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1 Fisica 2 Argomenti trattati Le variabili angolari. Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di inerzia,definizione e.

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1 1 Fisica 2 Argomenti trattati Le variabili angolari. Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di inerzia,definizione e collocamento del centro di massa, raggio giratorio,momento meccanico e momento angolare. Equazioni cardinali del moto di un sistema di punti materiali rigido. Rotazione in due dimensioni di un corpo rigido: il centro di massa, rotazione piana, momento angolare, conservazione del momento angolare. Centro di Massa; Momento di Inerzia: proprietà del Centro di Massa, collocazione del Centro di Massa. Calcolo del Momento di Inerzia. Teoremi del Momento di Inerzia. Energia cinetica Rotazionale. Rotazione nello spazio. Il momento meccanico in tre dimensioni,le equazioni della rotazione usando il prodotto vettoriale. Momento angolare di un corpo rigido in tre dimensioni. Lavoro energia e potenza nel moto rotatorio. Moto oscillatorio di un corpo rigido: il pendolo fisico il pendolo composto, il giroscopio. Attrito e rotolamento Equilibrio statico di un corpo rigido. Il diagramma di corpo libero. Vari esempi. Leve e c arrucole. Cenni sui sistemi deformabili Testi e dispense consigliati oSerway Principi di Fisica Seconda Edizione I volume editrice EdiSES oHalliday Resnick Walker Fondamenti di Fisica Quinta Edizione meccanica,termologia editrice Ambrosiana oIl materiale didattico distribuito a lezione e reperibile sul sito web:

2 2 richiami le variabili angolari

3 3 Posizione angolare:definizione di radiante polo di rotazione

4 4 Le variabili angolari posizione spostamento accelerazione media Velocità istantanea Velocità media accelerazione istantanea

5 5 altre variabili frequenza periodo La frequenza di rotazione è il numero di giri compiuti nellunità di tempo Il periodo del moto è lintervallo di tempo impiegato per compiere un giro completo evidentemente:

6 6 equazioni dimensionali [numero puro] LHertz

7 7 Gli spostamenti angolari finiti non sono vettori Lordine delle rotazioni cambia il risultato. Le rotazioni non commutano È possibile dimostrare che sono vettori gli spostamenti angolari infinitesimi

8 8 Le variabili angolari istantanee come vettori Per convenzione, lasse di rotazione è orientato con verso positivo verso lalto La rotazione è in verso orario, è diretta verso il basso, negativa La rotazione in verso antiorario, è diretta verso l alto,positiva come un vettore diretto come lasse di rotazione.

9 9 Moto circolare Relazione vettoriale tra velocità lineare e angolare, e vettore posizione

10 10 relazioni tra le variabili angolari posizione angolare velocità angolare accelerazione angolare allistante iniziale un caso particolare importante

11 11 variabili lineari e variabili angolari, accelerazione costante accelerazione costante

12 12 Un esercizio

13 13 Dalle variabili angolari alle variabili lineari Rotazione piana di un punto materiale a distanza r dallasse, o dal polo di rotazione importante: gli angoli sono in radianti

14 14 richiami:accelerazione e velocità Per produrre una curva, la forza risultante deve formare un angolo con la velocitàPer produrre una curva, la forza risultante deve formare un angolo con la velocità. Possiamo scomporre la forzaPossiamo scomporre la forza In tal caso, laccelerazione che è sempre parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla velocità ed una normale alla velocità: una tangenziale ed una normale alla traiettoriaIn tal caso, laccelerazione che è sempre parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla velocità ed una normale alla velocità: una tangenziale ed una normale alla traiettoria. la accelerazione tangenziale causa il cambimento del modulo della velocità, mentre quella normale ( o radiale) cambia la direzionela accelerazione tangenziale causa il cambimento del modulo della velocità, mentre quella normale ( o radiale) cambia la direzione

15 15 richiami moto di un punto materiale soggetto ad una forza F

16 16 quantità di moto, o momento lineare moto di un punto materiale soggetto alla forza F momento meccanico, rispetto ad un polo distante r dal punto momento angolare, rispetto ad un centro di rotazione, o polo, distante r dal punto energia cinetica rotazionale momento di inerzia, rispetto ad un polo distante r dal punto energia cinetica rotazionale, in funzione del momento di inerzia

17 17 Energia cinetica rotazionale per una singola particella in moto rotatorio Lenergia cinetica di rotazione è uguale al prodotto del momento di inerzia il quadrato della velocità angolare, diviso due

18 18 richiami il momento meccanico

19 19 Retta o linea di azione di F Braccio di leva di F Centro di rotazione definizione di momento meccanico di un punto materiale A, rispetto ad un polo O richiami

20 20 Una forza F,giacente sul piano xy agisce su una particella posizionata in A. Questa forza esercita sulla particella un momento meccanico =r F rispetto allorigine O Il vettore è diretto come z e la sua intensità è r F=rF Il vettore è diretto come z e la sua intensità è r F=rF Braccio di F Dimensioni il momento meccanico è un vettore che risulta da un prodotto vettoriale

21 21 Il momento meccanico è un vettore libero che si ottiene come momento polare od assiale del vettore forza (F,P) applicata nel punto P

22 22 metodo scalare determinazione del momento meccanico rispetto ad un punto. metodo vettoriale

23 23 Il momento delle forze è un vettore ed ubbidisce al principio di sovrapposizione Se più momenti agiscono su un corpo, la loro somma prende il nome di momento risultante delle forze, oppure momento netto. Momento netto

24 24 propietà del momento meccanico rispetto ad un punto: il principio dei momenti il momento di una forza rispetto ad un polo è uguale alla somma dei momenti delle sue componenti rispetto a quello stesso polo

25 25 polo di rotazione relazione tra il momento meccanico ed il momento di inerzia, nel caso del moto rotatorio di un punto materiale su un piano Angoli in radianti Dimostrazione della II legge di Newton per il moto rotatorio di un punto materiale

26 26 richiami: momento angolare di un punto materiale xy Un punto materiale di massa m si trova nel punto A e si muove sul piano xy con un momento (o quantità di moto) p. un momento angolare ( della quantità di moto Rispetto allorigine O, esso ha un momento angolare ( o della quantità di moto):

27 27 Dimensioni nel sistema SI richiami: momento angolare di un punto materiale

28 28 il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme Nel caso del moto circolare uniforme la velocità del punto materiale,costante ed r, distanza dal centro di rotazione, sono sempre perpendicolari e giacciono entrambi sul piano dellorbita circolare del punto La direzione del momento angolare, rispetto al centro dellorbita, è perpendicolare al piano dellorbita. Il verso si calcola come per il prodotto vettoriale. Nel moto circolare uniforme, il momento angolare è costante se il centro di rotazione è posto nellorigine, ( o polo) ma non se lorigine è posta altrove. il momento angolare si conserva.In tal caso il momento angolare si conserva.

29 29 il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme una relazione importante Questa relazione è importante, perchè collega il modulo del momento angolare con la quantità I=mr 2, che è il momento di inerzia del punto materiale. Nel caso del punto materiale I non ha un grande interesse. Vedremo che nel caso dei sistemi estesi rigidi, invece, I è la quantità che descrive la distribuzione della massa del sistema in questione, necessaria per determinarne la dinamica

30 30 In genere il momento angolare di un punto materiale varia in direzione istante per istante. rv l Nel caso particolare in cui il punto materiale si muove su un piano, che contiene il centro di rotazione O,che considereremo lorigine delle coordinate, allora r e v sono coplanari ed l è sempre perpendicolare al piano. Per il caso di moto circolare se il momento angolare è calcolato rispetto ad al centro del cerchio si ha : Momento angolare e velocità angolare vettore diretto come il momento angolare. Nel caso del moto circolare possiamo convenzionalmente definire la velocità angolare come un vettore diretto come il momento angolare. r il modulo della velocità lineare è r

31 31 OSSERVAZIONE Nel caso del moto circolare uniforme il momento angolare rispetto al centro della traiettoria è costante: r,m,v sono costanti. Quando il punto materiale si muove attorno ad un centro di forza, verso cui punta la forza che lo fa girare allora il momento angolare è costante. Una forza che punta verso un polo si chiama forza centrale Il momento angolare si conserva se il punto materiale si muove sotto lazione di una forza centrale

32 relazione tra momento angolare e momento meccanico per un punto materiale in moto rotatorio, attorno ad un centro O Seconda legge di Newton, in forma angolare

33 33 le equazioni cardinali del moto di un punto materiale soggetto ad una forza

34 34 Seconda legge di Newton in forma angolare per un punto materiale. La somma vettoriale di tutti i momenti delle forze che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento angolare della particella La somma vettoriale di tutte le forze che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempo del momento lineare della particella

35 35 Leggi di conservazione se il punto materiale non è soggetto a forze esterne, la sua quantità di moto si conserva se il punto materiale non è soggetto a momenti meccanici esterni, il suo momento angolare si conserva


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