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FORMULE TRIGONOMETRICHE. Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come.

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1 FORMULE TRIGONOMETRICHE

2 Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come varia una grandezza fisica scalare in funzione della direzione e, più in generale, ogni volta che in un problema è coinvolto un angolo Ma hanno un «difetto», non sono proporzionali agli angoli; per esempio, il seno di 90° non è il triplo del seno di 30° altro esempio, la tangente di 90° non è il doppio della tangente di 45°... La tangente di 45° è 1 mentre quella di 90° è  !!!!!

3 FORMULE TRIGONOMETRICHE E’ fondamentale quindi avere a disposizione delle regole (formule) che possano permettere di calcolare il valore delle funzioni goniometriche partendo da particolari combinazioni di angoli Ad esempio: quanto vale il coseno di un angolo pari a  –  cos(  –  ) se si conoscono cos  e cos 

4 FORMULE TRIGONOMETRICHE La risposta è cos(  –  ) = sen  sen  + cos  cos  Come si ottiene questa relazione?

5 FORMULE TRIGONOMETRICHE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

6  P’ x y 0 A Coseno della differenza tra due angoli cos(  –  )

7  P’ P’ (cos  ; sen  ) x y 0 A

8 P x 0 y   P’ A

9 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y   P’ P P (cos  ; sen  A

10 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y   P’ P P (cos  ; sen  Quest’angolo in verde è  -  A

11 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y P’ P P (cos  ; sen   -  A

12 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y P’ P P (cos  ; sen   -  Scriviamo l’espressione della distanza P’P A

13 RIPASSO DISTANZA TRA DUE PUNTI IN UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI x y 0 A B A (x a ; y a ) B(x b ; y b ) A B = (x b – x a ) 2 + (y b –y a ) 2

14 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y P’ P P (cos  ; sen   -  Scriviamo l’espressione della distanza P’P A

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18 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y P’ P P (cos  ; sen   -  Costruiamo lo stesso angolo (  –   partendo dal punto A A

19 P P’ (cos  ; sen  ) x 0 y P’ P P (cos  ; sen   -  Costruiamo lo stesso angolo  –  partendo dal punto A A x

20 P x 0 y  -  A x K P’ P

21 P 0 y  -  A x K P’ P A (1; 0) K [cos(  –  ); sen(  –  )] La distanza AK è data da

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23 P 0 y  -  A x K P’ P PP’ = AK

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25 Coseno della somma tra due angoli cos(  +  )

26 cos(  +  ) = cos[  – (-  )] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[  – (-  )] = sen  sen(-  ) + cos  cos(-  ) e, poiché sen(-  ) = - sen  e cos(-  ) = cos    x y

27 cos(  +  ) = cos[  – (-  )] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[  – (-  )] = sen  sen(-  ) + cos  cos(-  ) e, poiché sen(-  ) = - sen  e cos(-  ) = cos    x y

28 cos(  +  ) = cos[  – (-  )] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[  – (-  )] = sen  sen(-  ) + cos  cos(-  ) e, poiché sen(-  ) = - sen  e cos(-  ) = cos    x y cos(  +  ) = sen  sen  + cos  cos  sen  sen  + cos  cos   quindi

29 Seno della somma tra due angoli sen(  +  )

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33 Seno della differenza tra due angoli sen(  -  )

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36 FORMULE DI DUPLICAZIONE sen 2  =  cos 2  =  cotg 2  =  tg 2  = 

37 FORMULE DI DUPLICAZIONE sen 2  =  sen      cos   sen   sen   cos  sen 2   sen   cos 

38 FORMULE DI DUPLICAZIONE cos 2  =  cos      cos   cos   sen   sen  cos 2  cos 2  sen 2 

39 FORMULE DI DUPLICAZIONE cos 2  cos 2  sen 2  Esercizio Utilizzando sen 2   sen   cos  Ricavare le formule di duplicazione per: tg2  e cotg2 

40 FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(  sen  cos  sen  cos  cos (  sen  sen  cos  cos 

41 FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(  sen  cos  sen  cos  cos (  sen  sen  cos  cos 

42 FORMULE DI ADDIZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(  sen  cos  sen  cos  cos (  sen  sen  cos  cos 

43 FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(  sen  cos  sen  cos  cos (  cos  cos  sen  sen 


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