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1 LA CIRCONFERENZA. 2 ARGOMENTI TRATTATI 1. Le equazioni della circonferenza 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve.

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1 1 LA CIRCONFERENZA

2 2 ARGOMENTI TRATTATI 1. Le equazioni della circonferenza 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili dalla circonferenza 5. Disposizione di due circonferenze nel piano 6. Fasci di circonferenze 7. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

3 3 LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano aventi da C distanza uguale ad r. Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare lequazione della circonferenza, o rappresentazione analitica. Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C( ; ) e un generico punto P della C, le coordinate P(x;y), si ha: Moltiplicando i due membri dellequazione normale per una costante arbitraria k 0 si ha: kx 2 + ky 2 + kax + kby + kc = 0 equazione generale.

4 4 Se il centro C( ; ) coincide con lorigine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè = 0 e =0, lequazione normale diventa: Osservazioni sulle equazioni normale e generale: 1. manca in esse il termine rettangolare in xy; 2. i coefficienti dei due quadrati x 2 e y 2 sono uguali (uguali a 1 nella normale) ; 1.premesso che dallequazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambi i membri per k 0, se è nota lequazione normale x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, allora, dal sistema (2), si determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:

5 5 4. non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, lequazione normale rappresenti una circonferenza. Dallespressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi: lequazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario ); – c = a 2 /4 + b 2 /4 – c lequazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C; lequazione normale rappresenta una circonferenza reale. 5. circonferenze particolari:

6 6 Considerazioni sul caso c = 0. Se c = 0, il grafico della curva passa per lorigine perché lequazione diventa x 2 + y 2 + ax + by = 0, quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0, cioè il punto O(0 ; 0).

7 7 QUESTIONI BASILARI 1.Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane centro e raggio. a. x 2 + y 2 = 4 ; a = 0; b = 0; c = - 4 ; a 2 /4 + b 2 /4 – c = 4 si, lequazione data rappresenta una circonferenza reale di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0) e di raggio r = 2. b. x 2 + y = 0 ; a = 0; b = 0; c = 9; a 2 /4 + b 2 /4 – c = - 9 no, lequazione data non rappresenta una circonferenza reale, bensì immaginaria. c. x 2 + 2y 2 + x + 3y - 5 = 0 ; non è lequazione di una circonferenza perché i coefficienti dei termini di secondo grado, x 2 e y 2, sono diversi; si tratta di unellisse, infatti

8 8 2. Determina per quali valori del parametro reale k lequazione 3x 2 + 3y 2 – 6(k-1)x + 27 = 0 rappresenta una circonferenza. 3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare lequazione di una circonferenza. Facendo riferimento allequazione normale, determinare lequaz. di una circ. significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:

9 9 3.a Scrivi lequazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1. conosco le coordinate del centro C( ; ) (sono due condizioni) a = - 2 ; b = - 2 conosco il raggio r r 2 = – c = a 2 /4 + b 2 /4 – c passaggio per un dato punto P(x p ; y p ) (x p ) 2 + (y p ) 2 + ax p + by p + c = 0 centro C( ; ) su una retta di nota equazione y = mx + q = m + q, oppure -b/2 = -ma/2 + q tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Circonferenza tangente ad una retta.Circonferenza tangente ad una retta 3.b Scrivi lequazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).

10 10 3.d Scrivi lequazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0. 3.c Scrivi lequazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5).

11 11 3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione x 2 + y 2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0

12 12 QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: 1.determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate; 2.determinare lequazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione. 1.Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento, ma anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli (vedi esempi seguenti). In sintesi: metodi generali, validi per tutte le coniche: a. metodo del discriminante nullo, b. metodo delle formule di sdoppiamento. metodi particolari, validi solo per la circonf.: c. metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, d. metodo della tangente perpendicolare al raggio (solo se il punto P appartiene alla circonf.).coniche Di solito conviene applicare il metodo c, se il punto P non appartiene alla circonferenza, il metodo b, se il punto P appartiene alla circonferenza.

13 13 Esempi 1. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 - 2x = 0, condotte dal punto P(9/4 ; 0). Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2 0 P non appartiene alla circonf., quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza. Metodo a Metodo b

14 14 Metodo c Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;0) ; r = 1. Scrivo lequazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0. Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

15 15 2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y 2 - 2x - 6y - 10 = 0, condotte dal punto P(5 ; 5). Verifico se P appartiene alla circonf.: – 10 – 30 – 10 = 0 P appartiene alla circonf., quindi ho sicuramente una e una sola soluzione. Metodo a Metodo b Metodo c Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;3) ; r = 20 1/2. Scrivo lequazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: mx – y – 5m + 5 = 0. Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

16 16 Metodo d Determino le coordinate del centro C: C(1;3). Scrivo lequazione del fascio di rette di centro P(5;5) : y = mx – 5m + 5. Determino il coeff. angolare m 1 della retta CP perpendicolare alla tangente in P :

17 17 2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione Esempi 1. Determina lequazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di equazione y = – x + 1.

18 18 Traccio il grafico. Dallequazione x 2 + y 2 - 6x - 4y + 5 = 0 si ricavano le coordinate del centro C(3; 2). 2. Determina lequazione della circonferenza passante per i punti A(1;2) e B(3;4) e tangente alla retta di equazione y = – 3x + 3.

19 19 Esprimo b e c in funzione di a. Dalla combinazione lineare delle prime due equazioni si ha:

20 20 1.Determina lequazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1. Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:

21 21 4. Determina lequazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani e passante per il punto P(3 ; 2/3). La circonferenza si trova nel primo quadrante e il suo centro appartiene alla retta y = x, quindi = e a = b. Osservo inoltre che il raggio misura = - a/2, quindi si ha:

22 22 CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA Esplicitando lequazione di secondo grado x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x, si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), ricavate sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semicirconferenze.

23 23 Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

24 24

25 25 Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T. Per determinare gli eventuali punti dintersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue: DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO Due circonferenze di equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 e x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 possono presentare nel piano le seguenti disposizioni:

26 26 Tali sistemi ammettono due soluzioni se le circonferenze sono secanti; una soluzione se le circonferenze sono tangenti; nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti. Osserva che se a = a e b = b non si ottiene lequazione della retta asse radicale ; in questo caso le due circonferenze sono concentriche e non hanno punti in comune o sono coincidenti. Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra lequazione della retta asse radicale e lequazione di una delle due circonferenze:

27 27 Particolari rette asse radicale : se a = a e b b le due circ. hanno i centri di uguale ascissa e lasse radicale ha equazione y = k ; se a a e b = b le due circ. hanno i centri di uguale ordinata e lasse radicale ha equazione x = k. Si può concludere quindi che: se le circonferenze sono tangenti, lasse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro punto di tangenza T; se si conosce lequazione dellasse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.

28 28 Esempi 1. Determina gli eventuali punti dintersezione delle due circonferenze di equazione: x 2 + y 2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x 2 + y 2 + 2x - 16y + 13 = Determina gli eventuali punti dintersezione delle due circonferenze di equazione: x 2 + y 2 – 1 = 0 e x 2 + y 2 – 3x + 2 = 0.

29 29 3. Determina gli eventuali punti dintersezione delle due circonferenze di equazione: x 2 + y 2 – 1 = 0 e x 2 + y 2 – 4x – 12 = 0.

30 30 Esercizi 1. Determina gli eventuali punti dintersezione delle due circonferenze assegnate. 2. Determina lequazione della circonferenza avente come diametro la corda comune alle circonferenze di equazione x 2 + y x + 4y + 6 = 0 e x 2 + y 2 + 4x + 4y – 10 = 0. [ x 2 + y 2 - 2x + 4y – 4 = 0 ] 1.Determina larea del quadrilatero i cui vertici sono i centri delle circonferenze di equazione x 2 + y 2 - 8x + 6y + 8 = 0 e x 2 + y 2 + 4x + 6y – 16 = 0 e i loro punti dintersezione. [ 6·13 1/2 ] 2.Verifica che le circonferenze di equazioni x 2 + y 2 – 2x – 9 = 0 e x 2 + y 2 + 4x – 2y – 35 = 0 sono tangenti internamente e trova il punto di tangenza T. [ T(4; -1) ] 3.Verifica che le circonferenze di equazioni x 2 + y 2 – 2y – 19 = 0 e x 2 + y 2 – 10x + 18y + 61 = 0 sono tangenti esternamente e determina lequazione dellasse radicale e della retta dei centri. [ x – 2y – 8 = 0 ; 2x + y – 1 = 0 ] 4.Verifica che le circonferenze di equazioni x 2 + y 2 – 6x – 12y + 40 = 0 e x 2 + y 2 – 9x – 18y = 0 sono tangenti esternamente e determina il punto di tangenza. [ T(4; 8) ] 5.Calcola larea del triangolo individuato dallasse delle y, dala retta dei centri delle circonferenze di equazione x 2 + y 2 + 6x – 1 = 0 e x 2 + y 2 + 8x – 6y + 5 = 0 e dal loro asse radicale. [ 15 ]

31 31 FASCI DI CIRCONFERENZE Definizione Fascio di circonferenze Date due circonferenze C e C, di equazioni x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 e x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 rispettivamente, si chiama fascio di circonferenze definito da C e C linsieme avente per elementi la circonferenza C e tutte le circonferenze rappresentate dallequazione: x 2 + y 2 + ax + by + c + k(x 2 + y 2 + ax + by + c) = 0, con k R. (*) Questa equazione è lequazione del fascio e le circonferenze C e C si dicono generatrici del fascio. Lequazione del fascio può essere scritta come segue: (1+k)x 2 + (1+k)y 2 + (a + ka)x + (b + kb)y + c + kc = 0, con k -1. Per k = -1 lequazione del fascio diventa lequazione della retta asse radicale del fascio: (a -a)x + (b -b)y + c -c = 0 Osservazioni Si ottiene lo stesso fascio se le equazioni di C e C si combinano linearmente mediante due parametri reali qualsiasi, non entrambi nulli: (x 2 + y 2 + ax + by + c) + (x 2 + y 2 + ax + by + c) = 0, con e R e o 0. Se, per esempio, è 0, questa combinazione lineare generale può essere ricondotta alla (*) dividendo per e ponendo / = k. Si ottiene lo stesso fascio se a C e C si sostituiscono altre due circonferenze del fascio, dove una delle due può essere lasse radicale ( lasse r. può essere considerato come una circonf. degenere di raggio infinito).

32 32 Le generatrici C e C possono avere uno o due punti comuni; tali punti si chiamano punti base del fascio. Il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è una retta perpendicolare allasse radicale e si chiama asse centrale. Si possono avere i seguenti tipi di fasci:

33 33 Esercizi 1. Determina lequazione del fascio di circonferenze definito dalle circonferenze di equazione x 2 + y 2 – 10x – 6y + 24 = 0 e x 2 + y 2 – 4x = 0, quindi trova le equazioni dellasse radicale e dellasse centrale del fascio. Combiniamo linearmente le due equazioni mediante un parametro reale k: x 2 + y 2 – 10x – 6y k( x 2 + y 2 – 4x) = 0 o anche (1+k)x 2 + (1+k)y 2 – (10 + 4k)x – 6y + 24 = 0. Lequazione dellasse radicale si ottiene per k = –1: – 6x – 6y + 24 = 0 ; y = – x + 4. Equazione dellasse centrale : 2. Determina lequazione del fascio di circonferenze passanti per i punti A(-1;2) e B(3;0). A e B sono i due punti base (1° caso in figura), quindi facciamo la combinazione lineare fra i due elementi del fascio che possiamo trovare facilmente: asse radicale, cioè retta AB e circonferenza di diametro AB. (1° caso in figura)

34 34 3. Studiare il fascio di circonferenze di equazione x 2 + y 2 – 3(2 – k)x + 4ky – 16 – 34k = 0. Lequazione può scriversi: x 2 + y 2 – 6x – 16 + k (3x + 4y – 34) = 0, quindi il fascio è generato dalla circonferenza x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 di centro C(3 ; 0) e dalla retta asse radicale 3x + 4y – 34 = 0.

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36 36 4. Studiare il fascio di circonferenze di equazione x 2 + y 2 – 4x + 2y + k – 3 = 0. Osservo che le coordinate del centro = - a/2 = 2 e = - b/2 = -1 sono costanti, indipendenti dal parametro k, quindi si tratta di un fascio di circonferenze concentriche di centro C(2 ; -1). Il fascio rappresenta circonferenze reali per – k + 3 0, cioè per k 8. Per k = 8 si ha la circonferenza degenere, che coincide con il punto C(2 ; -1). Infatti, per k = 8 si ha: x 2 + y 2 - 4x + 2y + 5 = 0, equazione che rappresenta una circonferenza di centro C(2; -1) e raggio = – 5 = 0. Conclusione: lequazione data rappresenta, per k 8, un fascio di circonferenze concentriche, di centro C(2 ; -1).

37 37 DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO CIRCONFERENZA – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le circonferenze nel caso (2). Esempi

38 38 Le limitazioni 0 < x 4 e y 0 individuano larco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le rette tangenti e per le rette passanti per A(4;0) e per O(0;0). Retta per O: è la retta generatrice y = x, alla quale non corrisponde alcun valore di k. Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4. Rette tangenti:

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40 40 La limitazione y 0 individua larco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza. Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti per A(-2;0) e per B(2;0). Retta per A: k – 2 = 0 ; k = 4. Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0. Retta tangente in T:

41 41 La limitazione -2 x 6 individua sulla retta x + 2y + 2 = 0 il segmento utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni retta – circonferenze. Il segmento utile ha come estremi A(-2 ; 0) e B(6 ; -4). Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le circonferenze tangenti e per le circonf. secanti il segmento AB. Circ. per A: k – 3 = 0 ; k = - 5. Circ. per B: – k – 3 = 0; k = -53. Circ. tangente:

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