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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La quantità di moto La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto.

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1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La quantità di moto La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale Ricordando lespressione della velocità del centro di massa La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa –Centro di massa: massa pari alla massa totale del sistema velocità uguale alla velocità del centro di massa Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle.

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale alla risultante delle sole forze esterne È equivalente al teorema del centro di massa

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La conservazione della quantità di moto Se la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso. Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva. La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica.

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applic azione Unastronave di massa totale M staviaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità v i =2100km/h rispetto al sole. Espelle uno stadio posteriore di massa 0.20M alla velocità relativa u=500km/h rispetto allastronave, diretta lungo lasse x. Quanto diventa la velocità dellastronave rispetto al sole? Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole. Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle. La quantità di moto si conserva. La quantità di moto iniziale è diretta lungo lasse x La quantità di moto finale dello stadio posteriore è anchessa diretta lungo lasse x Anche la quantità di moto del resto dellastronave sarà diretta lungo lasse x Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La conservazione parziale della quantità di moto La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla –È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli –Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Dai moti relativi Applic azione Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale. Allinizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra con velocità v o. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se luomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità v rel rispetto al vagone? Si assuma v o =1m/s, v rel =5m/s, m=70kg, M=1000kg. Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale). In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dellunomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale). Però le forze sono tutte verticali Si conserva la quantità di moto orizzontale, in particolare quella diretta secondo i binari. x v u velocità delluomo rispetto ai binari

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia cinetica di un sistema di punto materiali Come già visto nel caso della quantità di moto: Lenergia di un sistema di punti materiali è la somma dellenergia cinetica dei singoli punti materiali.

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il sistema di riferimento del centro di massa Il sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento avente –Origine nel Centro di Massa CM –Assi paralleli a quelli del sistema inerziale in cui si studia il moto del sistema.

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il I teorema di Konig Lenergia cinetica di un sistema di particelle è uguale allenergia cinetica del centro di massa più lenergia cinetica del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM. Dimostrazione:

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il I teorema di Konig Per quanto riguarda lenergia cinetica, il CM non rappresenta completamente il sistema di particelle, occorre aggiungere lenergia cinetica del moto relativo al centro di massa.

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Estensione del teorema delle forze vive ai sistemi di punti materiali Per ogni particella del sistema

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il lavoro delle forze interne Abbiamo già osservato che le forze interne esistono a coppie. Consideriamo le particelle i e j Facciamo vedere che il lavoro complessivo fatto delle forze interne tra le particelle i e j è nullo se la distanza tra le due particelle resta costante! Spostamenti uguali i ferma, j moto circolare attorno a i

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il lavoro delle forze interne Il lavoro complessivo fatto delle forze interne di un sistema di particelle è nullo se le distanze tra le particelle restano costanti! Per valutare il lavoro fatto dalle forze interno consideriamo la particella i ferma e la particella j che si sposta facendo variare la distanza tra le due particella

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Estensione della conservazione dellenergia ai sistemi di punti materiali Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali U i è la somma delle energie potenziali della particella i –In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i Poiché per ogni particella vale la conservazione dellenergia, allora essa vale anche per tutto il sistema. Se tutte le forze sono conservative, lenergia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto. Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: W nc è il lavoro di tutte le forze non conservative.

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Lenergia potenziale della forza peso Lenergia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per laccelerazione di gravità per la quota del CM. Per ciascuna particella:

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applic azione Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso. Posizione iniziale x Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo y Posizione finale

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Posizione finale Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto allasse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto allasse di rotazione) x Applic azione Lelemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa m s =0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa m d =1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per lestremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Posizione iniziale y

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d 1 =.22m x Applic azione Lelemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa m s =0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa m d =1kg di 20cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per lestremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Posizione iniziale y Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 x Applic azione Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dallosservazione che lenergia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle: Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con laltro metodo. y

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali Per ciascuna particella Il momento della quantità di moto o momento angolare dellintero sistema rispetto al polo O, è dato da:

21 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Cambiamento di polo Naturalmente possimo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente lorigine!

22 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa Se O coincide con il centro di massa CM Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig) Il CM non rappresenta del tutto il sistema Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.

23 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità. Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia. Valutiamo la rapidità con cui varia.

24 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 II equazione cardinale della dinamica dei sistemi Il momento risultante delle forze interne è nullo: Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari. O = origine del sist. Rif O = punto fisso O = CM (SRI o SCM) O punto mobile ma con velocità parallela a v CM

25 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Possibile uso della seconda equazione cardinale Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda. Applichiamo allestremo libero della corda una forza F. La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare lintensità della reazione vincolare. La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno allasse passante per il centro di massa.


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