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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il corpo rigido È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti,

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Presentazione sul tema: "G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il corpo rigido È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti,"— Transcript della presentazione:

1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il corpo rigido È un particolare sistema di punti materiali in cui le distanze, tra due qualunque dei suoi punti, non variano nel tempo –un corpo rigido non subisce alcuna deformazione anche se sottoposto a sollecitazioni estremamente elevate. Il corpo rigida conserva la sua forma. I corpi solidi possono, in prima approssimazione, essere considerati rigidi. –Il corpo rigido è unastrazione: in natura non ci saranno mai corpi perfettamente rigidi –Ci saranno corpi il cui comportamento, in particolari condizioni, può essere descritto come quello di un corpo rigido. –Un corpo rigido non può avere moti caratterizzati da una variazione delle dimensioni del corpo stesso (vibrazioni, maree, etc.) discreto n numero di punti continuo Infiniti punti

2 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Le equazioni a disposizione Corpo rigido = sistema di punti materiali: I e II legge della dinamica dei sistemi. Due equazioni vettoriali –Equivalenti a sei equazioni scalari Poiché le distanze tra due punti qualsiasi di un corpo rigido si mantengono costanti –Il lavoro delle forze interne è nullo. Il teorema delle forze vive diventa:

3 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 La terna solidale E una terna con origine in un particolare punto del corpo rigido e assi che passano per punti fissi del corpo rigido corpo rigido Ogni punto del corpo rigido, proprio per la definizione del corpo rigido, occupa una posizione fissa in questa terna. Descrizione del moto di un CR: –trovo la posizione di tutti i punti del CR allistante di tempo iniziale t o rispetto alla terna solidale (questa posizione è costante modulo direzione e verso) –trovo la posizione della terna solidale in un istante successivo t. –Utilizzando la posizione di ciascun punto del CR rispetto alla terna solidale determinata allistante iniziale, posso determinare la posizione di ciascun punto allistante t. x y O Terna solidale Lasse z è perpendicolare alla figura uscente dal foglio. P

4 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I moti del corpo rigido: la traslazione Traslazione –Le orientazioni degli assi della terna solidale rimangano costanti (gli assi si muovono mantenendosi paralleli a se stessi) x y O P CM –È sufficiente determinare il moto del centro di massa, utilizzando la I equazione cardinale della dinamica dei sistemi. –La II equazione richiede che il momento risultante valutato rispetto al centro di massa sia nullo. –Tutti i punti del corpo rigido subiscono lo stesso spostamento nello stesso intervallo di tempo Spostamento che è lo stesso di quello subito dal centro di massa Tutti i punti sono fermi rispetto al centro di massa

5 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I moti del corpo rigido: la rotazione Rotazione –Le orientazioni degli assi della terna solidale non rimangono costanti –Esiste un insieme di punti, allineati su una retta, che rimangono fermi Asse di rotazione (asse fisso) Lasse z nel caso dellanimazione x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P –Tutti i punti si muovono su traiettorie circolari attorno allasse di rotazione Il piano della traiettoria è perpendicolare allasse di rotazione Il centro della traiettoria circolare è il punto comune dellasse di rotazione e del piano della traiettoria –Tutti i punti subiscono lo stesso spostamento angolare nello stesso intervallo di tempo –Tutti i punti si muovono con la stessa velocità ed accelerazione angolare rispetto allasse di rotazione x y O P x y O P

6 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I moti del corpo rigido: la rotazione Rotazione –La velocità di ciascun punto è tangente alla traiettoria circolare –Il modulo della velocità è proporzionale alla distanza del punto considerato dallasse di rotazione x y O P x y O P v –Anche laccelerazione tangenziale è proporzionale alla distanza dallasse di rotazione –Così come lo è laccelerazione centripeta

7 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è laccelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è laccelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è laccelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

8 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è laccelerazione centripeta di un punto sul bordo del volano? Qual è laccelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è laccelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

9 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I moti del corpo rigido: la rotatraslazione Rototraslazione –In generale il moto di un corpo rigido sarà la composizione di un moto di traslazione –più un moto di rotazione Attenzione: non è detto che lasse di rotazione si mantenga fisso Esso può cambiare sia in posizione che in orientazione –Un moto comunque complesso può sempre essere immaginato come la sovrapposizione del moto del CM (I equazione cardinale) –Più un moto di rotazione attorno al centro di massa (II equazione cardinale) –Noi non affronteremo il caso generale Ci occuperemo del moto di rotazione attorno ad un asse fisso Moto di puro rotolamento (il moto delle ruote) x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P x y O P

10 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I gradi di libertà del corpo rigido Le equazioni a disposizione sono sufficienti a risolvere il moto del corpo rigido? Quante coordinate ci servono per individuare la posizione del corpo rigido nello spazio? –Abbiamo detto che la posizione nello spazio di un CR è determinata se conosciamo la posizione nello spazio della terna solidale! x y O P2P2 CM P1P1 Osserviamo che per conoscere la posizione della terna basta fornire le posizioni dellorigine O del punto P 1 sullasse x e del punto P 2 sullasse y. –Con questi tre punti si determinerà la posizione dellorigine e i due assi x, y. –Lasse z sarà automaticamente determinato dovendo passare per lorigine ed essere perpendicolare agli altri due. Occorrono dunque nove coordinate (tre per ciascun punto) Ma i tre punti non sono liberi di assumere delle posizioni arbitrarie –Facendo parte del CR le loro mutue distanze devono restare costanti!

11 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 I gradi di libertà del corpo rigido Esistono quindi tre relazioni tra le nove coordinate dei punti O, P 1 e P 2. Quindi solo sei di esse possono essere scelte in maniera indipendente. –Una volta scelte le prime sei le ultime tre vengono determinate dalle relazioni tra le coordinate. I gradi di libertà di un corpo rigido, ossia le coordinate indipendenti sono solo sei (nove complessive meno tre relazioni) x y O P2P2 CM P1P1 Daltro lato abbiamo a disposizione 6 equazioni –La prima e la seconda equazione cardinale Sei equazioni e sei coordinate da determinare Dovrebbero essere sufficienti per descrivere il moto di un corpo rigido.

12 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Moto di rotazione attorno ad un asse fisso: determinazione dellenergia cinetica Consideriamo un corpo rigido discreto (fatto da n punti materiali) in rotazione attorno ad un asse fisso. Tutti i punti si muovono attorno allasse con la stessa velocità angolare. Consideriamo li-esimo punto materiale. –Il mdulo della sua velocità: La sua energia cinetica: Lenergia cinetica di tutto il sistema: Momento di inerzia

13 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il momento di inerzia di un corpo rigido rispetto allasse di rotazione Il momento di inerzia dipende dalle masse dei punti che costituiscono il corpo rigido Ma soprattutto dalla distribuzione della massa attorno allasse di rotazione Per i corpi continui: m i = massa della i-esima particella R i = distanza delli-esima particella dallasse di rotazione dm = massa contenuta nellelemento infinitesimo dV dm= dV R = distanza dellelemento dV dallasse di rotazione Per un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso, lenergia cinetica è data da:

14 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Momento di inerzia di un punto materiale di massa M Consideriamo la situazione in figura: Applichiamo la definizione:

15 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che lanello ruoti attorno un asse, perpendicolare allanello passante per il suo centro (asse dellanello). Indichiamo con la densità lineare dellanello: Consideriamo un elemento dellanello: a cui corrisponde la massa: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: I=MR 2 come se la massa dellanello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dallasse.

16 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione di figura: Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco). Indichiamo con la densità superficiale del disco: Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

17 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Momento di inerzia di un cilindro omogeneo di massa M e raggio R e altezza h rispetto al proprio asse Consideriamo la situazione di figura: Supponiamo che il cilindro ruoti attorno al proprio asse. Indichiamo con la densità del cilindro: Suddividiamo il cerchio in tanti strati infinitesimi infinitesime di altezza dz. A tutti gli effetti ogni strato può essere considerato un disco di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui: Come il disco

18 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo. Indichiamo con la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, –indichiamo con x la coordinata del primo estremo dellelemento infinitesimo –La distanza dellelemento infinitesimo dallasse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

19 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per il centro Consideriamo la situazione della figura: Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro. Indichiamo con la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, –indichiamo con x la coordinata del primo estremo dellelemento infinitesimo –La distanza dellelemento infinitesimo dallasse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

20 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Tabella riassuntiva

21 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il teorema di Steiner il momento di inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque è uguale alla somma –del momento di inerzia rispetto ad un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa –e di un termine pari al prodotto della massa totale del corpo per la distanza al quadrato tra i due assi: mimi RiRi RiRi b y y x x CM a yiyi yiyi xixi xixi P h

22 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Il teorema di Steiner Dimostriamo per un CR discreto: mimi RiRi RiRi Distanza del punto i-esimo dallasse di rotazione passante per il CM Distanza del punto i-esimo dallasse di rotazione passante per il punto P b y y x x CM a yiyi yiyi xixi xixi P h

23 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Verifica del teorema di Steiner Momento di inerzia di una sbarra rispetto allasse della sbarra Momento di inerzia di una sbarra rispetto ad un asse passante per un estremo Verifica del teorema di Steiner

24 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applica zione Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura, è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kg Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto allasse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili) Qual è lenergia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?

25 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03 Applic azione Lelemento oscillante di un pendolo è costituito da una sbarretta di massa m s =0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa m d =1kg di 20cm di diametro. Determinare il momento di inerzia rispetto ad un asse perpendicolare all figura passante per lestremo superiore della sbarretta. x y Asse di rotazione


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