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GLI INSIEMI Presentazione a cura della Prof.ssa anNUNZIAta DI BIASE.

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Presentazione sul tema: "GLI INSIEMI Presentazione a cura della Prof.ssa anNUNZIAta DI BIASE."— Transcript della presentazione:

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2 GLI INSIEMI Presentazione a cura della Prof.ssa anNUNZIAta DI BIASE

3 Concetto dinsieme Rappresentazione degli insiemi Insiemi uguali, diversi, disgiunti, finiti ed infiniti Insieme vuoto, unitario e coppia Sottoinsiemi ed insieme delle parti Operazioni con gli insiemi Prova di verifica

4 Concetto dinsieme La parola insieme è sinonimo di aggregato, collezione, raccolta…di oggetti. Il concetto matematico di insieme è un concetto primitivo ossia non definibile. Costituisce un insieme, dal punto di vista matematico, ogni raggruppamento di oggetti, persone, simboli, numeri o cose (che vengono detti elementi) aventi una proprietà caratteristica comune. In un insieme non ha importanza né la natura degli elementi, né che essi siano dello stesso tipo e né lordine in cui essi sono disposti, ma quello che conta è che dato un insieme, si possa con assoluta precisione dire se un dato oggetto appartiene, oppure no, ad esso e che i suoi elementi siano tutti distinti tra loro. Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dellalfabeto latino: A, B, C,…gli elementi con le lettere minuscole dello stesso alfabeto: a, b, c,…

5 Non sono insiemi i raggruppamenti individuati dalle seguenti proposizioni: i ragazzi simpatici della tua classe; le città più belle dItalia; i fiumi più lunghi dEuropa; perché i concetti di: bellezza, bruttezza, bontà, ecc. sono concetti soggettivi e possono dare adito ad equivoci o incertezze. Sono insiemi invece i raggruppamenti individuati dalle seguenti frasi: le città della Campania con più di 10000 abitanti; i rettangoli che hanno la base lunga 25 cm; il computer in figura, i cui elementi sono:

6 Elementi Unità centrale di elaborazione monitor mouse cd-rom

7 RAPPRESENTAZIONE DEGLI INSIEMI Gli insiemi si possono indicare nei seguenti modi: tabulare (o per elencazione), caratteristica, diagramma di Eulero-Venn. Forma Tabulare: allinterno di una coppia di parentesi graffe, si elencano TUTTI gli elementi che appartengono allinsieme, separandoli con una virgola. Es: linsieme delle note musicali A = do, re, mi, fa, sol, la, si. Es: linsieme delle lettere della parola mamma; B = m, a.

8 Forma Caratteristica: allinterno di una coppia di parentesi graffe, si scrive lelemento generico dellinsieme e la proprietà caratteristica che li accomuna. A = x / x è una nota musicale ; B = x / x è una lettera della parola mamma. Rappresentazione Eulero-Venn: Un insieme può anche essere rappresentato in modo grafico, racchiudendo i suoi elementi allinterno di una linea chiusa non intrecciata. Gli elementi dellinsieme vengono evidenziati con punti interni alla linea, gli elementi che non appartengono allinsieme con punti esterni. A B do re mi fa sol la si m a

9 Insiemi uguali, diversi,disgiunti, finiti ed infiniti Due insiemi si dicono: uguali quando sono formati dagli stessi elementi; es: A = m, a ; B = a, m e si scrive A = B, diversi quando non tutti gli elementi sono uguali; es: A = m, a ; B = m, b ; A = B, disgiunti quando nessun elemento di A appartiene a B; es: A = m, a ; B = c, d. Un insieme si dice: finito quando si possono elencare tutti gli elementi; es: linsieme dei fogli di un quaderno, infinito in caso contrario; es: gli insiemi numerici: N, Q a, R a, Z, Q, R.

10 Insieme vuoto, unitario e coppia Un insieme si dice VUOTO quando non contiene elementi e si indica con il simbolo: oppure. Es: linsieme dei numeri pari che hanno 5 come ultima cifra; A = Un insieme si dice UNITARIO quando contiene solo un elemento. Es: linsieme dei numeri interi pari compresi tra 3 e 5; A = 4. Si chiama COPPIA un insieme formato da due elementi distinti. Es: linsieme formato dalle lettere della parola mamma; A = m, a. Es: linsieme formato dai due sportivi in figura.

11 Dati due insiemi A = 2, 4, 6, 8, 10 e B = 4, 8, si dice che B è un sottoinsieme di A se TUTTI gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A. Se invece B = 4, 9 si dice che B non è sottoinsieme di A, perché non tutti i suoi elementi appartengono ad A, infatti 4 appartiene ad A, ma 9 no. Si dice anche che B non è incluso in A. A A B B B incluso in A B non incluso in A Linsieme vuoto può essere considerato sottoinsieme di qualunque altro insieme. Ogni insieme A ha almeno due sottoinsiemi: linsieme A stesso e linsieme vuoto; tali insiemi si dicono sottoinsiemi impropri di A. Qualunque altro sottoinsieme che non sia improprio si dice proprio. SOTTOINSIEMI 610 2 4 8 6 8 2 10 4 9

12 Insieme delle parti Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti, e si indica con P (A), linsieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A. Il numero degli elementi dellinsieme delle parti di A, dipende dal numero degli elementi di A. Se A ha n elementi, P (A) ne ha 2 n. Sia A =. Poiché A non contiene elementi, lunico suo sottoinsieme è linsieme vuoto stesso, infatti 2 0 = 1 e P (A) =. Sia A linsieme delle consonanti della parola mamma; poiché A = m, i soli sottoinsiemi che si possono formare sono i due insiemi impropri e A stesso, infatti 2 1 = 2 e P (A) =, A. Sia A linsieme delle lettere della parola mamma; poiché A = m, a i sottoinsiemi che si possono formare sono quattro: due impropri e due propri, infatti 2 2 = 4, e P (A) =, A, m, a.

13 Sia A linsieme dei numeri interi pari compresi tra uno e sette; poiché A = 2, 4, 6 i sottoinsiemi che si possono formare sono otto: due impropri e sei propri, infatti: 2 3 = 8 e P (A) =, A, 2, 4, 6, 2, 4, 2, 6, 4, 6. P (A) E così via. 2 4 A 6 2 4 6

14 Operazioni fra insiemi Le OPERAZIONI tra due o più insiemi sono: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, prodotto cartesiano. Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice loro unione linsieme D i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è lunione di A e B si scrive: D = AUB = 2, 3, 4, 5. Lunione gode della proprietà commutativa, perché invertendo lordine degli insiemi il risultato non cambia. A B D 2 3 4 3 5 2 3 4 5

15 Dati due A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice loro intersezione linsieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è lintersezione di A e B si scrive: C = A n B = 3. Se i due insiemi sono disgiunti lintersezione è uguale al vuoto. Lintersezione gode della proprietà commutativa. A C B 2 4 3 5

16 Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice insieme differenza linsieme degli elementi di A che non appartengono a B e si scrive A – B = 2, 4 ; invertendo gli insiemi si ottiene B – A = 5, da ciò si può dedurre che la differenza NON gode della proprietà commutativa, perché i risultati ottenuti sono diversi. A B C = A – B D = B – A 2 4 3 5

17 Dati due insiemi A = 2, 3, 4 e B = 3, 5, si dice differenza simmetrica linsieme degli elementi di A e di B esclusi gli elementi comuni e si scrive: A B = 2, 4, 5. La differenza simmetrica gode della proprietà commutativa. A A B B 2 3 4 3 5 24 524 5

18 Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A x B linsieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene allinsieme A e il secondo allinsieme B. Es: se A = 2, 3, 4 e B = 3, 4 allora A x B = (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 3), (4; 4) ; B x A = (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 2), (4; 3), (4; 4). Esso NON gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano può essere rappresentato nei seguenti modi: diagramma cartesiano diagramma a frecce tabella a doppia entrata diagramma ad albero

19 diagramma cartesiano A x B B 4 ( 2 ; 4 ) ( 3 ; 4 ) ( 4 ; 4 ) 3 ( 2 ; 3 ) ( 3 ; 3 ) (4 ; 3 ) 2 3 4 A

20 diagramma sagittale ( o a frecce ) A x B 2 3 4 3 4

21 tabella a doppia entrata A x B B 3 4 A 2 ( 2; 3) ( 2; 4) 3 ( 3; 3) (3; 4) 4 (4; 3) (4; 4)

22 diagramma ad albero A x B ( 2; 3) 2 (2; 4) (3; 3) 3 (3; 4) (4; 3) 4 (4; 4)

23 PROVA DI VERIFICA Ora prova tu: prendi penna e foglio e risolvi i seguenti esercizi. Riconosci quale delle seguenti frasi individuano un insieme e rappresentalo nel modo che ritieni più opportuno: il lago più piccolo dItalia; i triangoli; i punti cardinali; i libri di avventure più avvincenti; i libri della biblioteca; i tuoi amici più cari; i poligoni che si disegnano più facilmente; i mesi dellanno.

24 Utilizzando le frecce associa i seguenti simboli alle loro descrizioni : intersezione diff. simmetrica inclusione unione C U n

25 E dato il diagramma di Venn rappresentato in figura. A D Di quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F): V F V F B è sottoinsieme di A A e D sono disgiunti D è sottoinsieme di A B e D sono disgiunti C è sottoinsieme di B B e C sono disgiunti B C

26 Osserva le seguenti figure e per ognuna determina gli insiemi: A; B; A U B; A n B; A – B; B – A; A B; fig.1 E fig.2 F 5 A B 6 1212 3 4 5 B 8 6 4 A 3 1 2

27 Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere (V) e quali false (F): V F 1. A u B = B u A 2. A – B = B – A 3. A n B = B n A 4. A B = B A 5. A x B = B x A

28 La presentazione è terminata.


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