propagazione. Tale grandezza si chiama lintensità dellonda (corrisponde al volume del suono) Consideriamo una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione di propagazione, il fronte donda percorrerà in 1 sec. un tratto lungo v metri. Nel volume V=1 x v, sarà dunque fluita una quantità di energia pari a vP x v 1m 2

26 In realtà ci interessa la media temporale (in un periodo) di tale quantità Integrali come questo sono molto ricorrenti in fisica. Si esegue con un cambio di variabile Si ha:

27 Abbiamo quindi: Unonda è tanto più intensa quanto più è elevata la sua frequenza, quanto più è grande la sua ampiezza, quanto più è grande la velocità di propagazione nel mezzo, quanto è più grande la sua densità di massa (corda più grossa)

28 Cosa udiamo quando una motocicletta accelera, si avvicina e ci supera? Sentiamo il suono cambiare, ovvero crescere in altezza, non solo in volume, poi decrescere Questo è lEffetto Doppler e ci proponiamo di comprendere perché e come avviene Se una sorgente è in moto i fronti donda si addensano nella direzione e verso del moto stesso e si diradano nel verso opposto Effetto Doppler Consultare fig Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

29 In tal caso la frequenza con cui losservatore registra larrivo dei fronti donda crescerà (o diminuirà) Se la velocità della sorgente è v s in un periodo T 0 la sorgente percorrerà una distanza Questa è proprio la diminuizione (aumento) di lunghezza donda che percepisce un osservatore che vede la sorgente avvicinarsi (allontanarsi). Cioè: Si avrà per la frequenza:

30 Un caso del tutto analogo, che sulla base del principio di relatività di Galilei deve condurre assolutamente allo stesso risultato è quello di una sorgente ferma e di un osservatore che si avvicina (allontana) alla sorgente In tal caso, per il teorema di addizione delle velocità deve essere Cioè le cose dovrebbero andare come se il suono viaggiasse più veloce (osservatore che si avvicina) o più lento (osservatore che si allontana) Si ha: Consultare Fig Fishbane-Gasiorowicz- Thornton

31 Si noti che i risultati ottenuti sono identici, ma apparentemente lo sono solo perchè Quindi per velocità di sorgenti vicine alla velocità del suono nellaria (340 m/sec) si dovrebbero apprezzare differenze nei due casi (sorgente in moto e osservatore fermo, o viceversa). Questo negherebbe il principio di relatività di Galilei, pertanto ci deve essere, ben nascosto, un errore nei calcoli che abbiamo fatto. In realtà lerrore sta nel fatto che le trasformazioni di Galilei, da cui discende direttamente il teorema di addizione delle velocità, sono errate. Le trasformazioni esatte sono quelle di Lorentz, che si riducono alle trasformazioni di Galilei esattamente nel caso in cui la velocità relativa v r di sorgente e osservatore sono piccole rispetto alla velocità delle onde Una trattazione corretta, molto al di là degli scopi di questo corso conduce a dimostrare che la seguente formula vale sempre:

32 Supponiamo che la sorgente viaggi più velocemente del suono. In tal caso i fronti donda restano indietro rispetto alla sorgente Linviluppo delle onde sferiche emessa dalla sorgente costituisce un cono: il cono di Mach Si ha Onde durto Consultare fig Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

33 La superficie conica si muoverà con la velocità della sorgente e sarà anchessa unonda. Va sotto il nome di onda durto Il rapporto v s /v va sotto il nome di numero di Mach e serve a classificare le velocità dei mezzi supersonici Consultare fig Fishbane- Gasiorowicz- Thornton


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