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TRIGONOMETRIA Ripasso veloce 1. D EFINIZIONI PRINCIPALI Sia u un segmento con un estremo nellorigine e laltro sulla circonferenza di centro lorigine e.

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1 TRIGONOMETRIA Ripasso veloce 1

2 D EFINIZIONI PRINCIPALI Sia u un segmento con un estremo nellorigine e laltro sulla circonferenza di centro lorigine e raggio 1 (circonferenza goniometrica) che formi un angolo θ con l'asse x. Si chiama coseno dell'angolo θ, e si indica con cos θ, la lunghezza u x. Si chiama seno dell'angolo θ, e si indica con sen θ, la lunghezza u y. Si chiama tangente dell'angolo θ, e si indica con tg θ, il rapporto y u y u 0 u x 1 x θ 2

3 A LTRE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Si possono definire anche altre funzioni trigonometriche, di minore uso, che sono le reciproche di senθ, cosθ e tgθ : B C A Risulta: Cosecante di θ: Secante di θ: Cotangente di θ: 3

4 P ROPRIETÀ Il segmento u ha lunghezza 1, qualsiasi sia la posizione del suo punto finale U sulla circonferenza goniometrica, quindi: cos 2 θ sen 2 θ -1 cosθ 1 -1 senθ 1 Poiché tgθ risulta - tgθ + Graficamente cosθ e senθ sono lascissa e lordinata di U tgθ è la lunghezza del segmento di tangente alla circonferenza goniometrica tra lasse x e la semiretta di u. y u 0 cosθ 1 x θ senθ tg θ U 4

5 V ALORI NEGLI ANGOLI ELEMENTARI Consideriamo i due triangoli rettangoli delle figure seguenti: A BC P N M ° 30° 45° Il primo è mezzo quadrato, il secondo mezzo triangolo equilatero. Poiché lipotenusa, in entrambi i casi, vale 1, si ricava: cos(45°)=sen(45°)= cos (60°)=sen(30°)= cos (30°)=sen(60°)= ; 5

6 A LTRI ANGOLI ELEMENTARI Gli angoli di 60°, 45° e 30° corrispondono ai triangoli OAB, OAB, OAB della figura a fianco e abbiamo visto i valori delle funzioni trigonometriche per tali valori. Per calcolare gli altri angoli elementari osserviamo la seconda figura, che presenta i 4 quadranti. I 4 punti P k hanno ascisse e ordinate uguali in valore assoluto, dunque i triangoli rettangoli 1, 2, 3, 4 sono congruenti, quindi per calcolare i valori delle funzioni negli altri angoli elementari ci riferiamo al primo quadrante e cambiamo opportunamente i segni. 6

7 C URIOSITÀ Il seno e il coseno degli angoli notevoli si possono ricordare facilmente con la regola mnemonica: senθθcosθ 0o0o 30 o 45 o 60 o 90 o 7

8 P ERIODICITÀ Sia θ un angolo acuto in un triangolo rettangolo. Per quanto detto valgono le relazioni: senθ=cos(90°-θ) cosθ=sen(90°-θ) senθ=-sen(-θ) cosθ=cos(-θ) senθ=sen(180°-θ) cosθ=-cos(180°-θ) sen(90°+θ)=sen(180°-(90°+θ))=sen(90°-θ)=cosθ cos(90°+θ)=-cos(180°-(90°+θ))=-cos(90°-θ)=-senθ θ 8

9 G RADI E RADIANTI Quando il punto finale U del segmento u si muove sulla circonferenza goniometrica in verso antiorario, aumenta langolo (tra 0 e 360°) e aumenta di conseguenza anche la lunghezza dellarco di circonferenza tra lasse x e la retta di u, da 0 a 2 =lunghezza circonferenza. La misura dellarco corrisponde a quella dellangolo: gli angoli sono quindi misurabili anche in radianti (rapporto tra la lunghezza dellarco e quella del raggio della circonferenza). La corrispondenza tra angoli e radianti e il valore delle funzioni trigonometriche negli angoli elementari è data dalla tabella della pagina seguente. 9

10 A NGOLI PRINCIPALI Langolo della prima figura è di 30°, infatti il triangolo giallo è equilatero; tutti gli altri angoli sono uguali al primo; dalla figura è evidente che misura /6 Langolo della seconda figura è di 45°, e tutti gli altri angoli sono uguali al primo, che misura, in radianti, /4. 10

11 C ONVERSIONE GRADI - RADIANTI gradiRad.gradiRad. 0°0°0180° 30° /6 210° /6 45° /4 225° 5/4 60° /3 240° 4/3 90° /2 270° 3/4 120° 2/3 300° 5/3 135° 3/4 315° 7/4 150° 5/6 330° 11/6 11

12 T ABELLA DEI VALORI gradiRad. sencostg gradiRad. sencostg 0°0° ° 00 30° /6 210° 7/6 45° /4 1225° 5/4 1 60° /3 240° 4/3 90° /2 10N.D.270° 3/4 0N.D. 120° 2/3 300° 5/3 135° 3/4 315° 7/4 150° 5/6 330° 11/6 12

13 S UI TRIANGOLI RETTANGOLI Consideriamo un triangolo rettangolo e sia a lipotenusa, b e c i cateti. Risulta: senθ= b/a, cosθ=c/a tgθ=b/c Per cui b=a senθ, c=a cosθ, c=b tgθ. Risolvere un triangolo rettangolo significa, dati alcuni elementi, ricavare gli altri elementi non conosciuti. Poiché si parla di triangoli rettangoli, langolo retto è dato, poi, per conoscere tutto basta avere in più: Ipotenusa e un angolo un cateto e un angolo Lipotenusa e un cateto i due cateti I due angoli invece non caratterizzano il triangolo, ma solo tutti i triangoli simili. A B C θ c b a 13

14 T EOREMI SUI TRIANGOLI Dato un triangolo qualsiasi, di lati a, b, c, e angoli opposti rispettivamente, valgono i seguenti teoremi: Teorema dei seni : Teorema del coseno (o di Carnot): a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos c 2 =b 2 +a 2 -2ba cos È chiaramente una generalizzazione del teorema di Pitagora. 14

15 A LTRE PROPRIETÀ Abbiamo visto che: Questa relazione ha un significato geometrico: i tre rapporti rappresentano la lunghezza del diametro del cerchio circoscritto al triangolo. Teorema della corda : ogni corda di una circonferenza ha una lunghezza pari al prodotto della misura del diametro per il seno di qualunque angolo alla circonferenza che insista su tale corda. Teorema dellarea : Larea di un triangolo qualsiasi di lati a, b, c vale ½ bc sen = ½ ac sen = ½ ab sen 15

16 I DENTITÀ TRIGONOMETRICHE Per ogni angolo θ vale la identità fondamentale: sen 2 θ + cos 2 θ = 1 e da questa si ricava che: Nelle slide seguenti presenteremo svariate formule che legano tra loro le funzioni trigonometriche. La loro dimostrazione è abbastanza semplice ed è riportata su ogni libro di matematica delle superiori che preveda la trigonometria. 16

17 F ORMULE 1 Dati due angoli qualsiasi θ e φ valgono le seguenti relazioni: Formule di addizione e sottrazione : sen(θ±φ)=senθ cosφ±cosθ senφ cos(θ±φ)=cosθ cosφ±senθ senφ Formule di duplicazione : sen2θ=2senθcosθ cos2θ=cos 2 θ-sen 2 θ = 1-2sen 2 θ= 2cos 2 θ-1 17

18 F ORMULE 2 Altre formule interessanti: Formule di bisezione : Formule parametriche: chiamata t la tangente di θ/2, è 18

19 F ORMULE 3 Queste formule legano somme di funzioni trigonometriche con prodotti delle medesime e viceversa: Formule di prostaferesi : Formule di Werner (o del prodotto): 19


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