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Tartaglia Lavoro a più mani … più mani. Dino Liberatore (Napoli) Giovanna Maria Melis (Sassari) Ivana Niccolai (Genova) Giorgio Pietrocola (Roma)

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Presentazione sul tema: "Tartaglia Lavoro a più mani … più mani. Dino Liberatore (Napoli) Giovanna Maria Melis (Sassari) Ivana Niccolai (Genova) Giorgio Pietrocola (Roma)"— Transcript della presentazione:

1 Tartaglia Lavoro a più mani … più mani

2 Dino Liberatore (Napoli) Giovanna Maria Melis (Sassari) Ivana Niccolai (Genova) Giorgio Pietrocola (Roma)

3 Il triangolo era conosciuto da Omar Khayyam ( ), da Niccolò Tartaglia, da Blaise Pascal e altri, e era già stato studiato dal matematico cinese Chia Hsien, nel 1050 circa. Il triangolo fece la sua apparizione in Europa nel 1527, in un libro di aritmetica di Apianus. Immagini da internet Secondo alcuni, l'inventore era il cinese Ju-Hsieh. Mgio Melis

4 Schema per costruire il Triangolo All inizio e alla fine di ogni riga c è sempre 1 Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 – 1 Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numeri ( es. 1+1=2 ); 1+2= 3 2+1= 3 1+3=4 3+3=6 3+1= A cura di Mgio Melis

5 Il triangolo presenta una simmetria assiale. La simmetria nel colore è perfetta E evidenziata la proprietà commutativa dell addizione 1+3= 4 3+1= Mgio Melis

6 Il momento dellesplorazione … … Il triangolo aritmetico è ricco di modelli. Scopriamone alcuni … Il momento dellesplorazione … … Il triangolo aritmetico è ricco di modelli. Scopriamone alcuni … Sequenza dei numeri naturali Multipli di 2 Numeri dispari Numeri quadrati Numeri di Fibonacci Numeri tetraedrici Numeri esagonali Potenze di 2 Numeri primi e multipli Il fiore: un altro modello Numeri triangolari Tartaglia e Sierpinski Mgio Melis Potenze di 11

7 Se costruiamo le potenze successive di 11, troviamo che: (11) 0 = 1 1 (11) 1 = (11) 2 = (11) 3 = (11) 4 = Sommando i prodotti parziali della moltiplicazione (con moltiplicatore 11), si eseguono le stesse addizioni che occorrono per costruire le righe del triangolo di Tartaglia. Nel caso di (11) 5, questo è impedito dal fatto che nella somma dei prodotti parziali va tenuto conto del riporto; se, però, scriviamo le potenze di 11 in forma polinomiale, si ritrovano sempre i coefficienti binomiali del triangolo di Tartaglia. A cura di Ivana Niccolai Potenze di 11

8 11) 3 =1331= 1*(10) 3 +3*(10) 2 +3*(10) 1 +1*(10) 0 (11) 4 =14641= 1*(10) 4 +4*(10) 3 +6*(10) 2 +4*(10) 1 +1*(10) 0 (11) 5 =161051= = 1*(10) 5 +5*(10) 4 +10*(10) 3 +10*(10) 2 +5*(10) 1 +1*(10) 0 (11) 6 = = = 1*(10) 6 +6*(10) 5 +15*(10) 4 +20*(10) 3 +15*(10) 2 +6*(10) 1 +1*(10) 0 ecc. A cura di Ivana Niccolai Esempi

9 Il triangolo è usato soprattutto in algebra e probabilità. Una interessante presentazione di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore e una splendida poesia di Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile cliccando qui Mgio Melis

10 Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 1/4 (di Grazia Raffa e Ivana Niccolai) Nei suoi calcoli non sbaglia: come mente non tartaglia; questo genio alquanto vale anche in … geometria frattale! Il suo triangolo usiamo pure in algebra e troviamo coefficienti di potenza del binomio, in tale scienza, A cura di Ivana Niccolai

11 nonché in combinatoria, che arricchisce la sua gloria; qui son le combinazioni a formar le condizioni di assestarsi in modo tale atto al triangolo speciale. Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 2/4 A cura di Ivana Niccolai

12 E sicuro che – comunque – da lì si procede al dunque e possiam anche ammirare quanto Gauss già seppe fare: distribuendo alla gaussiana vedo aspetto di campana, con palline incanalando la suddetta vien, giocando; Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 3/4 A cura di Ivana Niccolai

13 Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 4/4 Questo triangolo si trova in qualsiasi campo, o prova; lo lodiamo con diletto ritenendolo perfetto. A cura di Ivana Niccolai

14 Le prime righe del triangolo di Tartaglia in…combinatoria A cura di Ivana Niccolai Ogni combinazione è sempre uguale alla somma delle due combinazioni che si trovano immediatamente sopra...

15 Precisazioni 1/2 Se si usa il triangolo di Tartaglia in combinatoria, si può scrivere: n p per indicare il numero delle disposizioni di n oggetti distinti a p a p, dove: n p == [n*(n-1)*(n-2)*…*(n-p+1)]/p! = n!/[p!*(n-p)!] A cura di Ivana Niccolai

16 Precisazioni 2/2 0 0 = 1, per il principio di permanenza delle proprietà formali. Nel libro «GIOCANDO CON LINFINITO – Matematica per tutti », di Rozsa Péter, a cura di Corrado Mangione, Prima edizione italiana: aprile 1973, si afferma: C'è un'unica maniera di ritrarre la mano senza aver preso nulla da una sacca vuota, quindi possiamo considerare 1 il numero delle combinazioni di zero elementi a partire da zero elementi. A cura di Ivana Niccolai

17 Esempi 1/2 Quanti modi abbiamo di disporre 6 oggetti a 4 a 4? Sono tanti quanti sono i modi di disporne 5 a 3 a 3 più i modi di disporne 5 a 4 a 4 Infatti: 15 = A cura di Ivana Niccolai

18 Esempi 2/2 Quanti modi abbiamo di disporre 7 oggetti a 3 a 3? Sono tanti quanti sono i modi di disporne 6 a 2 a 2 più i modi di disporne 6 a 3 a 3. Infatti: 35 = A cura di Ivana Niccolai

19 Il gioco del soldatino A cura di Ivana Niccolai

20 Spiegazione del gioco del soldatino In A si sistema un soldatino; si lancia una moneta: se viene testa, il soldatino va in basso a destra (cioè in C), se viene croce va in basso a sinistra (cioè in B) e così via. A cura di Ivana Niccolai

21 Domande relative al gioco del soldatino 1)Quante strade portano in B? Quante in C? Quante in E? Ecc. 2)In quali caselle finali sarà bene scommettere che il soldatino andrà a finire? A cura di Ivana Niccolai

22 Risposte 1) Osservando il numero delle strade che conducono nelle varie caselle, contrassegnate da una lettera dellalfabeto, si arriva al triangolo di Pascal- Tartaglia-Cardano. 2) Tale triangolo fornisce, qui, una distribuzione casuale del tipo a campana. A cura di Ivana Niccolai

23 La tavola di Galton (o quinconce) Quinconce (deriva dal latino quincunx, quincuncis) : genericamente, nellantica Roma, frazione di 5/12 dellunità. I II III IV V VI A cura di Ivana Niccolai

24 Quinconce di 5 righe di bulloni Ho considerato 32 palline di vetro e il quinconce di 5 righe di bulloni, bulloni ben distanziati tra loro, in modo uniforme e righe così suddivise: I riga : 1 bullone II riga: 2 bulloni III riga: 3 bulloni IV riga: 4 bulloni V riga: 5 bulloni A cura di Ivana Niccolai

25 Come si costruisce Materiale occorrente: 1)Cartone di una scatola da scarpe e palline di vetro 2)Bulloni da sistemare secondo la disposizione data dal triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano 3)Due alette di cartone da mettere sul retro, perché possa stare inclinata 4)Coperchio della scatola (in cui sistemare, poi, la tavola di Galton) 5)Stuzzicadenti da posizionare,opportunamente, in fondo, per delimitare le vie di uscita A cura di Ivana Niccolai

26 Come si gioca Si fanno partire, una alla volta, le palline di vetro dalla posizione 1 del vertice in alto: esse si distribuiranno, nei vari scomparti delimitati dagli stuzzicadenti, in numero maggiore là dove è più probabile arrivare… Le palline stesse formeranno la curva di Gauss, a campana A cura di Ivana Niccolai

27 La sistemazione delle 32 palline Facendo cadere, a una a una, 32 palline ci si aspetta una distribuzione di tali palline nelle seguenti cassette (delimitate dagli stuzzicadenti): I cassetta: 1 pallina II cassetta: 5 palline III cassetta: 10 palline IV cassetta: 10 palline V cassetta: 5 palline VI cassetta: 1 pallina Si nota che 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 sono i valori che si rintracciano facilmente nel triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano A cura di Ivana Niccolai

28 Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2 Nella figura, a sinistra, è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa della tavola di Galton A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

29 Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2 I bulloni, fissati su un pannello di base, sono sostituiti da prismi esagonali di legno e tutti uguali tra loro. Ponendo nellimbuto superiore varie biglie, queste scendono nei vari scomparti sottostanti (data la pendenza della base inferiore) e, una volta scese, si distribuiscono seguendo landamento della curva di Gauss. Nellimmagine, che si trova nella diapositiva seguente, vengono visualizzati tutti i possibili percorsi che le biglie possono seguire fino alla quarta riga di esagoni (ed è semplice ritrovare il noto triangolo di Tartaglia!) A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

30 Tutti i percorsi possibili delle biglie fino alla quarta riga… A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

31 Apparecchio di Bittering 1/2 Nella figura a sinistra è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa dellapparecchio di Bittering A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

32 Apparecchio di Bittering 2/2 Il materiale per la sua costruzione può essere compensato o legno e occorrono biglie, o pallini di piombo, che inizialmente vengono disposti nello scomparto superiore centrale. Inclinando una prima volta lapparecchio, questi vanno a occupare i due scomparti centrali e sottostanti a quello di partenza, distribuendosi in essi uniformemente. Si prosegue così di seguito fino a quando i pallini avranno occupato tutti gli scomparti superiori: a questo punto si può constatare facilmente che la distribuzione finale delle biglie è a campana, simile a quella ottenuta con la tavola di Galton. A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

33 Le prime tre fasi di tutti i possibili percorsi delle biglie con le relative probabilità A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

34 Il triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano in algebra (x+y) 0 =1 coefficienti: 1 (x+y) 1 =1x+1y coefficienti: 1 1 (x+y) 2 =1x 2 +2xy+1y 2 coeff.: (x+y) 3 =1x 3 +3x 2 y+3xy 2 +1y 3 coeff.: (x+y) 4 =1x 4 +4x 3 y+6x 2 y 2 +4xy 3 +1y 4 coeff.: Ecc. A cura di Ivana Niccolai TORNA

35 Serie di Fibonacci Fibonacci = = = = = = 13 La serie è stata chiamata Numeri di Fibonacci " da Lucas ( ). 1 1 Mgio Melis

36 FIBONACCI.pdf torna Un altro interessante contributo di Ivana Niccolai sulla serie di Fibonacci Mgio Melis

37 Nella seconda diagonale si trova la sequenza dei Numeri naturali Mgio Melis

38 Multipli di 2 2 Mgio Melis

39 Numeri disparidispari Mgio Melis

40 Se il primo elemento in una riga è un numero primo, tutti i numeri della riga (escluso 1) sono divisibili per esso. torna Per esempio, nella riga 7 ( ) 7, 21 e 35 sono tutti divisibili per 7. Mgio Melis

41 Sommando i numeri delle righe, si trovano le potenze di 2 1+1= =8; =4; 2 2 torna Mgio Melis

42 Numeri esagonali esagonali Mgio Melis

43 Mgio Melis

44 Un esperienza che ha coinvolto i bambini di una seconda classe con la loro maestra, Ivana Niccolai vai Mgio Melis

45 Un altro esempio: 7*15*56=5880 6*28*35=5880 Moltiplica i numeri contenuti nelle cellette verdi 1*5*6=30 Moltiplica i numeri contenuti nelle cellette arancioni: 1*3*10=30 Il fiore Mgio Melis Il prodotto è lo stessoprodotto

46 Scomponiamo tutti i numeri in fattori primi I fattori in queste cellette sono: 2 3 *3*5*7 2 = I fattori in queste altre cellette sono gli stessi: 2 3 *3*5*7 2 = torna Mgio Melis

47 Numeri che si sommanoTotale Aggiungendo dei numeri triangolari come indicato nella tabella qui sotto: si trova la sequenza dei numeri tetraedrici (quarta diagonale del triangolo):numeri tetraedrici I numeri tetraedrici sono pari, tranne ogni quarto numero che è dispari (Conway, 1996). Mgio Melis

48 14 10 torna Mgio Melis

49 Come il matematico Giorgio Pietrocola reinterpreta il triangolo aritmetico e ci fa scoprire il frattale conosciuto come il "Triangolo di Sierpinski" Tartaglia e Sierpinski ovvero Uno sguardo ai frattali con il LOGO Ecco l'animazione dove i quadratini neri sono i dispari mentre i gialli sono i pari. torna

50 I Numeri triangolariNumeri triangolari Si trovano nella terza diagonale Curiosità… Mgio Melis

51 Numeri Triangolari Mgio Melis

52 Per scoprire i tre nuovi numeri triangolari, si aggiunge una nuova fila al triangolo. si aggiunge una nuova fila al triangolo Mgio Melis

53 E possibile estendere questa sequenza: ogni termine aumenta di 1 L ottavo termine sar à : = 36 Il nono termine sar à : = 45 Il decimo termine sar à : = Vai a curiosità Il numero triangolare n-esimo, Tn, è: Tn = n(n+1)/2 Mgio Melis

54 Gli unici numeri di Fibonacci che sono anche numeri triangolari sono 1, 3, 21 e 55. Ogni numero esagonale è anche un numero triangolare. Proprietà dei numeri triangolari:triangolari La somma di due numeri triangolari successivi è sempre un numero quadrato: T1 + T2 = = 4 = 2 al quadrato T2 + T3 = = 9 = 3 al quadrato Un numero triangolare non termina mai con le cifre 2, 4, 7, 9 Se un numero triangolare si moltiplica per 9 e si aggiunge 1, si trova un altro numero triangolare: (9xT) + 1 9xT = (9 x 1) + 1 = 10 = T 4 9xT = (9 x 6) + 1 = 55 = T 10 Se si moltiplica un numero triangolare per 8 e si aggiunge 1, si trova un numero quadrato: 8xT = 8 x = 9 = 3 al quadrato 8xT = 8 x = 25 = 5 al quadrato Mgio Melis

55 Numeri quadrati: 1 + 3= = = = = = = I numeri quadrati si leggono nella terza diagonale, dove si trovano anche i numeri triangolari Mgio Melis

56 torna Mgio Melis

57 e Effetto Tartaruga…Tartaruga

58 resto modulo 4. i numeri, cioè, sono divisi per 4 e il colore rappresenta il resto. 0; multipli di 4 come 8,12... Giallo 1; numeri come 1,5,9,13...nero 2; numeri come 2,6,10,14...rosso 3; numeri come 3,7,11,15...verde Giorgio Pietrocola

59 Ecco la stessa cosa con la successiva potenza del due

60 Considerando multipli (in giallo) e non multipli (scuri) dei numeri da 2 a 28 e osservando le prime 165 linee del nostro famigerato triangolo, ecco che cosa si ottiene: Giorgio Pietrocola

61 I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire! diceva Pitagora ai suoi allievi Colorando le celle del triangolo, i bambini hanno fatto altre scoperte!! Mgio Melis

62 Confrontando il modello dei multipli di 8 con quello dei multipli di 4 si nota che sono molto differenti. Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4. I multipli di 4 non sono necessariamente multipli di 8. Multipli di 8 M di 8 Multipli di Mgio Melis

63 M di 3 Un numero divisibile per 9 è divisibile anche per 3 Alcuni multipli di 3 sono anche multipli di M di 9 1 Mgio Melis

64 M di M di 2 Multipli di 6 Se un numero è multiplo di 2 e di 3, allora è multiplo di 6 Mgio Melis

65 M di M di Multipli di 10 Se un numero è multiplo di 2 e di 5 è anche multiplo di Mgio Melis

66 E certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde. La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosit à cognitiva di ognuno. Sento anche di dire che questa esperienza di lavoro collaborativo con due colleghi che conosco solovirtualmente - e che ho imparato a stimare e ad apprezzare - mi ha sicuramente arricchita. Ivana Giorgio Vi ringrazio! Maria Giovanna


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