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Indice 1.Regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e attualizzazione 2.Cosa sono i derivati 3.Esempio di futures e opzioni 4.Equazioni di Black,

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2 Indice 1.Regimi di capitalizzazione dei tassi di interesse e attualizzazione 2.Cosa sono i derivati 3.Esempio di futures e opzioni 4.Equazioni di Black, Scholes e Merton 5.Alcune complicazioni dei derivati reali: es. regole di day count 6.Panoramica sulle procedure realizzate da SiGrade

3 Regimi di capitalizzazione N : capitale nozionale (es ) r : tasso di interesse annuo (es. 2%) CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA n VOLTE CAPITALIZZAZIONE CONTINUA Dopo 1 anno: Dopo T anni: Ricapitalizzando n volte allanno: Facendo tendere n allinfinito:

4 Ogni importo è dipendente dal tempo: Se oggi ho una quantità X di denaro, tra T anni essa varrà Attualizzazione Se di un contratto si conosce con esattezza limporto pagato alla scadenza allora per valutarlo è sufficiente attualizzare limporto. Il tasso r da utilizzare dipende principalmente da: Andamento economico globale Durata T del contratto Rischio di insolvenza della controparte Se un contratto scade tra T anni e mi fa incassare X, allora oggi esso vale

5 Contratti Derivati Un derivato è un contratto finanziario il cui valore X al momento della scadenza t dipende dal valore in t di una certa attività finanziaria S, detta sottostante: Derivati su tassi di interesse: il sottostante S è un tasso di interesse (Es. Euribor 3 mesi) Derivati azionari: il sottostante S è unazione (Es. azioni FIAT) o unindice azionario (Es. indice SPMIB) Derivati su commodity: il sottostante S è una materia prima (Es. acciaio, petrolio, oro, energia elettrica, ecc) Derivati atmosferici: il sottostante S è rappresentato da una variabile atmosferica (Es. gradi di riscaldamento giorno, gradi di raffreddamento, ecc) Le tipologie di derivati più note e diffuse sono:

6 Esempio 1: Future I Futures sono stati uno dei primi derivati ad essere stipulati (~1860). eseguire lo scambio ad una data t futura. fissare oggi il prezzo K a cui verrà acquistato il prodotto. sostituire il prodotto con il suo prezzo corrente Il valore del future alla scadenza sarà: Invece di acquistare oggi un certo prodotto (es. 10 tonnellate di grano) ci si accorda per:

7 : lopzione sarà esercitata, comprando il sottostante al prezzo K ed eventualmente rivendendolo sul mercato al prezzo S t. : lopzione sarà lasciata decadere, conviene acquistare il sottostante al prezzo di mercato S t. Esempio 2: Opzioni europee Unopzione è un contratto finanziario che dà il diritto - ma NON lobbligo - al portatore di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una certa quantità dellattività finanziaria sottostante ad un determinato prezzo K, in una precisa data futura t. Il valore della call alla scadenza sarà: Alla scadenza di unopzione call, due casi possibili:

8 Assunzione di Lognormalità Ipotesi largamente diffusa nellambito del pricing di derivati è lassunzione di lognormalità per lattività sottostante S: = tasso di rendimento atteso di S = volatilità. = processo di Wiener. E un processo stocastico a tempo continuo e con incrementi indipendenti usato per modellizzare il moto browniano e diversi fenomeni casuali osservati nellambito della fisica e della finanza.

9 Lemma di Itô Se x segue un processo di Itô, cioè vale ed f è una funzione di x e t, allora dove z è sempre lo stesso processo di Wiener.

10 Applicando il lemma con si ottiene che la variazione di ha legge normale. Equazione di Black, Scholes e Merton Per lipotesi di lognormalità, S segue un processo di Itô. Applicando il lemma con f generica, con alcuni passaggi, si ottiene la famosa equazione di Black, Scholes e Merton: è il valore al tempo t di un derivato è soluzione dellequazione di B-S-M. Le condizioni al contorno sono date dal valore pagato dal derivato alla scadenza t fin e stabilito dal contratto:.

11 Storia dellequazione B-S-M Lequazione di Black, Scholes e Merton fu: Pubblicata nel 1973 da F.Black e M.Sholes. Risolta grazie ad una trasformazione che la riporta alla heat equation (equazione di diffusione del calore, già risolta dalla Fisica). R.Merton il primo ad espanderne i risultati. Nel 1997 Merton e Scholes vincono il premio Nobel per leconomia (Black deceduto nel 1995). Il modello originale è stato successivamente espanso per coprire una vastissima gamma di opzioni.

12 Valore atteso di unopzione La soluzione dellequazione (valore atteso o Fair Value), nel caso delle opzioni è dove: N(x) è la distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1

13 Regole di day count T è il tempo tra la data di valutazione t 0 e la data di scadenza t fin misurato in anni. Quindi: Attenzione al numero di giorni di ogni mese. E se un anno è bisestile il denominatore è 365 o 366? Alcuni contratti invece adottano la convenzione per cui tutti i mesi hanno 30 giorni e lanno 360. Altre volte vanno considerati solo i giorni lavorativi, dunque Ma giorni lavorativi secondo il calendario civile o commerciale? Inoltre ogni nazione considera festività diverse.

14 SI GRADE (ex Sinfo Pragma) Oggi oltre 100 persone SERVICE LINE TITOLI SERVICE LINE DERIVATI SERVICE LINE ALTRI SERVIZI BANCARI SERVICE LINE RICERCA E SVILUPPO DERIVATI LISTED DERIVATI OTC FAIR VALUE FRAMEWORK CONSULENZA E PROGETTAZIONE SOFTWARE RICERCA MODELLI MATEMATICI

15 Bibliografia John C. Hull, Opzioni, futures e altri derivati, ed. Il Sole 24 Ore, 2003 M. Di Franco, Francesco Polimeni, Massimo Proietti, Opzioni e titoli strutturati, ed. Il Sole 24 Ore, 2002 KPMG, Guida agli strumenti derivati, ed. Edibank Bancaria Editrice, 2001 Riccardo Cesari, Elisa Susini, Introduzione alla finanza matematica, ed. McGraw- Hill, 2005 Alexander Lipton, Mathematical methods for foreign exchange, ed. World Scientific Publishing, 2001 Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Interest rate models - Theory and practice, ed.Springer-Verlag, 2001 Espen Gaarder Haug, The complete guide to option pricing formulas, ed. McGraw- Hill,1998 Mark Joshi, The concepts and practice of mathematical finance, ed. Cambridge University Press, 2003

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