La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Lezione n° 6: 23-24 Marzo 2009 - Cono di recessione. - Teorema della rappresentazione. Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Lezione n° 6: 23-24 Marzo 2009 - Cono di recessione. - Teorema della rappresentazione. Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni."— Transcript della presentazione:

1 Lezione n° 6: Marzo Cono di recessione. - Teorema della rappresentazione. Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 Come si calcolano le direzioni di un poliedro? (Procedimento geometrico) (poliedro) Abbiamo visto che è una a direzione del poliedro se: Questo è un sistema omogeneo che definisce un cono poliedrico ( detto CONO di RECESSIONE) ottenuto traslando gli iperpiani che definiscono X parallelamente a se stessi fino allorigine

3 X Cono di recessione contenente tutte le direzioni del poliedro, ossia tutte le direzioni che soddisfano il sistema:

4 Coni Convessi Un cono convesso è un insieme convesso che contiene raggi che partono dallorigine (perché?) Definizione: Un cono convesso C è un insieme convesso con la seguente proprietà C

5 In generale: un cono convesso può essere espresso in funzione dei suoi raggi C Solo alcuni raggi sono sufficienti (detti RAGGI ESTREMI) perché gli altri sono espressi come combinazione lineare di questi Nota: alcuni raggi possono essere espressi come combinazione lineare di altri

6 Coni Convessi Dato un insieme di vettori d 1,d 2,…,d k il cono convesso generato da questi vettori è dato da: C d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 d5d5

7 Cono poliedrale Il CONO POLIEDRALE è un particolare tipo di cono definito dallintersezione di un numero finito di semispazi che passano per lorigine ed è descritto tramite il sistema:

8 Definizione Una direzione d di un poliedro X, è una direzione estrema di X se e solo se non è esprimibile come combinazione lineare di altre direzioni di X. Direzioni estreme di un poliedro

9 X Direzioni estreme del poliedro (direzioni estreme del cono di recessione)

10 Teorema (di rappresentazione di poliedri) (no dim.) Dato un poliedro X non vuoto con punti estremi e direzioni estreme Ogni punto x X può essere espresso come combinazione convessa dei punti estremi di X e combinazione lineare non negativa delle sue direzioni estreme:

11 quindi: x4x4

12 Soluzione dei problemi di PL Consideriamo il problema (PL) in Forma Standard Ogni punto x X può essere espresso come combinazione convessa dei punti estremi di X e combinazione lineare non negativa delle sue direzioni estreme: punti estremi direzioni estreme

13 Possiamo trasformare il problema di PL in un nuovo problema con incognite: 1, 2,... k e 1, 2,…, t Nota: 1. se esiste una direzione d j tale che cd j < 0 lottimo del problema è illimitato 2. se cd j >0 per ogni d j - le corrispondenti variabili 1, 2,…, t sono scelte uguali a zero - per minimizzare il resto della sommatoria basta calcolare tutti i valori cx j, scegliere il minimo ad esempio cx p e fissare p =1 e tutti gli altri uguali a zero

14 RIASSUMENDO: 1. la soluzione ottima di un problema di programmazione lineare è finito se e solo se cd j > 0 per ogni d j 2. in questo caso una soluzione ottima si trova su uno dei vertici del poliedro 3. se esistono più vertici ottimi allora ogni combinazione convessa di questi punti è una soluzione ottima

15 Soluzione dei problemi di PL: esempio X Calcoliamo punti estremi e direzioni estreme

16 X Soluzione dei problemi di PL: esempio(2)

17 X Soluzione dei problemi di PL: esempio(3)

18 Soluzione dei problemi di PL: esempio(4) Ottimo illimitato (facendo tendere μ 1 a la f.o. tende a - indipendentemente dai valori scelti per le altre variabili)

19 Soluzione dei problemi di PL: esempio(5) Ottimo finito di valore -2 in corrispondenza del vertice b, ottenuto assegnando alle variabili i valori μ 1, μ 2, λ 1, λ 3 =0, λ 2 =1 Consideriamo una differente funzione obiettivo


Scaricare ppt "Lezione n° 6: 23-24 Marzo 2009 - Cono di recessione. - Teorema della rappresentazione. Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni."

Presentazioni simili


Annunci Google