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Addendum Raggio classico dellelettrone. n Detto anche raggio di Compton, viene fuori dallimporre che lenergia potenziale di un elettrone, considerato.

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1 Addendum Raggio classico dellelettrone

2 n Detto anche raggio di Compton, viene fuori dallimporre che lenergia potenziale di un elettrone, considerato o come un guscio o come una sfera uniformemente carica, sia pari allenergia relativistica dovuta alla massa dellelettrone E=mc 2. In pratica equivale ad ipotizzare che la sua massa sia dovuta allenergia elettrostatica n Vale n E ancora usato in teorie che trattano lelettrone classicamente, sebbene il modello standard consideri attualmente lelettrone puntiforme

3 n Per calcolarlo consideriamo che lenergia potenziale per assemblare un guscio sferico uniformemente carico è n Mentre per assemblare una sfera uniformemente carica occorre unenergia n Se si ignora il fattore 1/2 ovvero il fattore 3/5 nelle formule di sopra e si uguaglia ad mc 2 troviamo il raggio classico

4 n Ma come vengono fuori quelle energie potenziali? n Per il guscio sferico la cosa è immediata: abbiamo già detto che un guscio sferico uniformemente carico è indistinguibile da un conduttore sferico con densità superficiale di carica uniforme: la simmetria delle cariche è tale da produrre campo zero allinterno, come in un conduttore n Quindi lenergia potenziale è quella che occorre per caricare un condensatore sferico, dove avevamo visto (lezione 5) Ed ecco ottenuta la prima relazione (Q è chiaramente e, carica dellelettrone)

5 n Per la sfera uniformemente carica, ripetiamo il procedimento di assemblaggio per ogni carica infinitesima n Ogni volta che aggiungiamo un dq dobbiamo immaginare di lavorare contro il campo prodotto dalla carica precedente, e di spalmare la nuova carica su un guscio sferico da r ad r+dr, costruendo la sfera per pellicole successive n Se definiamo q(r) la carica della sfera quando questa ha raggio r, il lavoro per aggiungere un dq sarà, ricordando che il potenziale di una distribuzione di carica sferica di raggio r FUORI DALLA SFERA è indistinguibile da quello che si avrebbe se tutta la carica fosse al centro della sfera

6 Se la sfera è uniformemente carica nel volume, avrà una densità volumetrica di carica tale che n Così lelemento dq calcolato in funzione di dr (valutando dq/dr) n Che sostituito nellespressione di dW (eliminiamo anche q(r)) ci restituisce n Volendo costruire una sfera di raggio R non resta che integrare tra 0 ed R

7 n Considerando che la carica totale Q è a questo punto Ricaviamo e sostituiamo ottenendo n Cioè la relazione cercata

8 n Tuttavia nella lezione, abbiamo anche ricavato, sfruttando un procedimento di costruzione analogo ma generale, che n Verifichiamo che usando questa avremmo ottenuto lo stesso risultato n Nella lezione 3 (intorno alla slide 11) avevamo di fatto calcolato il campo di una distribuzione sferica di carica uniforme, ottenendo che

9 n Allora: eleviamo tali campi al quadrato, sostituiamo nella nostra relazione ed integriamo in tutto lo spazio Per effettuare tale integrazione consideriamo un guscio sferico di superficie 4 r 2 e di raggio dr, cioè n quindi


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