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Ottica geometrica 3 18 gennaio 2013 Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo, ingrandimento Diottro piano Lenti sottili, eq. delle.

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Presentazione sul tema: "Ottica geometrica 3 18 gennaio 2013 Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo, ingrandimento Diottro piano Lenti sottili, eq. delle."— Transcript della presentazione:

1 Ottica geometrica 3 18 gennaio 2013 Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo, ingrandimento Diottro piano Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento Sistemi di lenti, doppietti addossati Telescopio

2 Diottro convesso Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione diverso, separati da una superficie, costituiscono un diottro Noi studieremo i diottri con superficie sferica o piana Supponiamo che il mezzo di sinistra abbia indice n 1 e il mezzo di destra n 2 e che n 1 < n 2 N H C V P Q i t Come per gli specchi abbiamo le relazioni geometriche 2

3 Diottro convesso Ora la relazione tra i e t è data dalla legge di Snell Ricordiamo le relazioni tra angoli e segmenti (y = NH) N H C V P Q i t 3

4 Diottro convesso In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno e la tangente di un angolo con langolo stesso e VH~0 La legge di Snell diviene allora Moltiplicando per n 1 e per n 2 e sottraendo membro a membro si ottiene N H C V P Q i t ovvero 4

5 Diottro convesso Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo leq. del diottro Poiché non vi compare la posizione di N (cioè y) il diottro è uno strumento stigmatico (nellAG) N H C V P Q i t 5

6 Convenzione dei segni Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle distanze che permette di usare lequazione trovata in tutti i casi (diottro convesso, concavo; oggetto in diverse posizioni) –La luce proviene da sinistra (spazio dincidenza) e va a destra (spazio di trasmissione) –o è positiva se loggetto è nello spazio di incidenza, negativa se giace nello spazio di trasmissione –i è positiva se limmagine è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza –R è positiva se il centro di curvatura è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza 6

7 Fuoco posteriore Facendo tendere il punto oggetto P allinfinito, limmagine Q tende ad un punto detto fuoco posteriore La posizione del fuoco posteriore (i = f 2 ) è C V F2F2 i t 7

8 Fuoco anteriore Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore, limmagine Q tende allinfinito La posizione del fuoco anteriore (o = f 1 ) è C V F1F1 i t 8

9 Eq. del diottro convesso Con la definizione delle due distanze focali si può scrivere leq. del diottro nella forma Le distanze focali sono sempre diverse e stanno nel rapporto 9

10 Diottro concavo Ora le relazioni geometriche sono Da cui E grazie alle convenzioni dei segni diventa N H C V P Q i t 10

11 Immagine di punti fuori asse Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sullasse, sostituendo questultimo con la retta PC C V P Q P Q 11

12 Immagine di punti fuori asse Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e laltra di raggio CQ e siano P e Q le intersezioni con lasse (PC=PC, QC=QC) La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P e Q Quindi il diottro trasforma una superficie sferica oggetto PP in una superficie sferica immagine QQ C V P Q P Q 12

13 Immagine di punti fuori asse Grazie allapprossimazione parassiale, le porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane I diottri trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari allasse in superfici immagine piane perpendicolari allasse C V P Q P Q 13

14 Tracciamento dellimmagine Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare allasse in un segmento immagine perpendicolare allasse, basta quindi considerare i due punti estremi delloggetto per conoscere lestensione dellimmagine Essendo il diottro stigmatico, bastano due raggi per determinare un punto immagine I raggi notevoli emessi dalloggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo allasse che viene rifratto nel fuoco posteriore – Il raggio passante per il fuoco anteriore che viene rifratto parallelamente allasse – Il raggio passante per il centro di curvatura che viene rifratto senza deviazione 14

15 Ingrandimento Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangolo PPV e QQV abbiamo Dividendo membro a membro C V P P Q Q i t E usando la convenzione dei segni 15

16 Diottro piano In questo caso R è infinito, per conseguenza Il segno negativo significa che limmagine non sta nello spazio di trasmissione, ma in quello dincidenza (è virtuale) Poiché n 1 < n 2 limmagine è più distante dalla superficie del diottro di quanto lo sia loggetto; se il mezzo con n maggiore fosse a sinistra avverrebbe linverso, limmagine sarebbe più vicina alla superficie P Q 16

17 Diottro piano Lingrandimento è dato da Cioè limmagine è dritta e delle stesse dimensioni delloggetto P QP Q 17

18 Esercizio: diottro+specchio Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n 1, n 2 accoppiato ad uno specchio piano posto a distanza s dalla superficie del diottro Trovare limmagine del punto oggetto P s n 1 =1 n 2 =n P VDVD VSVS

19 Prima immagine del diottro (Q 1 ) Distanza oggetto PV D =o=o 1 Distanza immagine Q 1 V D =i 1 Equazione del diottro Da cui s n 1 =1 n 2 =n PQ1Q1 VDVD VSVS

20 Immagine dello specchio(Q 2 ) Distanza oggetto Q 1 V S =o 2 =-i 1 +s Distanza immagine Q 2 V S =i 2 Equazione dello specchio Da cui s n 1 =1 n 2 =n PQ1Q1 Q2Q2 VDVD VSVS

21 Seconda immagine del diottro (Q 3 ) Distanza oggetto Q 2 V D =o 3 =-i 2 +s Distanza immagine Q 3 V D =i 3 =i Equazione del diottro Da cui Effettuando le sostituzioni s n 1 =1 n 2 =n PQ1Q1 Q2Q2 Q3Q3 VDVD VSVS

22 Lenti sottili Una lente può essere considerata linsieme di due diottri Lazione totale della lente è data dalla rifrazione successiva dei due diottri Le lenti più semplici sono quelle sottili, cioè con spessore trascurabile rispetto alle altre lunghezze in gioco Solitamente le lenti sono immerse in aria Siano R 1 e R 2 i raggi di curvatura delle superfici della lente e n lindice di rifrazione del materiale relativo allaria 22

23 Lenti sottili Sia P loggetto, a distanza o = o 1 dalla prima superficie (S1) La distanza i 1 dellimmagine formata dalla rifrazione di S1 è data dalla formula del diottro P Q1Q1 Q o = o 1 i1i1 i = i 2 S1S2 s o2o2 23

24 Lenti sottili Limmagine formata da S1 (virtuale nel nostro caso) diventa loggetto per S2 Poiché davanti alla superficie le distanze degli oggetti sono positive e quelle delle immagini negative, vale la relazione P Q1Q1 Q o = o 1 i1i1 i = i 2 S1S2 s o2o2 24

25 Lenti sottili La distanza delloggetto da S2, trascurato lo spessore s della lente, è uguale, in valore assoluto, a quella dellimmagine da S1 La rifrazione di S2 si trova applicando leq. del diottro con n 1 = n e n 2 = 1, i 2 = i P Q1Q1 Q o = o 1 i 1 - o 2 i = i 2 S1S2 25

26 Distanza focale Eq. delle lenti sottili Sommando membro a membro con leq. del primo diottro otteniamo Poiche la distanza focale è la distanza dellimmagine (f=i) quando la distanza delloggetto è infinita (o= ), otteniamo detta formula dei fabbricanti di lenti e leq. delle lenti sottili assume la forma 26

27 Lente convergente Consideriamo una lente biconvessa con indice n > n amb cioè maggiore di quello dellambiente circostante I fronti donda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro maggiore al centro della lente che nella parte esterna Poiché la velocità della luce è minore nel vetro che nellaria, la parte centrale di ciascun fronte donda è in ritardo rispetto alla parte esterna Questo produce unonda sferica che converge nel fuoco F, e i raggi, perpendicolari ai fronti, passano per F F Simbolo della lente convergente 27

28 Lente divergente Consideriamo una lente biconcava con indice n > n amb I fronti donda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro minore al centro della lente che nella parte esterna La parte centrale di ciascun fronte donda è in anticipo rispetto alla parte esterna Questo produce unonda sferica che diverge e i prolungamenti dei raggi, perp. ai fronti, passano per F Simbolo della lente divergente F 28

29 Distanza focale La distanza focale di una lente è data dalla formula Per una lente convergente biconvessa, le convenzioni del diottro stabiliscono che R 1 è positivo e R 2 è negativo, ne segue che la distanza focale risulta positiva Le lenti convergenti sono anche dette positive Per una lente divergente biconcava, al contrario, R 1 è negativo e R 2 è positivo, la distanza focale risulta negativa Le lenti divergenti sono anche dette negative 29

30 Fuochi Se sistemiamo loggetto in modo che il fascio emergente dalla lente sia costituito da raggi paralleli (ovvero limmagine vada allinfinito), individuiamo il primo fuoco F della lente Viceversa, il punto in cui un fascio parallelo (quello emesso da un oggetto posto allinfinito) viene fatto convergere dalla lente è detto secondo fuoco F FF 30

31 Fuochi Per lenti divergenti occorre considerare non i raggi, ma i loro prolungamenti primo fuoco F: fascio emergente parallelo secondo fuoco F: fascio incidente parallelo FF 31

32 Distanza focale In una lente ci sono due fuochi, ma una sola distanza focale Infatti, ribaltando la lente, le superfici S1, S2 si scambiano e anche i due raggi si scambiano E inserendo nella formula della distanza focale otteniamo lo stesso valore R 1 > 0 R 2 < 0 R 1 > 0 32

33 Tracciamento dellimmagine I raggi notevoli emessi dalloggetto sono, in questo caso – Il raggio parallelo allasse che viene rifratto nel secondo fuoco – Il raggio passante per il primo fuoco che viene rifratto parallelamente allasse – Il raggio passante per il centro della lente che viene rifratto senza deviazione (le facce della lente sono parallele per questo raggio e quindi esso emerge nella stessa direzione, ma lievemente spostato. Poiché la lente è sottile, tale spostamento è trascurabile) 33

34 Ingrandimento Usiamo il raggio incidente nel centro della lente: dai triangolo PPC e QQC abbiamo e tenendo conto della convenzione dei segni P P Q Q C 34

35 La potenza, o potere diottrico, di una lente è linverso della distanza focale Lunità di misura della potenza è la diottria D corrispondente allinverso del metro Come conseguenza del segno di f, la potenza è –positiva per lenti convergenti –negativa per lenti divergenti Potenza di una lente 35

36 Se si hanno più lenti, si può trovare limmagine del sistema procedendo una lente per volta Limmagine di una lente, reale o virtuale che sia, sarà loggetto della lente consecutiva P.e. nel caso di due lenti si usa la distanza immagine della prima lente, assieme alla distanza d tra le lenti, per determinare la distanza oggetto della seconda lente Sistemi di lenti 36

37 Si dicono addossate lenti la cui distanza è nulla Si può dimostrare (nel caso di due lenti) che vale la seguente relazione tra le distanze focali delle lenti e la distanza focale equivalente del sistema Ovvero, in termini di potenza Lenti sottili addossate 37

38 Sia dato un sistema di due lenti addossate di fuochi rispettivi f 1 e f 2, troviamo limmagine Q di un punto oggetto P A tal fine troviamo dapprima limmagine Q 1 dovuta alla lente L1 Lenti sottili addossate L1 P 1 =P Q1Q1 P 38

39 Oggetti virtuali I raggi principali per la prima lente, che ci hanno permesso di costruire limmagine della prima lente, non lo sono necessariamente per la seconda Per trovare i raggi principali per la seconda lente si puo` procedere come segue Ricordiamo che limmagine della prima lente diviene loggetto della seconda lente 39

40 Oggetti virtuali Tracciamo allora allindietro, cioe` da DX a SX i raggi uscenti dalloggetto, principali per la seconda lente, fino a oltrepassare la lente, e come se questa non agisse Invertiamo ora il verso dei raggi e costruiamo i raggi rifratti dalla lente Otterremo cosi limmagine della seconda lente L2 P 2 =Q 1 L2 Q 2 =Q 40

41 E quindi limmagine dovuta alla lente L2 Sommando membro a membro le due eqq., otteniamo Poiché il primo membro è linverso della distanza focale equivalente del doppietto, otteniamo la tesi Lenti sottili addossate P Q L2 Q 2 =Q P 2 =Q 1 41

42 Strumenti ottici composti Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i telescopi Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto lontani Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dellangolo sotto cui loggetto e` visto con lo strumento e la tangente dellangolo sotto cui e` visto senza strumento 42

43 Telescopio Nella versione piu` semplice un telescopio e` formato da due lenti Una, la piu` vicina allocchio dellosservatore e` detta oculare (distanza focale f c ) Laltra e` detta obiettivo (distanza focale f b ) 43

44 Telescopio di Galileo E` formato da due lenti convergenti Diciamo l la lunghezza del telescopio, definita come somma delle distanze focali delle lenti e y la dimensione dellimmagine delloggetto allinfinito Lingrandimento visuale risulta obiettivo oculare l y 44

45 Telescopio di Keplero Lobiettivo e` una lente convergente, loculare e` ora una lente divergente La lunghezza l del telescopio, e` con il vantaggio di compattezza rispetto al TdG Lingrandimento visuale risulta obiettivo oculare l y 45

46 Strumenti ottici composti Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i microscopi Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto piccoli Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dellangolo sotto cui loggetto e` visto con lo strumento e la tangente dellangolo sotto cui e` visto senza strumento alla distanza prossima di visione nitida (d=25 cm) 46

47 Microscopio Nella versione piu` semplice un microscopio e` formato da due lenti convergenti Una, la piu` vicina allocchio dellosservatore e` detta oculare (distanza focale f c ) Laltra e` detta obiettivo (distanza focale f b molto piccola) 47

48 Microscopio Diciamo l la lunghezza del microscopio, definita come distanza tra il 2° fuoco della prima lente e il 1° fuoco della seconda lente Siano y e y le dimensioni delloggetto e dellimmagine 48 obiettivo oculare l y y

49 Microscopio La distanza delloggetto devessere di poco maggiore della distanza focale dellobiettivo, di modo che limmagine sia reale e molto ingrandita Si sposta lobiettivo mantenendo fermi sia loggetto che loculare, fintanto che limmagine dellobiettivo cada nel 1° fuoco delloculare Lingrandimento visuale risulta 49 obiettivo oculare l y y


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