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POLIGONI (CONVESSI) Che cosa è un poligono? Che cosa è un insieme convesso? fine.

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Presentazione sul tema: "POLIGONI (CONVESSI) Che cosa è un poligono? Che cosa è un insieme convesso? fine."— Transcript della presentazione:

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2 POLIGONI (CONVESSI) Che cosa è un poligono? Che cosa è un insieme convesso? fine

3 POLIGONI (CONVESSI) Che cosa è un insieme convesso? fine

4 CONVESSI fine NON CONVESSI

5 CONVESSI fine NON CONVESSI

6 CONVESSI fine NON CONVESSI

7 CONVESSI fine NON CONVESSI

8 CONVESSI fine NON CONVESSI

9 CONVESSI fine NON CONVESSI

10 CONVESSO fine

11 CONVESSO Un insieme X di punti del piano (dello spazio) con la seguente proprietà: se A e B sono punti qualsiasi di X il segmento AB è tutto contenuto in X fine

12 NON CONVESSO fine

13 NON CONVESSO Un insieme X di punti del piano (dello spazio) con la seguente proprietà: ci sono almeno due punti A e B di X per i quali il segmento AB non è tutto contenuto in X fine

14 Teorema L’intersezione di due insiemi convessi è un insieme convesso. Dimostrazione Ipotesi: 1) X è un insieme convesso 2) Y è un insieme convesso Tesi X  Y è un insieme convesso N. B. X  Y è l’insieme dei punti che stanno contemporaneamente in X e Y fine

15 X Y X  Y Prendiamo due punti A e B in X  Y e costruiamo il segmento AB. fine

16 X Y Prendiamo due punti A e B in X  Y e costruiamo il segmento AB. Poiché X è convesso, AB è tutto contenuto in X. Poiché Y è convesso, AB è tutto contenuto in Y. Allora AB è tutto contenuto in X  Y. A B fine

17 POLIGONI (CONVESSI) Partiamo da: ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE fine

18 Questo (modello di) foglio rappresenta il piano della geometria di Euclide

19 fine

20 piano

21 fine

22 retta

23 fine

24

25

26 Semipiano 1 Semipiano 2

27 fine Semipiano 1 Semipiano 2 I semipiani sono insiemi convessi

28 fine

29

30 angolo

31 POLIGONI (CONVESSI) ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE fine

32 POLIGONI (CONVESSI) ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE fine Gli angoli (così definiti) sono insiemi convessi (Teorema)

33 POLIGONI (CONVESSI) TRIANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE dati A, B, C, si scelgono S(A) semipiano di origine BC contenente A S(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C fine

34 POLIGONI (CONVESSI) TRIANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE dati A, B, C, si scelgono S(A) semipiano di origine BC contenente A S(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C fine I triangoli sono insiemi convessi (Teorema)

35 fine

36 triangolo

37 POLIGONI (CONVESSI) QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI A B C D sono scelti in modo che AB sono nello stesso semipiano di origine CD BC sono nello stesso semipiano di origine AD CD sono nello stesso semipiano di origine AB DA sono nello stesso semipiano di origine BC fine

38 POLIGONI (CONVESSI) QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI A B C D sono scelti in modo che AB sono nello stesso semipiano di origine CD BC sono nello stesso semipiano di origine AD CD sono nello stesso semipiano di origine AB DA sono nello stesso semipiano di origine BC fine I quadrangoli così definiti sono insiemi convessi (Teorema)

39 fine

40 convessi non convessi

41 fine convessi non convessi

42 fine convessi non convessi

43 fine convessi non convessi

44 fine convessi non convessi

45 fine convessi non convessi

46 fine convessi non convessi

47 fine convessi non convessi

48 POLIGONI (CONVESSI) PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI A B C D E sono scelti in modo che ABC sono nello stesso semip. di origine DE BCD sono nello stesso semip. di origine AE CDE sono nello stesso semip. di origine AB DEA sono nello stesso semip. di origine BC EAB sono nello stesso semip. di origine CD fine

49 POLIGONI (CONVESSI) PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE (nell’ordine) INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI A B C D E sono scelti in modo che ABC sono nello stesso semip. di origine DE BCD sono nello stesso semip. di origine AE CDE sono nello stesso semip. di origine AB DEA sono nello stesso semip. di origine BC EAB sono nello stesso semip. di origine CD fine I pentagoni così definiti sono insiemi convessi (Teorema)

50 fine convessi non convessi

51 fine convessi non convessi

52 fine convessi non convessi

53 fine convessi non convessi

54 fine convessi non convessi

55 fine convessi non convessi

56 fine convessi non convessi

57 fine convessi non convessi

58 POLIGONI (CONVESSI) DATI n VERTICI (in un dato ordine) A 1 A 2 ……….A n-1 A n diciamo che i vertici A k e A k+1 sono adiacenti (diciamo che anche A 1 e A n sono adiacenti). Per costruire un poligono convesso, considero n punti con la proprietà seguente: ogni retta che contiene due vertici adiacenti non separa gli altri vertici, cioè li lascia tutti nello stesso semipiano fine

59

60 E ripeto per tutti i vertici! fine

61 E ripeto per tutti i vertici! fine

62 E ripeto per tutti i vertici! Ho trovato 2 vertici che separano! fine

63 POLIGONI (CONVESSI) DATI n VERTICI (in un dato ordine) A 1 A 2 ……….A n-1 A n diciamo che i vertici A k e A k+1 sono adiacenti (diciamo che anche A 1 e A n sono adiacenti). Per costruire un poligono convesso, considero n punti con la proprietà seguente: ogni retta che contiene due vertici adiacenti non separa gli altri vertici, cioè li lascia tutti nello stesso semipiano fine

64 il poligono convesso A 1 A 2 ……….A n-1 A n è costituito dall’intersezione di tutti i semipiani che hanno le seguenti proprietà: 1) hanno come origine la retta per due vertici adiacenti; 2) contengono tutti gli altri vertici. fine

65 POLIGONI (CONVESSI) Lato del poligono: ogni segmento che congiunge due vertici adiacenti Diagonale del poligono: ogni segmento che congiunge due vertici non adiacenti Le rette per i lati non separano i vertici. Le rette per le diagonali separano i vertici. fine

66 Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi Triangoli fine

67 Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi Triangoli equilatero fine

68 Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi Quadrangoli Trapezi: quadrangoli con (almeno) due lati paralleli; Parallelogrammi: Quadrangoli con due coppie di lati paralleli. Rettangoli: Parallelogrammi con 4 angoli congruenti (retti) Rombi: Parallelogrammi con 4 lati congruenti Quadrati: Parallelogrammi con 4 angoli congruenti (retti) e 4 lati congruenti fine

69 Classificazione di alcuni insiemi di poligoni convessi trapezi rettangolirombiquadrati parallelogrammi Quadrangoli fine


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