La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

A ssi cartesiani e rette ad essi parallele R etta passante per l'origine E quazione della retta in forma esplicita E quazione della retta in forma implicita.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "A ssi cartesiani e rette ad essi parallele R etta passante per l'origine E quazione della retta in forma esplicita E quazione della retta in forma implicita."— Transcript della presentazione:

1

2 A ssi cartesiani e rette ad essi parallele R etta passante per l'origine E quazione della retta in forma esplicita E quazione della retta in forma implicita R ette parallele – Rette perpendicolari F asci di rette R etta passante per due punti

3 ASSI CARTESIANI O X Y Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa va- riabile e ordinata nulla. Quindi possiamo concludere che l'equazione del- l'asse delle ascisse è: y = 0 Tutti e soli i punti che appartengono all'asse delle ascisse hanno la caratteristica di avere ascissa va- riabile e ordinata nulla. Quindi possiamo concludere che l'equazione del- l'asse delle ascisse è: y = 0 Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla. L'equazione dell'asse delle ordinate allora è: x = 0 Analogamente tutti e soli i punti dell'asse delle ordinate hanno ordinata variabile e ascissa nulla. L'equazione dell'asse delle ordinate allora è: x =

4 Si definisce luogo geometrico del piano l'insieme di tutti e soli i punti del piano che soddisfano una determinata proprietà. L'asse delle x è, ad es., il luogo geometrico dei punti aventi tutti ordinata nulla; l'asse delle y il luogo geometrico dei punti aventi tutti ascissa nulla. Consideriamo l'asse di un segmento. Esso è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso. A M B Ogni punto dell'asse ha uguale distanza dagli estremi A e B del segmento. Ricordiamo che l'asse di un segmento si definisce come la retta ad esso perpendicolare, passante per il suo punto medio.

5 RETTE PARALLELE AGLI ASSI y k O x I punti di una retta parallela all'asse x hanno ascissa variabile, ma ordinata costante. Se indichiamo con k tale costante, l'equazione di tale retta è: y = k Mentre i punti di una retta parallela al- l'asse y hanno ordinata variabile ma ascissa costante, che possiamo indi- care con h. Pertanto la sua equazione è: x = h y O x h

6 RETTA PER L'ORIGINE Consideriamo una retta r passante per l'origine e distinta dagli assi cartesiani y r x O P Q R P' Q' R' Prendiamo su r alcuni punti P, Q, R e di essi con- sideriamo le proiezioni ortogonali sull'asse x, che indichiamo con P', Q', R'. Si vengono a determi- nare i triangoli rettangoli OPP', OQQ', ORR '. Essi sono simili perché hanno gli angoli ordinata- mente uguali, e perciò possiamo scrivere: R' R = Q' Q = P' P O R' O Q' O P' Ma R' R, Q' Q e P' P sono le ordinate di R, Q, P, mentre O R', O Q' e O P' le rispettive ascisse. Indicate quindi con y 1, y 2, y 3 e x 1, x 2, x 3 tali coordinate, possiamo scri- vere: y 1 = y 2 = y 3 = m. Ma, data l'arbitrarietà di punti P, Q, R scelti, si può di- x 1 x 2 x 3 re che in generale è: y = m x Cioè, il rapporto tra le ordinate e le ascisse di tutti i punti della retta è costante.

7 L'equazione di una retta generica passante per l'origine degli assi e non parallela ad essi è: y = m x, relazione che esprime la diretta proporzionalità fra le grandez- ze x e y. ( Ovvero se aumenta il valore di x, aumenta anche quello di y; se diminui- sce il valore di x, diminuisce anche il valore di y secondo la costante m ). Alla costante m si dà il nome di coefficiente angolare della retta r. E' così chia- mato perché esso dipende dall'angolo che la retta forma col semiasse positivo delle x. Vediamo infatti come varia la retta al variare di m. m=1/6 m=1/3 m=1 m=2 m=10 m=-10 m=-2 m=-1 m=-1/3 Possiamo notare che, quando m è positivo, la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle x. Mentre se m è negativo, l'angolo è ottuso.

8 Possiamo osservare che, quanto più grande è il valore assoluto di m, tanto maggiore è l'angolo che la retta forma con l'asse x. m = 2 m = 10 m =-10 m = -2 Quando l'angolo è di 90° la retta coincide con l'asse y. Sono particolarmente importanti due rette per l'origine: la bisettrice del primo e terzo quadrante che ha equazione y = x (si ottiene per m = 1) e la bisettrice del secondo e quarto quadrante avente equazione y = - x ( si ottiene per m = - 1). m = 1 m = -1

9 Dall'equazione y = m x possiamo dedurre l'equazione dell'as- se x, ossia y = 0, che si ottiene per m = 0. Invece, l'equazione dell'asse y, x = 0, non possiamo ottenerla per nessun valore di m. Infatti, m = y/x non ha senso per x = 0. Osserviamo ora che, se x = 1, y = m. Quindi, il coefficiente an- golare di una retta per l'origine è l'ordinata del punto della ret- ta che ha ascissa 1. Dalla figura possiamo notare che se l'angolo acuto tende afigura 90°, l'ordinata del punto A di ascissa 1, ossia il coefficiente angolare m, tende a valori sempre più grandi, positivi o ne- gativi. Cioè, come si dice, tende ad infinito. Si suole dire perciò che l'equazione dell'asse y si ottiene per m =

10 A(1;m) Osserviamo che se l'angolo acuto tende a 90° (per difetto, cioè per valori minori di 90 o ), il coefficiente angolare m assume valori positivi sempre più grandi, cioè, come si suol dire, tende a +. Se l'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x è ottuso e tende a 90° (per eccesso, cioè per valori maggiori di 90°), il coefficiente angolare assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, cioè, come si dice, tende a meno infinito ( vedi figura successiva ).figura successiva

11 A(1;m) A(1:m) A(1;m) Quindi l'equazione dell'asse y, x = 0 possiamo ottenerla quando la retta passante per l'origine forma un angolo di 90° con l'asse x, ossia per m = Osserviamo come l'ordinata m del punto A (quindi il coefficiente angolare della retta) assume valori negativi sempre più piccoli (ma in valore assoluto sempre più grandi).

12 EQUAZIONE ESPLICITA DI UNA RETTA GENERICA Consideriamo una retta non parallela agli assi cartesiani e non passante per l'origine. Possiamo pensare a tale retta come alla corrispondente di una retta per l'origine nella traslazione di vettore v ( 0 ; q ). Poiché le equazioni di tale traslazione sono: x ' = x y ' = y + q cioè x = x ' y = y ' – q, l'equazione della retta generica possiamo otte- nerla sostituendo ad x x e ad y y – q nell'equazione y = m x. Si ottiene così l'equazione: y q v (0 ; q ) O x y = m x y = m x + q

13 Pertanto si può concludere che y = m x + q è l'equazione esplicita di una generica retta del piano non parallela all’asse y. La retta parallela all’asse x si ottiene per m = 0, ma per nessun valore reale di m si può ottenere la retta parallela all’asse y.retta parallela all’asse y. Vediamo qual è il si gnificato di q. Il termine noto q è detto ''ordinata all'origine'', in quanto è l'ordinata del punto Q d'intersezione della retta con l'asse y. Se q = 0, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine. y ( 0 ; q ) Q O x q = ordinata all'origine

14 disegno I triangoli sono simili Già sappiamo che per una retta passante per l’origine il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa di un suo qualsiasi punto è costante e uguale a m, costante ed uguale a m sarà quindi anche il rapporto dei cateti del triangolo2 perché simile al triangolo1. I cateti del triangolo2 li otteniamo spostandoci oriz- zontalmente dal punto (0;q) di tante unità quante indicate dall’incremento della x e verticalmente di tante unità quante indicate dall’incremento della y. 2 1 m = y x = y x incremento y incremento x y x P P P Indicando con x 2 e y 2 le coordinate di P in una certa posizione e con x 1 e y 1 le coordinate di P in una posizione precedente, possiamo scrivere: y 2 – y 1 x 2 – x 1 m = incremento y incremento x Cioè, il coefficiente angolare di una retta si può ottenere come rapporto fra la differenza delle ordinate e delle ascisse di due punti qualsiasi della retta. Significato di m quando la retta non passa per l’origine

15 Se m > 0 la retta è crescente Se m < 0 la retta è decrescente Se m = 0 la retta è parallela all’asse delle ascisse

16 EQUAZIONE IMPLICITA DI UNA RETTA GENERICA Un'equazione lineare in due variabili x e y assume sempre la forma: a x + b y + c = 0 Se esplicitiamo tale equazione rispetto alla variabile y, supponendo b = 0, si ha: y a x c b b Tale equazione, indicando con m la costante – a / b e con q la costante – c / b, diventa del tipo: y = m x + q ( equazione di una retta generica ). Da qui si deduce che l'equazione a x + b y + c = 0 rappresenta l'equazione di una retta generica del piano espressa però in forma implicita. In tale equazione il coefficiente angolare è : m = - a / b e l’ordinata all'origine: q = - c / b

17 Nell'equazione a x + b y + c = 0 se è c = 0 con a e b diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine. Se è b = 0 con a e c diversi da zero, si ottiene l'equazione di una retta paralle- la all'asse delle ordinate, dato che assume la forma: a x + c = 0, ossia: x = - c / a, che è del tipo x = h. Se è a = 0, con b e c diversi da zero, si ha: b y + c = 0, ossia: y = - c / b, equazio- del tipo y = k. c = 0 b = 0 a = 0 Questa equazione, in forma implicita, è anche detta generale in quanto comprende tutte le rette possibili, anche quelle parallele all’asse delle ordinate, che non sono esprimibili in forma esplicita.non sono esprimibili in forma esplicita.

18 Se è a = 0 e c = 0, si ottiene by = 0, ossia y = 0, cioè l’equazione dell’asse x. y O x Se è b = 0 e c = 0, si ottiene ax = 0, ossia x = 0, cioè l’equazione dell’asse y. y O x

19 Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Assegnate le rette di equazione: y = mx + q e y = m’x + q’, deve essere: m = m’ y = mx + q y = mx + q’ Esempio: y = 3x + 1 y = 3x + 2 Due rette perpendicolari hanno il coefficiente angolare l’uno l’antireciproco dell’altro, cioè: m = -1/ m’ y = mx + q Esempio: y = 5x +1 y = (-1/5)x +3 y = (-1/m)x + q’

20 L’equazione del fascio di rette è: y – y 0 = m( x – x 0 ) e x = x 0 oppure: a( x – x 0 ) + b( y – y 0 ) = 0 dove P( x 0 ;y 0 ) è il centro del fascio

21 Note le coordinate di due punti di una retta P(x 1 ; y 1 ) e Q(x 2 ;y 2 ) con diversa ascissa, possiamo trovare il coefficiente angolare della retta (come da diapositiva 13)diapositiva 13 m = y 2 – y 1 x 2 – x 1 Scegliendo ad esempio P come punto base, il fascio di rette di centro P ha equazione y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 m (x - x 1 ) che nel caso anche y = y 1 possiamo scrivere nella forma: y – y 1 y 2 – y 1 = x – x 1 x 2 – x 1 Se i punti P e Q hanno stessa ascissa x 1 = x 2, l’equazione è: x = h, dove si è indicato con h il valore dell’ascissa comune. Se i Punti P e Q hanno stessa ordinata che indichiamo con k, l’equazione è: y = k. EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI


Scaricare ppt "A ssi cartesiani e rette ad essi parallele R etta passante per l'origine E quazione della retta in forma esplicita E quazione della retta in forma implicita."

Presentazioni simili


Annunci Google