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Cinematica del moto rotatorio Sino adesso ci siamo occupati del moto traslatorio di un corpo. In questo caso ciascun punto del corpo si muove come tutti.

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1 Cinematica del moto rotatorio Sino adesso ci siamo occupati del moto traslatorio di un corpo. In questo caso ciascun punto del corpo si muove come tutti gli altri e quindi il moto di una singola particella, il punto materiale, è rappresentativo del moto dell’intero corpo. Adesso studieremo il moto rotatorio di un corpo. Cioè il caso in cui il corpo ruota attorno ad un certo asse. Per semplicità cominciamo a considerare il caso di un corpo rigido. Cioè un corpo in cui le distanze relative fra tutti i punti sono costanti, anche quando il corpo è soggetto a forze esterne. In questo caso, potremo trascurare eventuali vibrazioni del corpo in questione. 1

2 Sia una particella che un corpo rigido in moto traslatorio si possono identificare univocamente assegnando loro una posizione x, y, z nel nostro sistema di riferimento. Queste 3 coordinate tuttavia non sono sufficienti se il corpo rigido è anche soggetto ad un moto rotatorio oltre che ad un moto traslatorio. In generale, oltre alle tre coordinate x, y, z che definiscono la posizione di un punto di riferimento del corpo rigido, serviranno anche altre tre coordinate, tipicamente degli angoli, che definiscono l’orientazione del corpo rispetto al sistema di riferimento. 2

3 Le figure di seguito illustrano la differenza fra moto semplicemente traslatorio e moto traslatorio + rotatorio di un corpo rigido e la conseguente necessità di definire 6 coordinate x y Moto traslatorio 3

4 x y Moto traslatorio + rotatorio 4

5 x y In questo caso, oltre che definire le coordinate x 0 -y 0 del punto di riferimento 0 sul corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento, dovremo definire anche l’orientazione di un sistema di assi x’-y’ solidale col corpo, rispetto al nostro sistema di riferimento x-y y’ x’ 5

6 Studieremo questo tipo di moto separando il moto traslatorio dal moto rotatorio. Applicheremo in sostanza il principio di sovrapposizione. Cioè: ad ogni istante lo stato del corpo è definibile in base ad una traslazione + una rotazione 6

7 x y Traslazione Rotazione 7

8 x y Traslazione Rotazione 8

9 x y Traslazione Rotazione 9

10 Abbiamo già visto che per un sistema di particelle, rigido o non rigido, il centro di massa (baricentro) si muove come se tutta la massa fosse concentrata in quel punto e se tutte le forze esterne agissero su quel punto. Cioè il moto del centro di massa di un corpo rigido è determinato dalla: F est = m totale a baricentro Questo moto è ovviamente solo traslatorio, essendo il baricentro un punto. Quindi: a)Il moto traslatorio di un corpo può essere descritto dal moto del suo baricentro b)Il moto rotatorio sarà descritto dalla rotazione del corpo in questione rispetto ad un determinato sistema di assi 10

11 Definizione formale di moto puramente traslatorio e di moto puramente rotatorio Il moto di un corpo rigido è puramente traslatorio se tutti i punti del corpo subiscono lo stesso spostamento in un dato intervallo di tempo Il moto di un corpo rigido è puramente rotatorio se tutti i punti del corpo si muovono su dei cerchi i cui centri sono localizzati tutti lungo una retta detta asse di rotazione 11

12 Se per ogni punto del corpo in questione, tracciamo dei segmenti perpendicolari all’asse di rotazione, tutti questi segmenti ruoteranno di uno stesso angolo Δ θ in un dato intervallo di tempo Δt Δ θΔ θ Δ θΔ θ 12

13 E questo va inteso anche nel caso 3D 13

14 E questo va inteso anche nel caso 3D 14

15 Per semplicità di trattazione, adesso prenderemo in considerazione il caso di un corpo rigido che si estende solo in superfice, per esempio su un piano x-y e che ruota attorno ad un punto 0, preso come origine del sistema di assi. In questo caso l’asse di rotazione è l’asse z che interseca perpendicolarmente il piano x-y passando per 0. x y z O 15

16 x y z O P θ Consideriamo un generico punto P e consideriamo il segmento O-P. Questo segmento è fisso rispetto al corpo e ruota con esso. Ad ogni istante possiamo individuare la posizione del corpo specificando l’angolo θ che il segmento O-P forma con l’asse x, che stabiliremo positivo nel caso di rotazione in senso antiorario. θ  θ (t) 16

17 Stabiliremo di misurare gli angoli in radianti. Un radiante è l’angolo al centro in un cerchio sotteso da un arco di s lunghezza pari al raggio R. Pertanto un angolo θ è espresso in radianti dalla relazione θ = s / R s = R R 1 rad Poiché la circonferenza di un cerchio di raggio R è lunga 2πR, vi sono 2π radianti in un angolo giro. Quindi 2π rad = 360°  1 rad ≈ 57,3 ° 17

18 Supponiamo che il corpo rigido in questione ruoti in senso antiorario. Indichiamo con θ 1 l’angolo formato dal segmento O-P con l’asse x all’istante t 1 e con θ 2 l’angolo al tempo t 2. Lo spostamento angolare nell’intervallo di tempo Δt = t 2 − t 1 sarà Δθ = θ 2 − θ 1 Definiremo la velocità angolare media del corpo nell’intervallo Δt : = (θ 2 − θ 1 ) / (t 2 − t 1 ) = Δθ / Δt In perfetta analogia con quanto abbiamo studiato in cinematica nel caso lineare, la velocità angolare istantanea sarà data dal limite per Δt  0 di questo rapporto: ω(t) = lim Δθ / Δt = dθ /dt Δt  0 18

19 La velocità angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo: [ T -1 ] e in generale l’unità di misura è il radiante / sec 19

20 Se la velocità angolare ω (t) di un corpo non è costante, il corpo è soggetto ad una accelerazione angolare. In analogia con quanto abbiamo già studiato, indicate con ω 1 e ω 2 le velocità angolari agli istanti t 1 e t 2 l’accelerazione angolare media è definita dalla relazione: = (ω 2 − ω 1 ) / (t 2 − t 1 ) = Δ ω / Δt e di conseguenza l’accelerazione angolare istantanea è data dalla relazione α (t) = lim Δ ω / Δt = d ω /dt Δt  0 20

21 L’accelerazione angolare ha le dimensioni dell’inverso di un tempo quadrato: [ T -2 ] e in generale l’unità di misura è il radiante / sec 2 21

22 Analogia fra le grandezze cinematiche lineari e quelle angolari Caso lineareCaso rotazionale x[L]θ[ ] v = dx /dt[L T -1 ]ω = dθ /dt[T -1 ] a = dv/dt = d 2 x/dt 2 [L T -2 ]α = dω/dt = d 2 θ/dt 2 [T -2 ] Le dimensioni lineari differiscono dalle corrispondenti dimensioni angolari per un fattore avente dimensione di una lunghezza, il che deriva dalla definizione di radiante θ= s / R che è un numero puro, essendo il rapporto fra due lunghezze 22

23 Carattere vettoriale delle grandezze rotazionali Avevamo visto che in cinematica lineare lo spostamento, la velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali, cioè necessitano anche della definizione di una direzione e di un verso per essere individuate. Poi avevamo anche visto che nel caso unidimensionale la trattazione era riconducibile al semplice caso scalare, in quanto la direzione è già individuata, e il verso è specificato dal segno della grandezza scalare. A prima vista sembra che anche le grandezze rotazionali siano dei vettori, in quanto per ogni rotazione dobbiamo individuare l’asse di rotazione e il verso. E anche in questo caso laddove esiste solo un asse preassegnato, possiamo trattare le grandezze in questione come scalari. Tuttavia, prima di affermare che le grandezze rotazionali sono dei vettori occorre verificare che esse obbediscono alle regole del calcolo vettoriale, in particolare le regole sulla addizione di vettori 23

24 Consideriamo il caso dello spostamento angolare θ Si può verificare sperimentalmente che gli spostamenti angolari non si sommano come vettori. Infatti se si sommassero come vettori dovrebbero obbedire alle regole sulla somma dei vettori e in particolare alla proprietà commutativa della somma di due vettori, cioè: θ 1 + θ 2 = θ 2 + θ 1 24

25 Un libro ruota di 90° in senso orario visto di fronte, e poi in senso antiorario visto da sopra. Se l’ordine delle due rotazioni viene invertito la posizione finale è differente Lo stesso succede se si adotta un angolo di rotazione più piccolo, per esempio di 45°, ma in questo caso la differenza di orientazione finale è minore Nel caso di angoli sempre più piccoli, la differenza di orientazione finale tende a 0 25

26 Quindi: θ 1 + θ 2 = θ 2 + θ 1 Ma: dθ 1 + dθ 2 = dθ 2 + dθ 1 Gli spostamenti angolari infinitesimi obbediscono alla proprietà commutativa dell’algebra vettoriale e infatti sono vettori 26

27 Di conseguenza, la velocità angolare: ω(t) = dθ /dt poiché dθ è un vettore e dt è uno scalare, ω è un vettore (e di conseguenza anche α ) Ma qual è la rappresentazione grafica di questo vettore? Consideriamo per esempio Un cilindro che ruota attorno al proprio asse in senso antiorario: ω Il vettore velocità angolare ω è una freccia lungo la direzione dell’asse di rotazione, orientata verso l’alto se la rotazione è in senso antiorario e viceversa se è in senso orario, la cui lunghezza è pari al modulo ω. 27

28 La cosiddetta regola della mano destra. Nozione mnemonica: se con la mano destra si afferra idealmente l’asse di rotazione, in modo che le dita si avvolgano intorno ad esso nel senso della rotazione, allora il pollice disteso punta nella direzione del vettore ω 28

29 ω Notate che non c’è niente che si muove nella direzione del vettore ω Il moto avviene nel piano ortogonale ad esso. 29

30 Simboli comunemente usati: Se consideriamo un moto rotatorio in due dimensioni, tale cioè che si sviluppi per esempio sulla pagina del nostro quaderno: Useremo il simbolo ๏ per il caso in cui il vettore emerge dalla pagina Useremo il simbolo  per il caso in cui il vettore punta verso la pagina 30

31 ๏  31

32 Rotazione con accelerazione angolare costante Il caso più semplice di un moto rotatorio è quello che avviene con accelerazione costante In questo caso le equazioni del moto sono del tutto analoghe a quelle lineari (moto traslatorio): Moto traslatorioMoto rotatorio v = v 0 + a tω = ω 0 + α t x = ½ ( v 0 + v ) tθ = ½ ( ω 0 + ω ) t x = v 0 t + ½ a t 2 θ = ω 0 t + ½ α t 2 32

33 Il caso di una particella che si muove di moto circolare: relazioni fra cinematica lineare e cinematica rotazionale Abbiamo già studiato il caso di una particella che si muove di moto circolare, e lo abbiamo fatto nell’ambito della cinematica lineare: Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, tutti i suoi punti compiono una traiettoria circolare. Quindi possiamo trattare il moto di tali particelle sia usando variabili lineari che usando variabili rotazionali. 33

34 Consideriamo una particella situata nel punto P di un corpo rigido ad una distanza r dall’asse di rotazione passante per il punto O. La particella in P si muove lungo un cerchio di raggio r mentre il corpo ruota O y x P r θ La particella percorre un arco di lunghezza s mentre il corpo ruota di un angolo θ e si ha : s = r θ Se la posizione iniziale del punto P era lungo l’asse x lo spostamento risulta come indicato in verde 34

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37 Nel caso del moto circolare uniforme, che avevamo già studiato (adottando le grandezze lineari e non ancora quelle rotazionali) risultava per definizione a T = 0 Quindi: il moto di una particella lungo una traiettoria circolare si può descrivere sia usando variabili lineari che usando variabili rotazionali E poiché un corpo rigido è composto da N particelle, in linea di principio anche il moto rotatorio delle N particelle di cui si compone un corpo rigido potrebbe essere descritto da N variabili lineari. Il problema è appunto che servirebbero N variabili, una per ogni punto, mentre adottando le variabili rotazionali, queste sono le stesse per ogni punto ECCO PERCHE’ ABBIAMO INTRODOTTO LE VARABILI ROTAZIONALI 37

38 Dinamica del moto rotatorio Abbiamo visto che la relazione fondamentale di tutta la dinamica è la II Legge di Newton: F = m a Questa formulazione si è rivelata particolarmente utile per il trattamento della dinamica delle particelle puntiformi e per il moto traslatorio di corpi, ma è chiaro che per il trattamento del moto rotatorio dei corpi occorre riformulare questa legge usando variabili rotazionali. Abbiamo già definito l’analogo rotazionale della accelerazione lineare a e cioè l’accelerazione angolare α = d ω /dt. Dobbiamo adesso definire quali variabili rotazionali sono analoghe a F e m 38

39 Consideriamo una barra disposta sul piano x-y e libera di ruotare attorno all’origine O. Supporremo che il piano è orizzontale, così che non ci sia forza gravitazionale, e che il piano sia privo di attrito: y x O Se applichiamo una forza F 1 in un punto come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare α 1 F1F1 F1F1 Se però applichiamo la stessa forza F 1 in un punto più distante dall’asse di rotazione, come in figura, la barra acquisirà una certa accelerazione angolare maggiore 39

40 Questo è un fenomeno che ci è familiare in base ala nostra esperienza quotidiana: Per aprire una porta facciamo meno fatica se spingiamo in un punto distante dall’asse dall’asse di rotazione: è per questo che la maniglia è li e non vicino l’asse ! Se dovessimo aprire una porta applicando la forza ad un punto vicino l’asse, dovremmo applicare una forza molto elevata, e se applicassimo la stessa forza lontano dall’asse, la porta acquista maggiore accelerazione angolare ! Evidentemente ciò che conta per imprimere una accelerazione angolare non è solo la forza E vero che se aumentiamo la forza aumenta l’accelerazione angolare, ma possiamo aumentare l’accelerazione angolare anche spostando il punto di applicazione della forza 40

41 y x O F2F2 Se invece applichiamo una forza F 2 come in figura, cioè una forza la cui direzione passa per l’asse di rotazione, non otterremo alcun moto rotatorio (e neanche traslatorio se la barra è vincolata al suo asse) Evidentemente, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza è rilevante nel determinare l’accelerazione angolare ? 41

42 y x O F3F3 Se adesso applichiamo una forza F 3 come in figura, e scomponiamo la forza nelle sue componenti x e y ci renderemo conto che l’unica componente che conta è quella lungo y Questo fatto conferma che, oltre al punto di applicazione, anche la direzione della forza è rilevante nel determinare l’accelerazione angolare 42

43 Occorre quindi identificare una grandezza fisica che rappresenti la causa della accelerazione angolare, e che sia legata alla forza dalle proprietà che abbiamo appena esaminato. Questa grandezza sarà il cosiddetto momento della forza. Ma prima di passare alla definizione del momento della forza, vediamo come si comporta la massa, e vediamo se non sia necessario definire anche un’altra grandezza analoga a ciò che è la massa nel caso lineare. 43

44 y x O F Supponiamo che la nostra barra si costituita di due materiali di massa differente, per esempio legno e ferro, e applichiamo la nostra forza F come in figura. Otterremo una certa accelerazione angolare a 44

45 y x O F Se però capovolgiamo la barra e applichiamo la stessa forza F nel punto come in figura: Otterremo una certa accelerazione angolare a maggiore ! E questo sebbene la massa della barra non sia cambiata! E sebbene non sia cambiata la forza, né la sua distanza dall’asse di rotazione !! Ciò che è cambiato è la distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione 45

46 Quindi: La grandezza analoga, nel moto rotazionale, alla massa nel caso traslatorio, non è la massa ma una grandezza che potrebbe essere chiamata inerzia rotazionale e che dipende in qualche modo dalla distribuzione della massa rispetto all’asse di rotazione Cominciamo quindi a sviluppare in modo più rigoroso questi due concetti: Momento di una forza Inerzia rotazionale in funzione della distribuzione della massa 46

47 Momento di una forza Definizione: Se una forza F agisce su un punto P la cui posizione rispetto al riferimento O è individuata da un vettore r, il momento della forza rispetto a O è un vettore definito dalla: τ = r x F dove il simbolo x rappresenta il prodotto vettoriale fra r e F Il modulo di τ è dato dalla relazione: τ = r F sin θ dove θ è l’angolo fra r e F La direzione è ortogonale al piano individuato da r e F, e il verso segue la regola della mano destra 47

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49 Avevamo accennato durante le prime lezioni all’esistenza del cosiddetto prodotto vettoriale fra due vettori, ma ci eravamo riservati di definirlo non appena avessimo trovato una applicazione fisica che lo rendesse comprensibile. Eccola ! Le dimensioni del momento della forza sono quelle di forza x distanza E cioè [ M L T −2 L ]  [ M L 2 T −2 ] L’unità di misura il nt-metro 49

50 Energia di rotazione e momento di inerzia Non c’è dubbio che ciascuna particella si cui si compone un corpo rigido in rotazione possiede un certa energia cinetica: Una particella di massa m di un corpo rigido situata ad una distanza r dall’asse di rotazione del corpo rigido in questione avrà una velocità v = ω r, dove ω è la velocità angolare del corpo rigido. ω r Pertanto l’energia cinetica di questa particella sarà: ½ m v 2 = ½ m ω 2 r 2 50

51 Se, come stiamo supponendo, il corpo è rigido allora la velocità angolare ω è la stessa per tutte le particelle di cui si compone, e l’energia cinetica totale K sarà la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle : K = ½ m 1 ω 2 r ½ m 2 r ………….. ½ m N ω 2 r 2 N K = ½ ( m 1 r m 2 r ………….. m N r 2 N ) ω 2 K = ½ ∑ ( m i r 2 i ) ω 2 Il termine ∑ ( m i r 2 i ) che indichiamo col simbolo I è denominato Momento di Inerzia del corpo rigido rispetto a quel particolare asse di rotazione I = ∑ ( m i r 2 i ) 51

52 Va sottolineato che il Momento di Inerzia di un corpo rigido dipende quindi dall’asse, oltre che dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse. Il Momento di Inerzia I ha dimensioni: [ M L 2 ] e si misura in: kg m 2 Introducendo il Momento di Inerzia, l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione K rot è espressa pertanto dalla: K rot = ½ I ω 2 52

53 Una interessante analogia: Moto traslatorioMoto rotatorio Energia cinetica ½ m v 2 ½ I ω 2 velocità vω massa mI Cosi come ω è nel moto rotatorio l’equivalente della velocità v nel moto traslatorio, I è nel moto rotatorio l’equivalente della massa m nel moto traslatorio. Occorre però ricordare che mentre m non dipende dalla posizione del corpo, I dipende dal particolare asse attorno a cui avviene la rotazione 53

54 Nota bene: Questa non è una nuova forma di energia, ma è semplicemente la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle di cui si compone il corpo, scritta semplicemente in una formulazione conveniente 54

55 Nel caso in cui il corpo rigido non è costituito da un insieme finito di particelle distinte, ma è costituito da una distribuzione continua di materia, l’operazione di somma che compare nella formula: I = ∑ ( m i r 2 i ) diventerà una integrazione: considereremo il corpo costituito da masse infinitesime dm e considereremo la distanza r fra tali masse e l’asse di rotazione: I = r 2 dm dove l’integrale è esteso sull’intero corpo ∫ 55

56 Nel caso di corpi di forma complicata, il calcolo di questo integrale può essere difficile, ma nel caso di corpi con una geometria regolare e l’asse di rotazione coincidente con l’asse di simmetria, il calcolo è abbastanza semplice. Ecco di seguito alcuni esempi: 56

57 Per la dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido si definiranno pertanto una serie di grandezze perfettamente analoghe a quelle del moto rettilineo di una particella : Moto rettilineo di una particellaMoto rotatorio di un corpo rigido Spostamento x Spostamento angolare θ Velocita v = dx/dt Velocità angolare ω = dθ/dt Accelerazione a = dv /dt Accelerazione angolare α = dω/dt Massa m Momento di inerzia I Forza F = ma Momento della forza τ = I α Lavoro ∫ F dx Lavoro ∫ τ dθ Energia cinetica ½ m v 2 Energia cinetica ½ I ω 2 Quantità di moto mvmv Momento angolare I ω 57

58 Momento angolare di una particella Nella dinamica del moto rotatorio, il concetto di momento angolare (o momento della quantità di moto) ha un ruolo simile a quello che ha la quantità di moto nella dinamica del moto traslatorio. Vedremo che la definizione e l’applicazione di questo concetto ci permetterà di ricavare un’altra importante Legge di conservazione. Consideriamo una particella di massa m e quantità di moto p situata ad una distanza r dall’origine O di un sistema di assi x-y-z. Il momento angolare della particella rispetto al punto O è definito dalla: L = r x p Cioè: il prodotto vettoriale di r per p 58

59 y y z r p L 59

60 In accordo con la definizione di prodotto vettoriale, il modulo di L è dato da: L = r p sin θ La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori r e p Il verso è stabilito dalla consueta regola della mano destra. Dalla definizione, che è del tutto analoga al momento di una forza, si vede che il momento angolare L è il momento della quantità di moto. 60

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64 Cioè: la derivata rispetto al tempo del momento angolare (o momento della quantità di moto) di particella è uguale al momento delle forze applicate alla particella stessa. 64

65 ∫ ∫ 65

66 Momento angolare di un sistema di particelle Il caso trattato riguarda una particella. Nel caso di un sistema di più particelle, dovremo tenere in conto la somma vettoriale di tutti i momenti angolari di ogni particella rispetto allo stesso punto di riferimento O. A variare del tempo, a secondo delle forze (o meglio dei loro momenti) agenti sul sistema, potrà essere osservata una variazione dL/dt. In linea di principio, questa variazione potrebbe essere imputabile a due cause: a)Vi sono momenti di forze interne al sistema di particelle b)Vi sono momenti di forze esterne al sistema di particella Tuttavia, in base alla III legge di Newton, le forze fra coppie di particelle, non solo sono eguali e contrarie, ma sono dirette lungo la linea che unisce le particelle e pertanto il momento risultante è nullo. 66

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71 Conservazione del momento angolare 71

72 Se durante il moto rotatorio cambia la distribuzione delle masse (e quindi cambia I ) cambierà di conseguenza ω, un fenomeno largamente usato da atleti e ballerini !!! 72


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