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14-Ott-131 Riassunto lezione precedente Evidenza spettroscopica di multipletti quasi degeneri; organizzabili secondo simmetria SU(2) di isospin, con lieve.

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1 14-Ott-131 Riassunto lezione precedente Evidenza spettroscopica di multipletti quasi degeneri; organizzabili secondo simmetria SU(2) di isospin, con lieve rottura di degenerazione per interazione elettromagnetica necessità di introdurre nuovo numero quantico stranezza S; secondo SU(3) mesoni organizzati in nonetti sia pseudoscalari sia vettori; barioni organizzati in ottetto e decupletto a parità + e singoletto a parità –; nello spettro, ad alta energia segnali di rottura di una simmetria legata a P (simmetria chirale?) Gell-Mann & Zweig (63): ipotesi di simmetria a livello più basso, basata su struttura più elementare, i quarks; si giustificano osservazioni spettroscopiche, ma non si evidenzia mai il tripletto di SU(3): i quark sono reali? cenni di teoria dei gruppi: il caso SU(2), le matrici di Pauli definizione e proprietà di generatori di SU(N); rappresentazioni fondamentale, regolare, coniugata; operatore di Casimir e classificazione dei multipletti; esempi di SU(2) e SU(3)

2 14-Ott-132 SU(3) : proprietà generali gruppo delle trasformazioni unitarie U tali per cui χ = Uχ U sono matrici unitarie 3x3 del tipo 8 generatori della trasformazione: 8 matrici 3x3 hermitiane a traccia nulla le matrici di Gell-Mann λ sottogruppo SU(2) di isospin I – spin su (u,d) sottogruppo V – spin su (u,s) sottogruppo U – spin su (d,s) I VU I3I3 Y operatore isospin ½ λ 3 operatore ipercarica du s

3 14-Ott-133 SU(3) : classificazione multipletti e operatore di Casimir operatore di Casimir SU(2): I i = ½ σ i C = ( I ) 2 = ½ ( I + I - + I - I + ) + ( I 3 ) 2 = ½ { I +, I - } + ( I 3 ) 2 SU(3): F i = ½ λ i C = (F) 2 = Σ i=1 8 F i F i = ½ { I +, I - } + ½ {V +, V - } + ½ {U +, U - } + (F 3 ) 2 + (F 8 ) 2 autovalore di C è (p 2 +pq+q 2 )+(p+q) p,q ε N + definiamo F i = ½λ i. Algebra: [F i, F j ] = i f ijk F k, {F i, F j } = 4/3 δ ij + 4 d ijk F k costanti di SU(3): f 123 =1, f 458 =f 678 = 3/2 d 118 =d 228 =d 338 =-d 888 = 1/3 f 147 =f 246 =f 257 =f 345 =f 516 =f 637 = ½ d 146 =d 157 =d 256 =d 344 =d 355 = ½ d 247 =d 366 =d 377 = -½ d 448 =d 558 =d 668 =d 778 = -1/23 I ± = F 1 ± i F 2 V ± = F 4 ± i F 5 U ± = F 6 ± i F 7 dim.(p,q) F2F2 1(0,0)0 3(1,0)4/3 3(0,1)4/3 8(1,1)3 6(2,0)10/3 10(3,0)6 3 3* because of Y -

4 14-Ott-134 Quarks e rappresentazioni SU(N) supponiamo barioni = {qqq} e mesoni = {qq} saporeup udown dstrange s nr. barionico B isospin I ½½0 I3I3 +½-½0 ipercarica Y - carica Q +-- stranezza S 00 servono almeno 2 flavors u,d per distinguere p da n gruppo SU(2) I servono almeno 3 flavors u,d,s per distinguere p da Σ + gruppo SU(3) f Y = B+S Q = I 3 +½Y

5 14-Ott-135 Spettro barionico e simmetria degli stati barioni = {qqq} q = u,d,s (per ora non importa ordine: uds dsu sud…) quarksimmetriacaricastranezzastati uuuS20Δ ++ uudS M10Δ + p uddS M00Δ 0 n dddS0Δ-Δ- uusS M1Σ + Σ* + udsS M M A0Σ 0 Σ* 0 Λ 0 Λ ddsS M Σ - Σ* - ussS M0-2Ξ 0 Ξ* 0 dssS M-2Ξ - Ξ* - sssS-3Ω-Ω- come distinguere ? p da Δ + n da Δ 0 …. ora ordine conta: dato {qqq} con q=u,d,s si può sempre costruire un S 10 dato {qqq} o {qqq} si può avere simm. mista M 8 ({qqq} ha 2 modi diversi M M) dato {qqq} si può avere un A ({qqq}=-{qqq} per ogni coppia) 1

6 14-Ott-136 Rappresentazioni di SU(2) Rappresentazione fondamentale (dim. 2): 2 oggetti : |χ 1 >, |χ 2 > |χ 1 >|χ 2 >scambio 1 2 uuuu ud 1/2 (ud+du)1/2 (ud-du) du dddd SA notazione di teoria di gruppo Ex: S 1 = ½ S 2 = ½ S = 1 o 0 |S 1 S 1z ; S 2 S 2z > |S S z > |½ ½ ; ½ ½ > |1 1 > 1/2 [ |½ ½ ; ½ -½ > + |1 0 > |½ -½ ; ½ ½ > ] 1/2 [ |½ ½ ; ½ -½ > - |0 0 > |½ -½ ; ½ ½ > ] |½ -½ ; ½ -½ > |1 -1 >

7 14-Ott oggetti : |χ 1 >, |χ 2 >, |χ 3 > |χ 1 >|χ 2 >|χ 3 >scambio 1 2SzSz uuu 3/2 uud, udu, duu1/3 (uud+udu+duu)1/2 (ud-du)u1/6 [ (ud+du)u - 2 uud ] ½ udd, dud, ddu1/3 (udd+dud+ddu)1/2 (ud-du)d-1/6 [ (ud+du)d - 2 ddu ] -½ ddd -3/2 SMAMA MSMS antisimmetrico simmetrico in 1 2 ma non definito negli altri Ex: S 1 =½ S 2 =½ S 3 =½ S 12 =1 S 3 =½ + S 12 =0 S 3 =½ S = 3/2 o ½ S + S = ½ A

8 14-Ott-138 Rappresentazioni di SU(3) Rappresentazione fondamentale (dim. 3): 2 oggetti : |χ 1 >, |χ 2 > |χ 1 >|χ 2 >scambio 1 2 uuuu ud 1/2 (ud+du)1/2 (ud-du) du dddd us 1/2 (us+su)1/2 (us-su) su ds 1/2 (ds+sd)1/2 (ds-sd) sd ssss SA stati A sono 3 perché ud us ds I3I3 Y

9 14-Ott oggetti : |χ 1 >, |χ 2 >, |χ 3 > |χ 1 >|χ 2 >|χ 3 >scambio 1 2spettro uuu Δ ++ uud, udu, duu1/3 (uud+udu+duu)1/6 [ (ud+du)u-2uud ]1/2 (ud-du)uΔ + (S) p(M) udd, dud, ddu1/3 (udd+dud+ddu)-1/6 [ (ud+du)d-2ddu ]1/2 (ud-du)dΔ 0 (S) n(M) ddd Δ-Δ- uus, usu, suu1/3 (uus+usu+suu)1/6 [ (us+su)u-2uus ]1/2 (us-su)uΣ* + (S) Σ + (M) uds1/6 (uds+usd+dus +sud+dsu+sdu) 1/23 [s(du+ud) + usd+dsu-2(du+ud)s ] 1/2 [ (usd+dsu) - s(ud+du) ] 1/6 [ s(du-ud) + usd–dsu + (du-ud)s ] Σ* 0 (S) Σ 0 (M) Λ 1405 (A) Λ 0 (M) 1/2 [ (dsu-usd) + s(ud-du) ] 1/23 [s(du-ud) + usd-dsu-2(du-ud)s ] dds, dsd, sdd1/3 (dds+dsd+sdd)1/6 [ (ds+sd)d-2dds ]1/2 (ds-sd)dΣ* - (S) Σ - (M) ssu, sus, uss1/3 (ssu+sus+uss)-1/6 [ (us+su)s-2ssu ]1/2 (us-su)sΞ* 0 (S) Ξ 0 (M) ssd, sds, dss1/3 (ssd+sds+dss)-1/6 [ (ds+sd)s-2ssd ]1/2 (ds-sd)sΞ* - (S) Ξ - (M) sss Ω - (S) SMSMS MAMA A


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