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PREMESSE DELLANALISI INFINETISIMALE. Insiemi numerici e insiemi di punti Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico. LE PREMESSE.

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1 PREMESSE DELLANALISI INFINETISIMALE

2 Insiemi numerici e insiemi di punti Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico. LE PREMESSE DELLANALISI INFINETISIMALE Detto R linsieme dei numeri reali e data una retta orientata r, è noto che, stabilita ununità di misura e unorigine O su r, a ogni numero reale si può associare un punto di r e viceversa; si puo cioè stabilire una corrispondenza biunivoca tra R e r. La retta r viene chiamata, per quanto appena detto, retta reale. In base a questa corrispondenza è possibile parlare indifferentemente di insieme numerico o di insieme di punti su r, ossia è lecito confondere i punti di r con i numeri reali a essi corrispondenti e viceversa; in altre parole è possibile identificare un insieme numerico con la sua immagine geometrica su r. Per tale motivo un insieme numerico verrà anche chiamato insieme lineare di punti e i suoi elementi sono quindi, indistintamente, numeri o punti della retta reale.

3 La topologia della retta reale LE PREMESSE DELLANALISI INFINETISIMALE

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14 LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

15 1.LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO y = 2x -1 DEFINIZIONE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca) Una funzione da A a B si dice: - iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; - suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; - biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. - Suriettiva - Iniettiva - Suriettiva se - Non iniettiva se- Biiettiva ESEMPIO y = – x 2 + 4

16 2.LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO y = x 2 – 4 DEFINIZIONE Funzione crescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I, con x 1 < x 2, risulta f (x 1 ) < f (x 2 ). Crescente in la funzione è crescente in senso lato o non decrescente. Funzione non decrescente Se, invece di f (x 1 ) < f (x 2 ), vale

17 DEFINIZIONE 2.LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO Funzione decrescente Una funzione y = f (x) di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x 1 e x 2 appartenenti a I, con x 1 < x 2, risulta f (x 1 ) > f (x 2 ). la funzione è decrescente in senso lato o non crescente. Funzione non crescente Se, invece di f (x 1 ) > f (x 2 ), vale Decrescente in Non crescente in R

18 DEFINIZIONE 2.LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE Funzione monotona Una funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quellintervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Funzione monotòna crescente in IFunzione monotòna decrescente in I

19 DEFINIZIONE 3.LE FUNZIONI PERIODICHE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO y = sen (x) è periodica di periodo 2 perchésen (x) = sen (x + 2k ). Funzione periodica Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x) = f(x + kT). y = tg (x) è periodica di periodo perchétg (x) = tg (x + k ).

20 DEFINIZIONE 3.LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO f (x) = 2x 4 – 1 Funzione pari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se, allora. Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f (–x) = f (x) per qualunque x appartenente a D. f (– x) = 2(– x) 4 – 1 = 2x 4 – 1 = f (x) f è pari.

21 DEFINIZIONE 3.LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO f (x) = x 3 + x Funzione dispari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se, allora. Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f (–x) = – f (x) per qualunque x appartenente a D. f (– x) = (– x) 3 + (– x) = – x 3 – x = – f (x) f è dispari.

22 DEFINIZIONE 4.LA FUNZIONE INVERSA LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x), Funzione inversa Data la funzione biiettiva f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f –1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x). Il grafici di f e di f –1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. disegnare il grafico di f –1 equivale a partire dalle ordinate di f e ricavare le ascisse. Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli.

23 4.LA FUNZIONE INVERSA LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE La funzione esponenziale e la funzione logarimica

24 4.LA FUNZIONE INVERSA LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE La funzione arcoseno La funzione arcocoseno La funzione arcotangente La funzione arcocotangente

25 Le funzioni composte Date le due funzioni e, con o y = g (f (x)) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A limmagine mediante g dellimmagine di x mediante f. 5.LE FUNZIONI COMPOSTE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE ESEMPIO Consideriamo: f (x) = x 2, g(x) = x + 1. Otteniamo: La composizione NON è commutativa.

26 LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 6. ESERCIZI: LE FUNZIONI COMPOSTE

27 LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE DOMINIO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

28 LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

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34 LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

35 Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a f(x 0 ) o a un altro valore reale l ? 1.LA DEFINIZIONE LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato. Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x 0 ). x 0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x 0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x 0 ).

36 ESEMPIO Cosideriamo la funzione:. Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3? 1.LA DEFINIZIONE LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO xf(x) 2,95,8 2,995,98 2,9995,998 2,99995,9998 xf(x) 3,16,2 3,016,02 3,001 6,002 3,0001 6, è |x – 3| <. Cioè, per ogni numero reale positivo, se, allora. La condizione per avere |f(x) – 6| <

37 1.LA DEFINIZIONE LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x 0 Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x 0, e si scrive, quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x 0 tale che risulti per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x 0. In simboli.

38 Fissiamo > 0. Individuiamo un intorno I di x 0 tale che per ogni. Se riduciamo, troviamo un intorno di x 0 più piccolo. Qual è il significato intuitivo della definizione? 2.IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO Lesistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x 0, f(x) si avvicina indefinitamente a l. In simboli.

39 Per ogni troviamo linsieme dei valori di x che soddisfano la condizione 3. LA VERIFICA LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO ESEMPIO Verifichiamo che. e verifichiamo che contenga un intorno di 2. Quindi, cioè da cui si ricava. In temini di intervalli:, che è un intorno di 2.

40 4. LE FUNZIONI CONTINUE LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO DEFINIZIONE Una funzione f è continua in x 0 DEFINIZIONE Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D. Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. se x 0 appartiene al dominio di f e il limite in x 0 coincide con f(x 0 ), cioè:. Funzioni continue in intervalli reali La funzione costante f(x) = k, continua in tutto R. La funzione polinomiale f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n, continua in tutto R. La funzione radice quadrata, continua in R + U {0}. Le funzioni goniometriche (esempi) f(x) = sen(x), continua in tutto R. f(x) = cotg(x), continua in R – {k, }. La funzione esponenziale f(x) = a x, con a > 0, continua in tutto R. La funzione logartimica f(x) = log a x, con a > 0,, continua in R +.

41 Il limite esiste e vale 3. Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0 escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3. La funzione tende a 3 da valori più grandi. 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x 0, sempre valori maggiori di l, Se x si avvicina indefinitamente a x 0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori. si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive:. ESEMPIO Verifichiamo che. Fissato > 0, cerchiamo le x per cui 0 < (4x 2 – 3) – (–3) <, ossia 0 < 4x 2 < La seconda, 4x 2 <, è soddisfatta per. La prima relazione, 0 < 4x 2, dà.

42 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x 0, sempre valori minori di l, Se x si avvicina indefinitamente a x 0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori. si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive:.

43 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite destro di f in x 0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x 0. Se x si avvicina indefinitamente a x 0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nellintorno destro di x 0,. Se x si avvicina indefinitamente a x 0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l. DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite sinistro di f in x 0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x 0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nellintorno sinistro di x 0,.

44 6.IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO ESEMPIO Consideriamo la funzione e verifichiamo che,. Limite destro Verifichiamo se |f(x) – 3| < è soddisfatta in un intorno destro di 1. Soddisfatta in. Limite sinistro Verifichiamo se |f(x) – 2| < è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. Soddisfatta in. | (2x + 1) – 3 | < < 2x – 2 < | (3x – 1) – 2 | < < 3x – 3 <

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72 1.STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI LE FUNZIONI CONTINUE Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x 0 = 1. Il valore del limite è l = 2. Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x 0 :f(x 0 ) = l. Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite. La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.

73 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Funzione continua in un punto Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x 0 un punto interno allintervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x 0 quando esiste il limite di f(x) per e tale limite è uguale al valore f(x 0 ) della funzione calcolata in x 0 :. Se una funzione è continua in un punto, allora il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. ESEMPIO y = 1 – x 4 è continua in x 0 = 2, non è continua in x 0 = 1.

74 2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA LE FUNZIONI CONTINUE Una funzione può essere definita continua anche negli estremi dellintervallo di definizione [a; b]. DEFINIZIONE f(x) è continua a destra in x 0, se f(x 0 ) coincide con il limite destro di f(x) per x che tende a x 0 :. DEFINIZIONE f(x) è continua a sinistra in x 0, se f(x 0 ) coincide con il limite sinistro di f(x) per x che tende a x 0 :. DEFINIZIONE Funzione continua in un intervallo Una funzione definita in [a; b] si dice continua nellintervallo [a; b] se è continua in ogni punto dellintervallo. ESEMPIO La funzione non è continua in x 0 = 1, non è continua nellintervallo [0;1], ma è continua nellintervallo [1;2].

75 ESEMPIO y = sen 4x è composta da z = f(x) = 4x, continua in R, y = g(z) = sen z, continua in R. Anche g ( f(x) ) = sen 4x è continua in R. Data una funzione composta y = g ( f(x) ), si può dimostrare che, se f è continua in x 0, e g in f(x 0 ), allora anche y = g ( f(x) ) è continua in x 0. LE FUNZIONI CONTINUE 3.LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE Ad esempio,.

76 Funzione continua in ]2;5[, intervallo aperto. Non possiede un massimo assoluto né un minimo assoluto. Funzione continua in tutto [1;3] tranne x = 2. Possiede un minimo assoluto, ma non un massimo. Funzione continua nellintervallo illimitato [1; [. Possiede un massimo assoluto, ma non un minimo. 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di Weierstrass Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], Controesempi allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

77 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema dei valori intermedi Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], allora essa assume, almeno una volta, tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo.

78 Funzione discontinua nellestremo sinistro x = 1. Non possiede uno zero. Funzione continua in tutto [–4;3] tranne x = –1. Non possiede uno zero. 4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a; b], e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, Controesempi allora esiste almeno un punto c, interno allintervallo, in cui f si annulla.

79 LE FUNZIONI CONTINUE 5.ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

80 LE FUNZIONI CONTINUE 5.ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE

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83 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

84 DEFINIZIONE Retta tangente a una curva La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P. 1.IL PROBLEMA DELLA TANGENTE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P ? Per una circonferenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. Ma, in generale, questa definizione non basta. La tangente dipende dalle proprietà locali della curva in un intorno di P.

85 DEFINIZIONE Rapporto incrementale Dati una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni allintervallo, 2.IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B. si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c) il numero:.

86 ESEMPIO Data la funzioney = f(x) = 2x 2 – 3x, 2.IL RAPPORTO INCREMENTALE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE f (1 + h) = 2(1 + h) 2 – 3(1 + h) = = 2(1 + 2h + h 2 ) – 3 – 3h = = 2 + 4h + 2 h 2 – 3 – 3h = = – 1 + h + 2 h 2, f (1) = – 1,. e fissati il punto A di ascissa 1 e un incremento h, determiniamo il rapporto incrementale.

87 DEFINIZIONE Derivata di una funzione Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b], 3.LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c. si chiama derivata della funzione nel punto c interno allintervallo, e si indica con f ' (c), il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c:.

88 Condizione di esistenza della derivata La derivata di f esiste in c se: - la funzione è definita in un intorno di c; 3.LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Rapporto incrementale e derivata Nel processo di limite il rapporto incrementale diventa il coefficiente angolare della retta tangente. - esiste il limite del rapporto incrementale per h tendente a 0; - il limite è un numero finito.

89 ESEMPIO Calcoliamo il valore della derivata della funzione: y = x 2 – x in x = 3. 4.CALCOLO DELLA DERIVATA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE.. ESEMPIO Calcoliamo la funzione derivata della funzione: y = 4x 2...

90 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Una funzione è derivabile in c se la derivata destra e la derivata sinistra esistono in c e sono uguali. DEFINIZIONE Derivata sinistra La derivata sinistra di una funzione in un punto c è. DEFINIZIONE Derivata destra La derivata destra di una funzione in un punto c è. ESEMPIO Calcoliamo le derivate destra e sinistra della funzione: y = |x| nel punto x = 0.,. I valori non coincidono: la derivata completa non è definita in 0.

91 5. LA DERIVATA SINISTRA E LA DERIVATA DESTRA LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE Funzione derivabile in un intervallo Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b. ESEMPIO Riprendiamo la funzione y = |x| e verifichiamo la derivabilità in[0; 2]. Dal calcolo precedente, sappiamo che esiste la derivata destra in 0;calcolo precedente nel resto dellintervallo la funzione è derivabile perché y = x è derivabile in R. La funzione y = |x| è derivabile in [0; 2].

92 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 6.ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE

93 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 6.ESERCIZI: IL RAPPORTO INCREMENTALE

94 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 7.ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

95 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE 7.ESERCIZI: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

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98 LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI

99 Approssimativamente: 1.SOLUZIONI ESATTE E SOLUZIONI APPROSSIMATE LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Nessuna soluzione esatta. Sappiamo che: è crescente, per x = 0, y è positivo (y = 1), Se non esiste una soluzione esatta, riduciamo lindeterminazione della x entro un margine dato. una sola soluzione, x < 0. x 2 – 2x – 8 = 0 Risolviamo:. x = –2 v x = 4 ma possiamo migliorare ancora lapprossimazione. il codominio è tutto R,

100 TEOREMA Teorema di esistenza degli zeri Se f è una funzione continua nellintervallo [a; b] limitato e chiuso 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Per trovare le radici approssimate, è necessario anzitutto Separare le radici determinare gli intervalli che contengono soltanto uno zero. ossia:. allora esiste almeno un punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, e negli estremi assume valori di segno opposto, cioè se,

101 TEOREMA Primo teorema di unicità dello zero Se f è una funzione continua nellintervallo [a; b] limitato e chiuso, 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI derivabile con derivata prima diversa da 0 nei suoi punti interni e, inoltre,, ossia: (esiste uno e un solo c in ]a;b[ tale che f(c) = 0). allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla,

102 TEOREMA Secondo teorema di unicità dello zero Se f è una funzione continua nellintervallo [a; b], 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI allora esiste un solo punto c interno ad [a; b] in cui la funzione si annulla, derivabile due volte nei suoi punti interni, e se ossia:. e f ''(x) 0,, Se f ''(x) cambia di segno, la funzione può avere più di uno zero anche se.

103 f è continua e doppiamente derivabile in tutto R. 2. LA SEPARAZIONE DELLE RADICI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI ESEMPIO Verifichiamo gli zeri di y = x 5 – 3x – 1 nellintervallo [0; 2]. Inoltre y(0) y(2) = – 25. Si applica il secondo teorema di unicità. E, in particolare: y' = 5x 4 – 3, y'' = 20x 3, cioè y'' > 0 in ]0; 2[. La funzione si annulla 1 volta in [0; 2]. ESEMPIO Separiamo le radici dellequazione lnx – x = 0. Confrontiamo i grafici di g(x) = lnx, h(x) = x 2 – 2. I grafici hanno due intersezioni (e lequazione ha due soluzioni):x 1 in [0; 1], x 2 in [ ; 2]. Si verifica applicando il teorema di esistenza e il primo teorema di unicità negli intervalli: [0,1; 1], [ ; 2]. Perché non [0; 1] ?

104 3. IL METODO DI BISEZIONE LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Risolviamo:x 3 – x – 1 = 0, con approssimazione migliore di x = 0,3. c è compreso tra a 0 = –2 e b 0 = 0. Con i teoremi o il metodo grafico, verifichiamo che lintervallo [a 0 ; m 0 ] contiene la radice c. Miglioriamo lapprossimazione:. Con i teoremi di esistenza e unicità, o confrontando i grafici di g(x) = x 3, h(x) = x + 1, verifichiamo che lintervallo [–2; 0] contiene una sola radice c. Distanza di c dallestremo b 0 (o a 0 ): al più, 0 = b 0 – a 0 = 2. c è compreso tra a 1 = –2 e b 1 = –1. Miglioriamo lapprossimazione:. Con i teoremi o il metodo grafico, verifichiamo che lintervallo [m 1 ; b 1 ] contiene la radice c. Distanza di c dallestremo b 1 (o a 1 ): al più, 1 = b 1 – a 1 = 1. c è compreso tra a 2 = –1,5 e b 2 = –1. Distanza di c dallestremo b 2 (o a 2 ): al più, 2 = b 2 – a 2 = 0,5. Miglioriamo lapprossimazione:. Con i teoremi o il metodo grafico, verfichiamo che lintervallo [a 2 ; m 2 ] contiene la radice c. c è compreso tra a 3 = –1,5 e b 3 = –1,25. Distanza di c dallestremo b 3 (o a 3 ): al più, 3 = b 3 – a 3 = 0,25. Lapprossimazione richiesta è raggiunta. b 3 e a 3 approssimano c con unindeterminazione di 0,25. c = –1,25 (o –1,5), x = 0,25.

105 Tracciamo AB 2. Tracciamo AB 1. Tracciamo AB. Determiniamo x 3... Determiniamo x 2 e B 2. Determiniamo x 1 e B IL METODO DELLE SECANTI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Consideriamo:f(x) = 0, e supponiamo che ammetta una sola radice c nellintervallo [a 0 ; b 0 ]. x 1, x 2, x 3, … converge a c. Se la concavità ha lo stesso verso in tutto larco AB, esistono formule di ricorrenza. Se (come nella figura), x 0 = b 0,. Se, x 0 = a 0,.

106 4. IL METODO DELLE SECANTI LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Se f ''(x) cambia segno in [a 0 ; b 0 ], la successione x 1, x 2, x 3, … non è monotòna. Le formule di ricorrenza non valgono, ma x 1, x 2, x 3, … converge ancora a c. Il metodo delle secanti fornisce ancora la soluzione approssimata. Confronto Rispetto al metodo di bisezione, il metodo delle secanti converge alla soluzione più rapidamente; cioè raggiunge una data precisione in un numero di iterazioni inferiore.

107 5. IL METODO DELLE TANGENTI O DI NEWTON-RAPHSON LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Consideriamo:f(x) = 0, supponiamo che ammetta una sola radice c nellintervallo [a 0 ; b 0 ] x 1, x 2, x 3, … converge a c. Tangente in B. Ricaviamo x 1 e B 1. Tangente in B 1. Ricaviamo x 2 e B 2. Tangente in B 2. Ricaviamo x 3... e che in [a 0 ; b 0 ] f ''(x) sia continua e non cambi segno. Formula di ricorrenza. Confronto Rispetto al metodo delle secanti, il metodo delle tangenti richiede un minor numero di iterazioni, ma ogni iterazione richiede il calcolo di due funzioni ( f ed f ' ). Il metodo delle tangenti conviene quando f ' (x n ) è facile da calcolare.

108 6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Consideriamo:f(x) = 0. Sotto certe condizioni, x 1, x 2, x 3, … converge ad. Formula di ricorrenza x n+1 = g(x n ). Può essere verificata direttamente sul grafico. Sia la soluzione ricercata. Scegliamo un valore iniziale x 0 vicino ad e alterniamo spostamenti verticali e orizzontali da una curva allaltra., con g(x) = f(x) + x. Equivale a trovare le soluzioni di: Punto unito Si definisce punto unito di h(x), il valore x u del dominio di h tale che h(x u ) = x u. La soluzione a del problema proposto è punto unito di g. Il metodo iterativo è una tecnica per trovare il punto unito di g.

109 6. IL METODO ITERATIVO O DEL PUNTO UNITO LA RISOLUZIONE APPROSSIMATA DELLE EQUAZIONI Casistica x 1, x 2, x 3, … non converge. TEOREMA Condizione sufficiente di convergenza Data unequazione della forma x = g(x), se è possibile determinare un intervallo [a; b] in cui g è derivabile, ed esiste un numero m, con 0 < m < 1, tale che, allora : x 1, x 2, x 3, … non è monotona. a) la successione x 1 = g(x 0 ), x 2 = g(x 1 ),..., x n = g(x n-1 ),... converge qualunque sia il punto iniziale ; b) il limite è lunica soluzione dellequazione data, nellintervallo [a; b].

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112 MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA

113 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA DEFINIZIONE Punto stazionario Dati una funzione derivabile y = f (x) e un suo punto x = c, se f ' (c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario. TEOREMA Data una funzione y = f (x), definita in un intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[, se f (x) ha un massimo o un minimo relativo nel punto x 0, interno ad [a; b], la derivata della funzione in quel punto si annulla, cioè: f ' (x 0 ) = 0.

114 Viceversa, massimi e minimi negli estremi a e b possono avere derivata non nulla. 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Massimi e minimi interni ad [a; b] hanno derivata nulla. Massimi e minimi hanno derivata nulla. Viceversa, la derivata nulla non assicura la presenza di massimi o minimi. f ' (0) = 0, ma in x = 0 non ci sono massimi né minimi.

115 1. I PUNTI DI MASSIMO O DI MINIMO RELATIVO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Massimi e minimi hanno derivata nulla, se f è derivabile in ]a; b[. Controesempi Viceversa, se f non è derivabile ovunque, massimi e minimi possono avere derivata non nulla.

116 TEOREMA La funzione y = f (x) sia definita e continua in un intorno completo I x 0 del punto x 0 e derivabile nello stesso intorno per ogni. MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Se per ogni x dellintorno si ha: f ' (x) < 0 quando x < x 0, 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA Se per ogni x dellintorno si ha: f ' (x) > 0 quando x < x 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo. f ' (x) x 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo. f ' (x) > 0 quando x > x 0, Se il segno della derivata prima è lo stesso per ogni dellintorno, allora x 0 non è un punto estremante.

117 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO Determiniamo massimi e minimi della funzione y = f(x) = x 3 – 3x. x 2 – 1 > 0x 1. La derivata èf ' (x) = 3x 2 – 3. Studiamone il segno: 3x 2 – 3 > 0 f è continua in R.

118 La derivata è e non è definita per x = –1, x = 1. 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO Studiamo la funzione y = |x 2 –1|, Segno di y' : cioè. f è continua in R.

119 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO Studiamo la funzione. Segno di y' : y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0. f è continua in R. La derivata èse, e non è definita per x = 0.

120 2.LA RICERCA DEI MASSIMI E MINIMI RELATIVI CON LA DERIVATA PRIMA MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA ESEMPIO y' < 0 se x < 0, y' > 0 se x > 0. y' > 0 se x < 1, y' > 0 se x > 1. ESEMPIO y' > 0 se x < 0, y' 0. Ma 0 non è un punto estremante.Ma f ha un massimo in x = 1. Ma 1 è un punto di minimo.

121 TEOREMA Data la funzione y = f (x) definita e continua in un intorno completo I x 0 del punto x 0 e derivabile nello stesso intorno, il segno della derivata prima è lo stesso per ognidellintorno I x I PUNTI STAZIONARI DI FLESSO ORIZZONTALE MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA x 0 è un punto di flesso orizzontale se sono soddisfatte le seguenti condizioni: f ' (x 0 ) = 0; Casi possibili Funzione crescente in Funzione decrescente in

122 4.RIEPILOGO MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA Massimo relativo Mimimo relativo Flesso orizzontale discendente Flesso orizzontale ascendente

123 MASSIMI, MINIMI, FLESSI ORIZZONTALI E DERIVATA PRIMA 5.ESERCIZI

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126 LINTEGRALE INDEFINITO

127 L'INTEGRALE INDEFINITO 1. LE PRIMITIVE DEFINIZIONE Primitiva di una funzione Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nellintervallo [a;b] se F(x) è derivabile in tutto [a;b] e la sua derivata è f(x). Ogni funzione del tipo y = x 2 + c ha per derivata 2x quindi è una primitiva di y = 2x.

128 L'INTEGRALE INDEFINITO 1.LE PRIMITIVE Se F (x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F (x) + c, con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x). Ovvero: se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è; se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di F(x), allora G(x) - F(x) = c. I grafici di queste funzioni sono traslati di un vettore del tipo (0; c). Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.

129 L'INTEGRALE INDEFINITO 2. LINTEGRALE INDEFINITO DEFINIZIONE Integrale indefinito Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con, linsieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x), con c numero reale qualunque. ESEMPIO Lintegrale indefinito di cos x è linsieme delle primitive di cos x, cioè sen x + c.

130 L'INTEGRALE INDEFINITO 2. LINTEGRALE INDEFINITO Lintegrazione di una funzione agisce come operazione inversa della derivazione. ESEMPIO derivazione integrazione sen x + c x 2 + c e x + c cos x 2x exex sen x + c x 2 + c e x + c

131 L'INTEGRALE INDEFINITO 2. LINTEGRALE INDEFINITO TEOREMA Condizione sufficiente di integrabilità Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso intervallo.

132 L'INTEGRALE INDEFINITO PROPRIETÀ Prima proprietà di linearità Lintegrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni: 3. LE PROPRIETÀ DELLINTEGRALE INDEFINITO ESEMPIO

133 L'INTEGRALE INDEFINITO PROPRIETÀ Seconda proprietà di linearità Lintegrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è uguale al prodotto della costante per lintegrale della funzione: 3. LE PROPRIETÀ DELLINTEGRALE INDEFINITO ESEMPIO


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