Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione d’onda e sue proprietà

Presentazione sul tema: "Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione d’onda e sue proprietà"— Transcript della presentazione:

1 Onde 1 29 novembre 2012 Campi e onde Equazione d’onda e sue proprietà
Soluzioni dell’equazione delle onde Onde sferiche Tipologia Onde stazionarie Fronti d’onda, raggi (Energia di un’onda meccanica)

2 Campi Matematicamente sono funzioni reali (o complesse) che rappresentano grandezze fisiche Sono definiti nello spazio tridimensionale (o in opportuni sottoinsiemi 3-D, 2-D, 1-D) e nel tempo Se non dipendono dal tempo sono detti statici Se hanno ovunque (nell’insieme spaziale di definizione) lo stesso valore sono detti uniformi

3 Campi Se basta una sola funzione a definirli completamente, il campo è detto scalare (campo della temperatura) Se occorre una funzione per ogni dimensione spaziale, il campo è detto vettoriale (campo della velocità di un fluido)

4 Onde Sono perturbazioni delle condizioni di equilibrio statico di un campo, generate da una sorgente e che si propagano nello spazio e nel tempo Possono essere periodiche o impulsive Possono richiedere un mezzo materiale (onda meccanica) oppure possono propagarsi nel vuoto (onda elettromagnetica) Si propagano con una velocità che dipende dalla natura del campo e del mezzo

5 Funzione d’onda Un’onda viene rappresentata matematicamente con una funzione dello spazio e del tempo detta funzione d’onda

6 Equazione d’onda L’equazione che descrive il moto di un’onda
prende il nome di equazione d’onda o di d’Alembert e descrive in generale tutte le onde che dipendono da una sola variabile spaziale e dal tempo f=f(x,t) Può essere generalizzata al caso di due o tre variabili spaziali cioè f=f(x,y,z,t)

7 Proprietà dell’eq. d’onda
Nell’eq. le derivate della funzione incognita f compaiono con esponente 1, inoltre esse sono operazioni lineari Questo ha l’importante conseguenza che se f e g sono due soluzioni, allora è soluzione anche qualunque loro combinazione lineare h=f+g Vediamolo:

8 Proprietà dell’eq. d’onda
E similmente per le derivate rispetto alle altre variabili Se moltiplichiamo per  l’equazione e per  l’equazione e le sommiamo, otteniamo Sfruttando la proprietà vista

9 Proprietà dell’eq. d’onda
Cioè anche h è soluzione: Questa proprietà permette trattare il problema di sorgenti multiple: Si considera un problema distinto per ogni sorgente e se ne trovano le soluzioni odulatorie Si sommano poi queste soluzioni, cioè le onde delle singole sorgenti Tale somma è soluzione del problema in cui le sorgenti agiscono contemporaneamente Questo è il principio di sovrapposizione delle onde

10 Soluzioni dell’eq. delle onde
Abbiamo visto che le soluzioni dell’eq. sono dette onde piane e che una qualunque funzione di argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa equazione

11 Soluzioni dell’eq. delle onde
Vogliamo ora dimostrare questo risultato Eseguiamo il cambiamento di variabili La cui trasformazione inversa è

12 Soluzioni dell’eq. delle onde
Diciamo F la funzione f espressa in termini delle nuove variabili Esprimiamo le derivate rispetto alle nuove variabili

13 Soluzioni dell’eq. delle onde
Le derivate seconde divengono Sostituendo nell’eq. delle onde otteniamo

14 Soluzioni dell’eq. delle onde
E semplificando L’integrazione di questa eq. è molto semplice: se la derivata rispetto alla variabile  è nulla allora la funzione tra parentesi può dipendere solo dall’altra variabile,  : ove g è una funzione arbitraria di 

15 Soluzioni dell’eq. delle onde
Per trovare F(, ) basta infine integrare rispetto a , operazione che dà una funzione di  (la primitiva di g) più un’arbitraria funzione di  Ritornando alle variabili iniziali, ne segue la tesi

16 Soluzioni dell’equazione delle onde
Vogliamo ora studiare un’eq. un po’ piu` complicata In cui f sia funzione del tempo e del modulo del vettore posizione, cioe` f abbia simmetria sferica Dobbiamo esprimere il laplaciano in coordinate sferiche Poiche’ f non dipende dalle variabili angolari q e f, gli operatori corrispondenti danno risultato nullo, rimane quindi da calcolare solo il primo addendo

17 Onde sferiche A tal fine esprimiamo f come Il laplaciano diventa
e l’eq. d’onda Moltiplicando per r otteniamo l’eq. delle onde piane per F Poiche’ tale eq. ha per soluzioni L’eq. di partenza ha per soluzioni Tali soluzioni sono dette onde sferiche Ad es. per onde sinusoidali

18 Tipologia Onde meccaniche: hanno bisogno di un mezzo materiale per essere prodotte e per propagarsi Onde elettromagnetiche: si propagano anche nel vuoto

19 Tipologia Onde longitudinali: l’oscillazione microscopica del mezzo è parallela alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda Onde trasversali: l’oscillazione microscopica del mezzo è perpendicolare alla direzione del moto macroscopico di propagazione dell’onda; sono dunque possibili due direzioni indipendenti dell’oscillazione (ovvero due polarizzazioni)

20 Tipologia Onde: Trasversali
sulla superficie di un liquido o su una membrana su una corda nel vuoto: onde e.m. Longitudinali sonore in un fluido Onde sismiche di volume Miste sonore in un solido onde sismiche: le onde p, o primarie, sono longitudinali e le onde s, o secondarie, sono trasversali; le onde p sono piu` veloci delle onde s

21 Soluzioni sinusoidali
L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla teoria di Fourier, secondo cui qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di funzioni sinusoidali Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in generale, lo sviluppo contiene infiniti termini

22 Onde stazionarie La sovrapposizione di un’onda progressiva e di una regressiva di ugual ampiezza costituisce un’onda stazionaria 22

23 Onde stazionarie sinusoidali
Sono del tipo Sviluppando i seni, otteniamo Cioè la dipendenza dallo spazio e dal tempo è fattorizzata I massimi e i minimi della funzione spaziale si dicono ventri, mentre gli zeri si dicono nodi

24 Onde stazionarie. Due estremi vincolati
Relazione tra lunghezza d’onda l, frequenza f e lunghezza L della corda n=1, frequenza fondamentale n=2, prima armonica n=3, seconda armonica 1 ventre, 2 nodi 2 ventri, 3 nodi 3 ventri, 4 nodi

25 Onde stazionarie. Un estremo vincolato
Relazione tra lunghezza d’onda l e lunghezza L della corda 1 ventre, 1 nodo 2 ventri, 2 nodi 3 ventri, 3 nodi

26 Onde stazionarie. Estremi liberi
Relazione tra lunghezza d’onda l e lunghezza L della corda 2 ventri, 1 nodo 3 ventri, 2 nodi 4 ventri, 3 nodi

27 Onde piane Le onde piane sinusoidali (p.e. progressive) sono del tipo
Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie piana Per un’onda piana le superfici di ugual fase sono piani x

28 Onde sferiche Le onde sferiche sinusoidali (p. e. progressive) sono del tipo Studiamo la varietà geometrica definita quando la fase è costante Ad un determinato istante di tempo questa eq. rappresenta una superficie sferica di raggio r Per un’onda sferica le superfici di ugual fase sono superfici sferiche r

29 Superfici di egual fase
A seconda del valore della fase le superfici possono essere superfici di massimo, di minimo o di altra fase Vengono anche dette fronti d’onda La direzione localmente perpendicolare alla superficie di egual fase è la direzione di propagazione dell’onda in quel punto Se scegliamo un punto sulla superficie d’onda e lo seguiamo nel tempo, esso traccia una linea localmente perpendicolare, istante per istante, alla superficie d’onda Tali linee vengono dette raggi

30 Raggi Per le onde piane i raggi sono rette parallele,
per le onde sferiche sono semirette con origine comune x r

31 Energia delle onde Vogliamo calcolare l’energia associata ad un’onda
Per semplicità ci limiteremo ad onde piane di tipo sinusoidale In tutta generalità considereremo un’espressione valida sia per onde trasversali (T) che longitudinali (L) Faremo il calcolo per i due casi Onda progressiva Onda stazionaria

32 Energia di un’onda progressiva
Consideriamo una piccola quantità di materia di volume dV e massa dm di dimensione dx nella direzione x di propagazione Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge Per onde T, f rappresenta l’oscillazione trasversale rispetto a x Per onde L, f rappresenta l’oscillazione lungo x L’energia potenziale dell’elemento materiale è

33 Energia di un’onda progressiva
L’energia cinetica L’energia meccanica totale è dunque Per trovare le energie corrispondenti ad una lunghezza L dell’onda, integriamo rispetto alla massa, supposta distribuita con densità uniforme m lungo x

34 Energia di un’onda progressiva
Otteniamo Per semplicità scegliamo cioè una regione spaziale di estensione multipla di lunghezza d’onda. Posto che l’integrale in U (e in K, scambiando sin con cos) diventa

35 Energia di un’onda progressiva
Infine Quindi l’energia dell’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’onda al quadrato della frequenza dell’onda alla massa della materia coinvolta mL

36 Energia di un’onda stazionaria
Il volume considerato oscilli attorno alla posizione di equilibrio x* con legge L’energia potenziale dell’elemento materiale dm è L’energia cinetica L’energia totale

37 Energia di un’onda stazionaria
L’energia dell’onda, su una lunghezza multipla, p.e., di mezza lunghezza d’onda, si trova integrando su x Poiche’ l’onda è una sovrapposizione di due onde di ugual ampiezza A’, abbiamo A=2A’, ne segue che la sua energia è uguale alla somma delle energie delle onde componenti