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LE FUNZIONI CONTINUE Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio.

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1 LE FUNZIONI CONTINUE Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 1.STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI LE FUNZIONI CONTINUE Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x 0 = 1. Il valore del limite è l = 2. Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x 0 :f(x 0 ) = l. Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite. La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.

3 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Funzione continua in un punto Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x 0 un punto interno allintervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x 0 quando esiste il limite di f(x) per e tale limite è uguale al valore f(x 0 ) della funzione calcolata in x 0 :. Se una funzione è continua in un punto, allora il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. ESEMPIO y = 1 – x 4 è continua in x 0 = 2, non è continua in x 0 = 1.

4 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA LE FUNZIONI CONTINUE Una funzione può essere definita continua anche negli estremi dellintervallo di definizione [a; b]. DEFINIZIONE f(x) è continua a destra in x 0, se f(x 0 ) coincide con il limite destro di f(x) per x che tende a x 0 :. DEFINIZIONE f(x) è continua a sinistra in x 0, se f(x 0 ) coincide con il limite sinistro di f(x) per x che tende a x 0 :. DEFINIZIONE Funzione continua in un intervallo Una funzione definita in [a; b] si dice continua nellintervallo [a; b] se è continua in ogni punto dellintervallo. ESEMPIO La funzione non è continua in x 0 = 1, non è continua nellintervallo [0;1], ma è continua nellintervallo [1;2].

5 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio ESEMPIO y = sen 4x è composta da z = f(x) = 4x, continua in R, y = g(z) = sen z, continua in R. Anche g ( f(x) ) = sen 4x è continua in R. Data una funzione composta y = g ( f(x) ), si può dimostrare che, se f è continua in x 0, e g in f(x 0 ), allora anche y = g ( f(x) ) è continua in x 0. LE FUNZIONI CONTINUE 3.LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE Ad esempio,.

6 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio Funzione continua in ]2;5[, intervallo aperto. Non possiede un massimo assoluto né un minimo assoluto. Funzione continua in tutto [1;3] tranne x = 2. Possiede un minimo assoluto, ma non un massimo. Funzione continua nellintervallo illimitato [1; [. Possiede un massimo assoluto, ma non un minimo. 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di Weierstrass Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], Controesempi allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

7 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema dei valori intermedi Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.

8 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio Funzione discontinua nellestremo sinistro x = 1. Non possiede uno zero. Funzione continua in tutto [–4;3] tranne x = –1. Non possiede uno zero. 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, Controesempi allora esiste almeno un punto c, interno allintervallo, in cui f si annulla.

9 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LE FUNZIONI CONTINUE 5.ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

10 Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio LE FUNZIONI CONTINUE 5.ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE


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