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Luogo geometrico : linsieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una data proprietà Esempio : Lasse di un segmento che ha come proprietà il.

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Presentazione sul tema: "Luogo geometrico : linsieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una data proprietà Esempio : Lasse di un segmento che ha come proprietà il."— Transcript della presentazione:

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2 Luogo geometrico : linsieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una data proprietà Esempio : Lasse di un segmento che ha come proprietà il luogo dei punti equidistanti dagli estremi oppure la circonferenza che ha linsieme di tutti e soli i punti equidistanti da un centro. Ogni proprietà caratteristica dei punti di un luogo può essere tradotta in una relazione algebrica tra lascissa e lordinata dei punti P(x;y) della figura ovvero F(x;y) = 0 Equazione che deve essere soddisfatta dalle coordinate dei punti del luogo e soltanto da essi. E proprio in questo che consiste il metodo algebrico : caratterizzare ogni luogo con equazioni del tipo F(x;y) = 0, dove F indica unespressione matematica contenente due variabili x e y.

3 Nei casi in cui lequazione F(x;y) = 0 F rappresenti un numero finito di operazioni sulle variabili x e y quali laddizione, sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e lestrazione di radice n- esima, lequazione si dice equazione algebrica. Nello studio della geometria analitica ci limiteremo a considerare due casi : 1)F (x;y) è un polinomio di primo grado F (x;y) = 0 ax +bx+c = 0 (retta) con a,b =0 Se ha soluzioni, rappresenterà una conica e detto il discriminante della conica = b² - 4ac si ha per < 0 ellissi o circonferenza = 0 parabola > 0 iperbole Tali curve piane vengono chiamate sezioni coniche perché si ottengono sezionando un cono circolare retto a due falde con un piano.retto 2)F(x;y) è un polinomio di secondo grado F(x;y) = 0 ax² + bxy + cy² + dx + ey +f = 0

4 Il cono a due falde è la superficie di spazio generata dalla rotazione di una retta r (generatrice) intorno ad un'altra retta a (asse di rotazione) incidente ad r. Il punto V di intersezione tra r ed a è detto "vertice" del cono. Questo divide la superficie conica in due parti, ciascuna delle quali è detta falda della superficie conica; l'angolo α formato da r con a (minore di un angolo retto) è detto "apertura" del cono. Quindi si dice sezione conica qualsiasi curva ottenuta intersecando il cono a due falde con un piano qualsiasi dello spazio, non passante per il vertice V. CONO A DUE FALDE

5 Un viaggio nella storia …. Per i matematici greci le curve, non erano definite come luoghi del piano che soddisfano determinate condizioni, ma con il seguente ordine : LUOGHI PIANI LUOGHI SOLIDI LUOGHI LINEARI TRE CATEGORIE Rett a Cerch io Sezioni coniche Elli sse Parabo la Circonfere nza Iperbol e Tutte le altre curve

6 … Un viaggio nella storia … Le coniche, ottenute come sezioni piane di un cono, sono studiate inizialmente nello spazio in quanto curve "solide". Le proprietà che le caratterizzano legano i loro singoli punti al cono di appartenenza. Una prima teoria fu sviluppata dal matematico greco Menecmo, nella seconda metà del IV sec. a.C., che scoprì le sezioni coniche nel tentativo di risolvere il problema della duplicazione del cubo. Menecmo attribuì alle sezioni coniche i nomi : ortotome, oxitome, amblitome. Di esse si sarebberoduplicazione del cubo occupati anche Aristeo il Vecchio e Euclide ( a.C.), sulle quali scrisse ben 4 libri, ma di questi studi non vi è rimasta alcuna traccia. Una sistemazione completa e organica dal punto di vista teorico e della loro trattazione fu data da Apollonio di Perga (200 a.C.). La sua opera Sezioni Coniche,che viene considerata un capolavoro di rigore logico, era composta originariamente da otto libri, alcuni di essi sono andati perduti, ma a noi ne restano solamente sette che sono arrivati fino a noi nella trattazione araba. Nella sua opera Apollonio definisce le coniche come curve ottenute mediante lintersezione di un piano con un cono circolare retto. Le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. Ed è proprio da Apollonio che le sezioni coniche hanno preso i nomi moderni di parabola, ellisse ed iperbole.

7 1) Menecmo usa solo coni retti ottenuti per rotazione di opportuni triangoli rettangoli attorno a un cateto, Menecmo e li taglia tutti con piani perpendicolari al lato obliquo del triangolo assiale (lipotenusa) sicché le diverse coniche giacciono su diversi tipi di cono. 2) Apollonio invece usa un cono generico (obliquo, con base circolare) e tagliandolo con piani diversamente inclinati riesce a collocare su di esso tutte le curve scoperte da Menecmo. Le differenti proprietà che le caratterizzanoApollonio sono (sia dall'uno che dall'altro studioso) ricavati sul cono, nello spazio tridimensionale (e ciò qualifica tali curve come "solide"): ma Apollonio le reinterpreta anche nel piano introducendo così i termini ancora oggi in uso di ellisse, parabola, iperbole. … Le differenze tra le due teorie sulle sezioni coniche …

8 A seconda della posizione che il piano ha rispetto al cono a due falde, la conica può essere una curva di tipo diverso: Se il piano è meno inclinato della retta generatrice allora interseca una sola delle due falde del cono, e taglia su di esse una curva limitata detta ellissi. Se il piano è orizzontale, lellissi è una, circonferenza le circonferenze, quindi sono particolari ellissi. Se il piano è più inclinato della generatrice interseca entrambe le falde, e taglia su di esse una curva (illimitata e spezzata in due rami) detta iperbole. Se il piano è parallelo alla generatrice, interseca una sola delle due falde del cono, e taglia su di esse una curva illimitata detta parabola

9 CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. x²+y²=r² (2) x²+y²+x+βy+γ=0 (1) Con x² e y² uguali a 1 Da questa definizione di circonferenza si può ricavare, con vari passaggi,lequazione conica di essa: Nel caso in cui il centro C coincide con lorigine o, avremo: PC = r oC r P o r P C Fig. 1 Fig. 2

10 ELLISSI ELLISSI Lellissi è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Indicando con 2a la somma costante delle distanze di un punto P dellellissi dai fuochi F ed F e con 2c la distanza tra i due fuochi, possiamo scrivere che: x²/a²+y²/b²= 1 PF +PF =2a F F = 2c Da questa definizione di ellissi si può ricavare, con vari passaggi, lequazione conica di essa: o

11 IPERBOLE IPERBOLE Liperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Sia 2a la differenza costante della distanza di un punto p della curva dai due fuochi F1, F2 e sia 2c la distanza di questi punti. |PF -PF |=2a= costante F F =2c Da questa definizione delliperbole si può ricavare, con vari passaggi, lequazione conica di essa: x²/a²+y²/b²= 1

12 Esperimento Cosa succede se puntiamo la luce di una torcia contro il muro ? Risposta: si forma un cono di luce Che forma ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio perpendicolare al muro? Risposta: si forma una circonferenza Che forma ha il fascio di luce se punto una torcia con il braccio inclinato rispetto al muro? Risposta: si forma unellisse o un iperbole Cono Circonferenza Ellisse Iperbole

13 PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso F (detto fuoco) e una retta data d (detta direttrice).

14 Riferiamo gli elementi della definizione ad una coppia di assi ortogonali di cui quello delle y passa per F ed è perpendicolare alla retta data d; lorigine o ( sullasse y) è il punto equidistante da F e da d (vertice della parabola);lasse x è parallelo alla retta d. PF=PK La retta passante per il vertice e perpendicolare alla direttrice è lasse di simmetria della parabola: infatti se un punto P appartiene alla parabola, anche il punto P¹ simmetrico di P rispetto a tale asse, appartiene alla parabola

15 Riferiamo il fuoco e la direttrice della parabola ad un sistema cartesiano scelto in modo che lorigine coincida con il vertice e lasse y coincida con lasse di simmetria della parabola. In tale sistema di riferimento se p 0 è lordinata del fuoco, il fuoco è il punto F (0;p) ; la direttrice ha equazione y = -p Sia P(x;y) un generico punto del piano e H(x;-p) la sua proiezione ortogonale sulla direttrice. Per definizione, P appartiene alla parabola se e solo se : PF = PH Determiniamo PF e PH : PF = ( Xp – Xf)² + ( Yp – Yf )² PF = x² + ( y – p)² PH = Yp – Yh = Y - (-p) PH= y + p Ponendo 1/4p= a, lequazione diviene y = a x² a0 PARABOLA DI EQUAZIONE y = ax² Sostituendo nella relazione PF = PH le espressioni trovate otteniamo : x² + ( y –p)² = y + p x² + (y - p) = (y + p)² x² + y² - 2py + p² = y² +2py + p² x² = 4py y = 1/4p * x² con p0

16 La relazione precedente è lequazione di una parabola che il vertice nellorigine e lasse di simmetria coincidente con lasse y: V (0;0) vertice x = 0 (asse y) equazione dellasse di simmetria Per determinare le coordinate del fuoco e lequazione della direttrice della parabola, dobbiamo tenere presente la relazione: 1/4p = a 1/4a = p Grazie a essa le coordinate del fuoco F(0;p) e lequazione della direttrice y = -p si possono esprimere in funzione di a: F (0; ) fuoco equazione della direttrice

17 Il coefficiente a Se nellequazione y=ax² è a>0, la parabola passa per lorigine degli assi e in tale punto la curva è tangente allasse x. Inoltre lorigine degli assi coincide con il vertice della parabola e tutti gli altri punti della curva si trovano al di sopra dellasse x. Quindi la parabola volge la concavità verso lalto Se nellequazione y=ax² è a<0, la parabola è tangente allasse x nellorigine, che è il vertice, ma tutti i punti della curva si trovano al di sotto dellasse x. Quindi la parabola volge la concavità verso il basso Inoltre il valore assoluto del coefficiente a determina lapertura della parabola. Quanto più |a| è piccolo, tanto più la parabola è aperta; quanto più |a| è grande, tanto più la parabola è chiusa. Per questo motivo a è detto coefficiente di apertura della parabola. coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate. y x x y Il coefficiente b è legato alla posizione dell'asse della parabola (la retta verticale passante per il vertice)

18 Data la parabola di equazione y = - 1/6 x², determinare le coordinate del fuoco e lequazione della direttrice e rappresentarla graficamente. Lequazione è nella forma y = ax², con a = - 1/6 esempio F (0; ) F(0; - 3/2) Il vertice della parabola è nellorigine, essendo a<0 la parabola volge la concavità verso il basso y = 3/2

19 Parabola di equazione y = a x² + b x + c Vogliamo ora determinare lequazione di una parabola con asse di simmetria parallelo allasse y e vertice nel punto V(x ;y ). Sia Υ una parabola con vertice nellorigine O(0;0) e asse di simmetria coincidente con lasse y, di equazione, con a0. sottoponiamo i punti di Υ a una traslazione di vettore v( x ;y ). La parabola Υ è quindi trasformata nella parabola Υ con vertice V, trasformato di O, e asse di simmetria parallelo allasse y e di equazione x = x. Lequazione della parabola traslata Υ si trova si trova effettuando sullequazione di Υ la sostituzione [x x - x ʌ y y - y ] associata alla traslazione T di equazione : y = a x² + b x + c a0 y – y = a (x – x )² Possiamo quindi concludere che una parabola con vertice nel punto V(x ;y ) e asse di simmetria parallelo allasse y ha equazione y – y = a(x – x )² a0y = ax² - 2ax x + ax ² + y Ponendo b = - 2ax c = ax ² + y

20 Ogni parabola con asse di simmetria allasse y ha equazione y=ax²+bx+c. Dalla formula ottenuta possiamo ricavare le coordinate (x ;y ) del vertice V di γ in funzione di a,b,c. Vertice: Asse di simmetria: y = c-ax ² =c-a*b²/4a² y = -b²-4ac/4a Utilizzando le equazioni della traslazione troviamo che il fuoco F di γ trasformato del fuoco F (0; ¼ a) di γ è: La direttrice di Υ ha equazione e per la direttrice di γ avremo: y-y= - Quindi la direttrice di ha equazione + y cioè

21 Massimi e minimi della funzione quadrica Quindi come abbiamo visto il grafico dellequazione y=ax ² +bx+c è una parabola. Dopo aver posto f(x)=ax ² +bx+c osserviamo: 1) Se a>0 si ha: f(x) decresce per x<-b/2a f(x) cresce per x>-b/2a f(x) assume il valore minimo per x=-b/2a e tale valore è f(-b/2a)= -/4a quindi : Min f(x)= -/4a 2) Se a<0 si ha: f(x) cresce per x<-b/2a f(x) decresce per x>-b/2a f(x) assume il valore massimo per x=-b/2a e tale valore è f(-b/2a)= -/4a quindi : Max f(x)= -/4a

22 x = ay ² +by+c Le considerazioni che abbiamo fatto sulle parabole con asse di simmetria parallelo allasse y si possono ripetere, con opportune modifiche, per le parabole con asse di simmetria parallelo allasse x. Parabola di equazione x=ay²+by+c Se a>0 la parabola volge la concavità verso destra Se a<0 la parabola volge la concavità verso sinistra Lequazione precedente si può ottenere dallequazione y=ax²+bx+c sostituendo la variabile x con la variabile y. Tale sostituzione è associata alla simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante. Pertanto la parabola con asse di simmetria parallelo allasse x, di equazione x=ay²+bx+c è la simmetrica della parabola con asse di simmetria parallelo a y, di equazione y=ax²+bx+c. Quindi per determinare fuoco, vertice, direttrice e asse della parabola con asse di simmetria parallelo allasse x, basta scambiare x con y nelle formule già viste precedentemente della parabola con lasse parallelo allasse y Asse di simmetria: Direttrice:

23 REALIZZATO DA: Campana Miriana DAddario Laureana

24 IL CONO CONO RETTO Quando un triangolo rettangolo ruota intorno ad un cateto fissato fino a ritornare alla posizione da cui era partito, la figura così racchiusa è un CONO RETTO. In alternativa, un CONO RETTO è la figura delimitata dal cerchio e dalla superficie conica situata tra il VERTICE V, che giace sullasse perpendicolare alla base, e la circonferenza del cerchio. CONO QUALSIASI Un CONO è la figura delimitata dal cerchio e superficie conica situata tra il VERTICE V e la circonferenza del cerchio; LASSE del cono è la retta tracciata dal vertice al centro del cerchio; e la BASE è il cerchio.

25 Se il triangolo rettangolo è isoscele ( angoli alla base = 60°), si ottiene l'ortotome (parabola). Se il triangolo rettangolo è acutangolo, (3 angoli <90°), si ottiene l'oxitome (ellisse). Se il triangolo rettangolo è ottusangolo, (1 angolo >90°), si ottiene l'amblitome (iperbole). … PENSIERO DÌ MENECMO …

26 … PENSIERO DÌ APOLLONIO … Egli affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, variando semplicemente linclinazione del piano di intersezione. Inoltre dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Circonferenza Ellisse Parabola Iperbole

27 Il radar Il radar è un sistema che usa le onde radio per rilevare la distanza, la posizione e la velocità di oggetti: la più importante applicazione è il rilevamento di posizione, rotta di aerei e navi. Applicazioni alla vita reale de circonferenza Astronomo e fisico, Aristarco, è noto soprattutto per avere per primo introdotto una teoria astronomica nella quale il Sole e le stelle fisse sono immobili mentre la Terra ruota attorno al Sole percorrendo una circonferenza. tagliare un tronco dalbero La bandiera olimpica. Secondo l'interpretazione ufficiale i cinque cerchi rappresentano i cinque continenti. I cerchi simboleggiano gli ideali di universalità e fratellanza. Ruota panoramica

28 « L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. » Jhoannes Keplero ( ) astronomo e matematico tedesco scoprì empiricamente le leggi che governano il movimento dei pianeti studiando i dati sperimentali di Tycho Brane di cui fu assistente. Keplero propone un modello eliocentrico in cui non vengono più considerate le orbite circolari, le forme perfette, ed è supportato nel farlo dai dati sperimentali ottenuti da Tycho Brahe. Osserviamo che, poiché l'ellisse è una figura piana, i moti dei pianeti avvengono in un piano, detto piano orbitale. Per la Terra tale piano è detto ellittica. Cosi formulò la prima legge : SCIENZA

29 ARTE Tavolino barocco Specchio neoclassico francese Esposto in Il Barocco Andino e le Serie Angeliche, Castello della Marigolda, Curno (Bergamo) Il dipinto rappresenta LArcangelo Archibugiere Aspiele, mentre porta larchibugio rivolto verso il basso. Bernini. Piazza S. Pietro, Roma.

30 Chiesa di San Carlo alle quattro fontane (San Carlino) a Roma. La chiesa venne realizzata da Francesco Borromini. L'interno è un'altra splendida architettura di Borromini che con apparente semplicità sfrutta i ridotti spazi presenti conferendogli plasticità uniche, è difficile capire da quale parte prende inizio il progetto borrominiano... probabilmente dall'idea di alternare pareti concave e convesse, infatti il Borromini si muove all'interno di uno spazio romboidale ricavato a sua volta all'interno del corpo di fabbrica a disposizione, ovvero un ottagono allungato, gli ordini superiori poi vennero concepiti armonizzando le linee curve con la più naturale delle forme geometriche allungate: l'ellisse. ARCHITETTURA Arena di Pompei Piazza San Pietro a Roma, progettata da Gian Lorenzo Bernini. I fuochi dell'ellisse sono evidenziati sulla pavimentazione. pianta della chiesa di Sant'Andrea al Quirinale (1658) a Roma, opera di Gian Lorenzo Bernini L'arena romana di Nimes in Francia Stadio di Taiwan, con pannelli solari

31 La legge di Boyle e Mariotte afferma che in condizioni di temperatura costante la pressione di un gas perfetto è inversamente proporzionale al suo volume, ovvero che il prodotto della pressione del gas per il volume da esso occupato è costante. Ne segue che per una certa temperatura in un diagramma con il volume V del gas in ascissa e la pressione P in ordinata (piano di Clapeyron) la legge di Boyle è rappresentata da un ramo (quello positivo) di un'iperbole equilatera, come evidenziato nel diagramma qui a lato. LEGGE DÌ BOYLE

32 Unoccasione in cui possiamo osservare una iperbole completa è quando una lampada con paralume di forma cilindrica o conica, aperto da entrambe le parti, proietta la sua ombra sulla parete vicina. I nostri nonni potevano osservare un ramo di iperbole su una parete quando ponevano, sul comodino accanto alla parete, una candela accesa su un candeliere avente la base circolare. Il profilo delle grandi torri di raffreddamento dellacqua negli stabilimenti industriali ci presenta una iperbole. La forma che assume la superficie libera dellacqua (o della sabbia ) di una clessidra, formata da un cono a due falde, appoggiata su una superficie piana rappresenta una iperbole

33 Il primo e più importante è il moto dei corpi. Tutti gli oggetti spinti in aria descrivono, cadendo, archi di parabola Lacqua zampillante di una fontana, di una cascata, di un irrigatore a getto … … le particelle luminose dei fuochi dartificio … Le foglie molto lunghe delle piante si dispongono ad arco di parabola.

34 Gli specchi stradali e gli specchietti retrovisori sono specchi parabolici convessi (la riflessione avviene sulla superficie esterna della forma parabolica, cosicché il fuoco della superficie riflettente giace dalla parte opposta dello specchio rispetto all'osservatore). Con tali specchi è possibile vedere oggetti sotto un grande angolo poiché si crea un'immagine virtuale dritta e rimpicciolita dell'oggetto a qualunque distanza esso si trovi davanti allo specchio.

35 Se si pone una sorgente nel fuoco di uno specchio parabolico, per esempio una lampadina, i raggi riflessi formano un fascio parallelo all'asse, meno disperso e di più alta luminosità direzionata. Questo principio viene sfruttato nella costruzione dei fari dei porti (il fascio di luce deve essere visibile a grande distanza e deve indicare chiaramente la direzione di provenienza), Principio della parabola … Fari delle automobili (oltre ad assicurare una buona illuminazione della strada, il fascio di luce proiettato in un'unica direzione, verso la strada, evita di abbagliare i conducenti delle auto provenienti in senso contrario), di flash, torce elettriche e dei proiettori in genere.

36 Gli specchi ustori sono specchi in grado di concentrare i raggi paralleli provenienti dal Sole in un punto, detto fuoco dello specchio. Tale scoperta viene attribuita ad Archimede. Uno specchio ustore può essere realizzato con uno specchio parabolico, uno specchio, cioè, la cui superficie abbia la forma di un paraboloide di rotazione. Naturalmente la funzione degli specchi ustori può essere svolta con buona approssimazione anche usando un gran numero di specchi piani che riflettano la luce in un unico punto. Si è ipotizzato che questa seconda soluzione (ottenuta magari con specchi indipendenti, ciascuno manovrato da una persona) sia stata quella utilizzata in pratica. Vennero usati durante la seconda guerra punica fatta tra Romani e Fenici. SCIENZA …

37 Il radiotelescopio è una grande superficie parabolica che raccoglie le onde radio provenienti da una sorgente celeste. LA parabola solare termica a concentrazione I pannelli solari termici installati fin'ora sui tetti producono acqua calda prevalentemente nella bella stagione o in zone felici dal punto di vista climatico, la parabola (per le sue caratteristiche) permette di raccogliere i raggi solari in maniera tale da scaldare lacqua a buone temperature anche in pieno inverno e in condizioni di cielo coperto. RadioAstron, il più grande telescopio mai messo in orbita. Con la sua antenna da 10 metri lavorerà con i maggiori radiotelescopi terrestri creando una rete in grado di fornire immagini dettagliatissime dell'universo, con una risoluzione mille volte più precisa del telescopio Hubble.

38 Moto Parabolico Il moto parabolico è la composizione di due moti : Moto rettilineo uniforme in orizzontale Moto uniformemente accelerato in verticale Per ottenere la traiettoria del moto occorre conoscere la posizione del corpo in ogni istante, sapendo che la sua posizione lungo lasse X si trova utilizzando la formula del moto rettilineo uniforme : x = v ̥ t Mentre per trovare la posizione del corpo sullasse delle Y si usa la legge del moto uniformemente accelerato : y = - ½ gt² Equazione cartesiana della traiettoria di un corpo, essa rappresenta una parabola che ha il vertice nellorigine degli assi. y = - ½ g/v ̥ ²x² Velocità iniziale orizzontale

39 Velocità iniziale obliqua Consideriamo una palla da basket che viene lanciata verso il canestro, è conveniente scomporre la velocità iniziale nelle sue componenti orizzontali e verticali v Vx e Vy. Per il teorema di Pitagora abbiamo che v ̥ = (Vx)²+ (Vy)² Con un procedimento analogo a quello precedente otterremo lequazione della traiettoria di questo moto : Y = Vy / Vx * x – ½ g/v²x * x² Quindi anche la traiettoria di un oggetto lanciato in direzione obliqua è una parabola

40 Ponte di Garabit, Francia di Gustave Eiffel (1880) con campata centrale di 165 m. Ponte di Brooklyn, a New York di J. A. Roeblig ( ). Ponte Alameda, a Valencia, di Santiago Calatrava (1995). La chiesa di Grignano architetto Zocconi la chiesa a san Luigi Barcellona ARCHITETTURA

41 A RTE IL MANIFESTO DELLARCHITETTURA FUTURISTA, e la città nuova di Antonio sant Elia. Barcellona. Palau Güell ( ). Facciata principale casa vicens. A Gaudí di utilizzare i migliori materiali reperibili in tutto il mondo. Fu in questo palazzo che comparvero per la prima volta gli archi parabolici, ricordo dellarco ogivale medievale e neogotico. Barcellona. Park Güell. Particolari interni ed esterni del rivestimento in maiolica della grande panchina ondulata.

42 Curiosità Gaudì a Barcellona Gaudì ha ricamato Barcellona con le sue opere pazzesche apparentemente irregolari e fantasiose ma costruite secondo scienza e rigore. Larchitetto utilizza due curve matematiche : la parabola e la catenaria che in realtà sono due luoghi geometrici. La parabola è definita come la linea che si ottiene intersecando un cono circolare con un piano parallelo a una delle rette che descrive la superfice del cono. Si puo notare che se su una curva agisce una forza peso, questa si distribuisce lungo la parabola in modo che gli sforzi risultino equamente distribuiti lungo la direttrice. Ruotando e traslando la parabola lungo la retta, il fuoco della conica descrive la catenaria. Questa curva ha una proprietà molto importante dal punto di vista dellequilibrio : soggetta ad un carico, distribuisce il peso uniformemente lungo la curva stessa. Barcellona è una città che brilla di luce propria e rispecchia la bellezza della luce matematica, facendo rispettare aria di civiltà e liberta ai cittadini provenienti da tutto il mondo. Park Güell. Particolare della fontana con la salamandra sulla scala di accesso alla sala ipostila. Barcellona. Casa Calvet ( ). Facciata principale. Barcellona. Park Güell.

43 Barcellona è una città che brilla di luce propria e rispecchia la bellezza della luce matematica, facendo respirare aria di civiltà e libertà ai cittadini provenienti da tutto il mondo. Cit. Gaudì Larchitetto catalano costruisce modelli dei suoi progetti con corde con alle quali appende sacchetti di sabbia. A seconda della disposizione degli stessi, le corde assumono la configurazione di una parabola, se i sacchetti si distribuiscono uniformemente lungo la direttrice, oppure di una catenaria se i sacchetti si distribuiscono uniformemente lungo la curva stessa. Solo una volta ottenuto un risultato soddisfacente, lartista capovolge il tutto e applica il modello ottenuto alle sue architetture. Barcellona Gaudí architettura inside la Sagrada Familia Parco Güell camminata sorretta da dei pilastri di roccia avvolgenti che sembrano uscire dal suolo come dei tronchi d'albero.

44 Duplicazione del cubo Il problema della duplicazione del cubo, ossia la costruzione di un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di spigolo dato costituisce, uno dei tre problemi classici della geometria greca. Il problema della duplicazione del cubo è giunto a noi sotto forma di mito. La prima testimonianza in merito è una lettera di Eratostene al re Tolomeo III citata, settecento anni più tardi. Vi si narra di un antico tragico che, mettendo in scena il re Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse: «piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati». Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo, perché raddoppiando i lati di un cubo se ne ottiene un altro con volume otto volte maggiore, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto "problema della duplicazione del cubo". La seconda testimonianza, conosciuta come Problema di Delo. Egli, citando Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente. I problemi classici, così come tutti i problemi della matematica, non risultano ben posti se non dopo che si sia precisato l'insieme degli strumenti assegnati per la loro risoluzione. È pertanto possibile distinguere due questioni relative alla risoluzione del problema della duplicazione del cubo: una prima questione riguarda l'impossibilità di risolvere il problema con quelli che vengono chiamati "strumenti elementari", cioè la riga e il compasso; una seconda questione riguarda la ricerca di altri strumenti o procedimenti.


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