Tabella di connessione

Presentazione sul tema: "Tabella di connessione"— Transcript della presentazione:

1 Tabella di connessione
Reti elettriche + L’insieme dei fili di connessione è spesso detto schema di cablaggio. Tale schema è spesso utile per l’effettivo montaggio del circuito. Tuttavia lo schema di cablaggio è spesso di difficile lettura. Una rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti Ogni riga della tabella di connessione è detta ramo della rete La tabella di connessione descrive completamente la rete e viene impiegata, p.es., nei sistemi di analisi automatica. 1 2 3 4 5 Componenti + Nodi Esempi In elettronica si dice circuito elettronico e circuito integrato, ecc. In telecomunicazioni, si dice circuito telefonico, circuito a due o a quattro fili, circuito di giunzione, per indicare singole connessioni operative. Invece, rete telefonica indica l’insieme dei circuiti usati in un certo ambito (p. es., rete telefonica interurbana). In impiantistica, si dice rete elettrica di trasmissione o di distribuzione. Si ha un ramo per ogni componente bipolare Si hanno 2 rami per ogni componente 2-porte A volte invece che rete elettrica si utilizza la locuzione circuito elettrico. Nel presente contesto le due locuzioni sono quasi sinonimi. Ciò non è vero in generale. Una rete elettrica è ottenuta assegnando i componenti , i nodi della rete e la tabella di connessione Esempio: rete di 7 componenti e 5 nodi Le reti elettriche possono essere estremamente complesse. P.es., nei circuiti integrati si possono avere reti con milioni di componenti e centinaia di migliaia di nodi Esempi: Il ramo L corrisponde all’induttore I rami T1 2 5 T corrispondono al trasformatore Si possono ottenere schemi elettrici semplificati disponendo opportunamente i nodi nel piano R Vg L R C Ig T T Tabella di connessione

2 Grafo di una rete elettrica
Matrice di connessione [C ] , di dimensioni R x N con R = numero dei rami N = numero dei nodi Cij = -1 se il ramo i esce dal nodo j = 1 se il ramo i entra nel nodo j = 0 altrimenti Il grafo di una rete elettrica è uno schema di connessione che prescinde dai componenti usati I rami del grafo sono identificati con lettere o con numeri a b c d e f g h Nel grafo non sono indicati i componenti, ma solo i relativi rami, rappresentati da segmenti Per ogni ramo occorre considerare una tensione e una corrente. Per tutti rami è usata la convenzione delle potenze entranti: Ramo Scegliendo per ogni ramo un verso arbitrario si ottiene il grafo orientato o schema topologico della rete Grafo orientato orientato Ramo k-esimo + vk , ik Esempio + Rete elettrica 1 2 3 4 5 Esempio: R = 8 ; N = 5 rami [C ] = a b c d e f g h nodi Per semplicità il segno della tensione non viene indicato: Ramo k-esimo vk , ik Grafo

3 Leggi di Kirchhoff Esempio Maglia abge Va + Vb + Vg + Ve = 0 Esempio
Dato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato Maglia: un insieme di rami che individua un percorso chiuso Legge di Kirchhoff alle tensioni: La somma algebrica delle tensioni presenti su una maglia della rete è uguale a zero Verso di maglia: l’ordine di percorrenza del percorso chiuso Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti Il segno della tensione è positivo (negativo) se il verso di ramo coincide (non coincide) con il verso di maglia Esempio Maglia abge abge Esempio : maglia Va + Vb + Vg + Ve = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h abcde che è l’equazione alla maglia Esempio Maglia abge gcd + = 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio gcd - Vg + Vc + Vd = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h ; gcd Maglia abge Maglia abge Esempio Maglia abge 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempi Esempio Grafo orientato 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio Maglia hed Maglia hed Verso di maglia: orario Legge di Kirchhoff alle tensioni Vh - Ve – Vd = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Il ramo g è percorso dalle due maglie con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha Va + Vb + Vc + Vd + Ve = 0 Verso di maglia: orario Legge di Kirchhoff alle tensioni Va + Vb + Vg + Ve = 0

4 Leggi di Kirchhoff Esempio Grafo orientato Ia – Ig – Ic = 0 Esempio
Dato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato Taglio: un insieme di rami che divide la rete in due parti non connesse Legge di Kirchhoff alle correnti: La somma algebrica delle correnti, che attraversano un taglio della rete, è uguale a zero Esempi Esempio Grafo orientato 1 2 3 4 5 a b c d e f g h In molti casi un taglio separa un solo nodo da tutti gli altri Esempi Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti Nella legge di Kirchhoff, il segno della corrente è positivo (negativo) se il verso di ramo è concorde (non concorde) con il verso del taglio Esempi Taglio hdfgb Esempio: taglio agc Ia – Ig – Ic = 0 Esempio Taglio agc aeh + = gceh che è l’equazione del taglio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Taglio agc Verso del taglio: dai nodi [2,3,5] al nodo [1, 4] Ia – Ig – Ic = 0 Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio Taglio agc ; aeh aeh - Ia + Ie + Ih = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Taglio egfd Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3] Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio Taglio hdfgb Se si tagliano i rami individuati dal taglio, le sottoreti relative ai nodi [3,2,1] e ai nodi [4, 5] risultano separate 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio Taglio hdfc Verso del taglio: dai nodi [2,3,1,4] al nodo [5] - Ih – Id + If + Ic = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio Taglio aeh Verso del taglio: dal nodo [2] ai nodi [1, 3, 4, 5] 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Si può assegnare un verso convenzionale al taglio, p. es., dai nodi [4, 5] ai nodi [3,2,1] Il ramo a appartiene ai due tagli con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha - Ig – Ic + Ie + Ih = 0 Taglio egfd Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3] - Ie + Ig - If + Id = 0

5 Leggi di Kirchhoff Le leggi di Kirchhoff dipendono dal grafo del circuito, ma non dipendono dai componenti presenti. Due circuiti diversi, aventi lo stesso grafo, soddisfano le stesse leggi di Kichhoff. Le leggi di Kirchhoff valgono nel dominio del tempo. Essendo equazioni lineari, algebriche, a coefficienti costanti, valgono anche in qualunque dominio trasformato, definito da operatori lineari. I domini di interesse nella analisi delle reti sono: dominio del tempo, grandezze elettriche vk(t) , ik(t) dominio dei fasori, grandezze elettriche V k , I k (per il regime permanente) dominio di Laplace, grandezze elettriche Vk (s) , I k (s) Le leggi di Kirchhoff si esprimono in generale nel modo seguente: Sk ak Vk = 0 ; Sk bk Ik = 0 con k = 1, … R e ak e bk pari a +1, -1, 0 R: numero dei rami (si ha coefficiente zero quando una corrente o una tensione non appare in una certa legge di Kirchhoff) Le leggi di Kirchhoff si esprimono, nei domini del tempo, dei fasori e di Laplace, nello stesso modo e con gli stessi coefficienti ak e bk : Sk ak vk(t) = 0 ; Sk bk ik(t) = 0 (dominio del tempo) Sk ak V k = 0 ; Sk bk I k = 0 (dominio dei fasori) Sk ak Vk(s) = 0 ; Sk bk Ik(s) = 0 (dominio di Laplace) Le leggi di Kirchhoff si esprimono con equazioni lineari, algebriche (prive di operatori differenziali), omogenee (prive di termini noti)

6 Albero, coalbero Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio
Per l’analisi di una rete, occorre individuare : Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni di Leggi di Kirchhoff alle correnti Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Determinazione dell’Albero e del Coalbero Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff è tale che: Albero: bcgh Coalbero: aefd Alcune coppie albero / coalbero R : numero dei rami N : numero dei nodi RA : numero dei rami dell’albero RC : numero dei rami del coalbero Si tolgano alcuni rami dal grafo, in modo che: Rami residui: bcdefgh Rami tolti: a Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Si può togliere qualsiasi ramo Rami residui: abcdefgh Rami tolti: nessuno Rami residui: bcdfgh Rami tolti: ae Esempio Si può togliere qualsiasi ramo , eccetto i rami bh 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Rami residui: bcgh Rami tolti: aefd Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Non si può togliere più alcun ramo Rami residui: bcdgh Rami tolti: aef Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h non sia più presente nessuna maglia nessuna Legge appartenente all’insieme è combinazione delle altre il grafo rimanga connesso Insieme dei rami residui: albero Insieme dei rami tolti: coalbero Si può togliere qualsiasi ramo eccetto il ramo b (altrimenti il nodo 1 non è più connesso al resto del grafo) Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: bcdh Coalbero: aefg 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Nel caso generale, risulta: RC = R – N + 1 RA = N – 1 Un numero di rami pari a N-1 permette di connettere N nodi, senza dare luogo ad alcuna maglia Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abef Coalbero: cdgh 1 2 3 4 5 a b c d e f g h [ in generale non risulta RA = RC ] RA = 4 ; RC = 4 ogni ulteriore Legge è combinazione delle Leggi appartenenti all’insieme Per individuare insiemi indipendenti di Leggi di Kirchhoff, il grafo orientato della rete viene suddiviso in due sottografi complementari, detti Albero e Coalbero Nel caso dell’esempio RA = N – 1 = 4 ; RC = R – N + 1 = 4 Ai fini della presente trattazione tutte le coppie albero / coalbero sono equivalenti Albero: bcgh Coalbero: aefd Si tolga il ramo a Si tolga il ramo d Si tolga il ramo f Si tolga il ramo e

7 Tale ramo è detto ramo di chiusura
Leggi alle tensioni Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh 1 2 3 4 5 a b c d e f g h Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni [VC ] + [ A ] [ VA ] = [0 ] [VC ] vettore colonna delle tensioni del coalbero [VA ] vettore colonna delle tensioni dell’albero [ A ] matrice di RC righe e RA colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0 Se si aggiunge all’albero un ramo del coalbero, si ottiene una maglia Tale ramo è detto ramo di chiusura Vh Vd Vg Vc Vf Vb Ve Va [VC ] = ; [VA ] = [ A ] = Si aggiunga il ramo e Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh 1 2 3 4 5 a b c d e f g h maglia Legge di Kirchhoff Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0 (e ) Si ottiene la maglia e abcd Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh coalbero albero Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Il ramo di chiusura fissa: il verso della maglia, il nome della maglia. Esempio Vf + Vd = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (f ) Esempio Vg – Vc – Vd = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (g ) Esempio Vh + Va + Vb + Vc = 0 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (h ) Legge di Kirchhoff alle tensioni alla maglia (e) Ve + Va + Vb + Vc + Vd = 0 Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine (tensione del ramo di chiusura) non presente nelle altre Vh Vd Vg Vc Vf Vb Ve Va = [0 ] Usando le notazioni matriciali Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo del coalbero

8 che definiscono un taglio Il ramo dell’albero fissa:
Leggi alle correnti Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Espressione generale dell’insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti [IA ] + [B ] [ IC ] = [0 ] [IA ] vettore colonna delle correnti dell’albero [IC ] vettore colonna delle correnti del coalbero [B ] matrice di RA righe e RC colonne con elementi pari a +1 , -1 , 0 Se si elimina un ramo dall’albero, la rete si divide in due parti separate, che definiscono un taglio Id Ih Ic Ig Ib If Ia Ie [IA ] = ; [IC ] = [B ] = Si elimini il ramo a Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh taglio Legge di Kirchhoff Ia - Ie - Ih = 0 (a ) Si ottiene il taglio a eh Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh albero coalbero Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Il ramo dell’albero fissa: il verso del taglio, il nome del taglio. Ib – Ie – Ih = 0 Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (b ) Ic – Ie + Ig – Ih = 0 Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (c ) Id - Ie - If + Ig = 0 Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (d ) Legge di Kirchhoff alle correnti per il taglio (a) Ia – Ie – Ih = 0 Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine (corrente del ramo dell’albero) non presente nelle altre Usando le notazioni matriciali Id Ih Ic Ig Ib If Ia Ie = [0 ] Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo dell’albero

9 Variabili indipendenti
[VC ] = - [ A ] [ VA ] Leggi di Kirchhoff alle tensioni [IA ] = - [ B ] [ IC ] Leggi di Kirchhoff alle correnti [IA ] = - [ B ] [ IC ] Leggi di Kirchhoff [VC ] = - [ A ] [ VA ] assegnate [VA ] e [IC ] Poiché i soli rami del coalbero non definiscono alcun taglio, le correnti dei rami del coalbero possono essere fissate arbitrariamente Tensioni dei rami dell’albero + Correnti dei rami del coalbero : insieme di variabili indipendenti , che possono essere fissate in modo arbitrario Poiché i soli rami dell’albero non definiscono alcuna maglia, le tensioni dei rami dell’albero possono essere fissate arbitrariamente assegnate le tensioni dell’albero, assegnate le correnti del coalbero, si possono calcolare le tensioni del coalbero si possono calcolare le correnti dell’albero si possono calcolare [VC ] e [IA ] Correnti del coalbero: variabili indipendenti Tensioni dell’albero: variabili indipendenti Le correnti dei rami dell’albero non sono variabili indipendenti e non possono essere fissate arbitrariamente Le tensioni dei rami del coalbero non sono variabili indipendenti e non possono essere fissate arbitrariamente Rete di Kirchhoff : - generatori di tensione sui rami dell’albero; - generatori di corrente sui rami del coalbero. La Rete di Kirchhoff è la sovrapposizione di una Rete di Tensioni e una Rete di Correnti Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff Ie + If Ig Ih Va Vb Vc 1 2 3 4 5 Vd Rete di Correnti: - generatori di corrente sui rami del coalbero; - rami dell’albero in corto . Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Esempio 1 2 3 4 5 a b c d e f g h RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh + Va + Vb Rete di Tensioni: - generatori di tensione sui rami dell’albero; - rami del coalbero aperti. Ie + + Ig Ih + Rete di Correnti + Vd Rete di Tensioni If + + Vc [VC ] = - [ A ] [ VA ] Le tensioni dei rami del coalbero si calcolano con l’espressione [IA ] = - [ B ] [ IC ] Le correnti dei rami dell’albero si calcolano con l’espressione Una Rete di Kirchhoff è analizzabile utilizzando esclusivamente le Leggi di Kirchhoff Nella rete non circola alcuna corrente Tutte le tensioni della rete sono nulle

10 La Rete di Kirchhoff può essere ottenuta:
Teorema di Tellegen Per una Rete di Kirchhoff, si consideri la rete ottenuta disattivando tutti i generatori, eccetto il generatore di tensione i-esimo e il generatore di corrente j-esimo La Rete di Kirchhoff è definita per ogni grafo, in corrispondenza a ogni coppia albero/coalbero permette di analizzare molte proprietà topologhe delle reti, cioè proprietà che dipendono dalla connessione dei componenti, prescindendo dalla natura dei componenti stessi a) da una generica rete, note le tensioni dei rami dell’albero e le correnti dei rami del coalbero La Rete di Kirchhoff può essere ottenuta: Vi sono tre casi si veda l’esempio a) Aji = Bi j = 0 Aji = - Bij in ogni caso [ A ]T = - [ B ] Vg = 0 Vg = - Aga Va Aga = 0 [VC ] = - [ A ] [ VA ] [IA ] = - [ B ] [ IC ] Si ricordi che b) da due reti aventi lo stesso grafo, utilizzando la Rete di Tensioni dalla prima rete e la Rete di Correnti dalla seconda rete b) Aji = - Bi j = 1 c) Aji = - Bi j = -1 [.] T indica trasposizione c) Coppia [ Vc ; Ig ] Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh 1 2 3 4 5 d f h e a + Ig Vc Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff Ie + If Ig Ih Va Vb Vc 1 2 3 4 5 Vd [ A ] = [B ] = Le colonne di [ A ] corrispondono alle righe di [ B ] cambiate di segno (e viceversa) Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff Ie + If Ig Ih Va Vb Vc 1 2 3 4 5 Vd Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh + Ig Va 1 2 3 4 5 c d e f h b) Coppia [ Va ; Ie ] Esempio RA = 4 ; RC = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh + Va 1 2 3 4 5 c d f h Ie g a) Coppia [ Va ; Ig ] Il taglio aeh attraversa la maglia eacd ; versi di Ve e Va discordi Il taglio aeh , definito dal generatore di tensione, non attraversa la maglia gcd , definita dal generatore di corrente Il taglio cegh attraversa la maglia gcd ; versi di Vc e Vg concordi [ A ] = [B ] = [ A ] = [B ] = [ A ] = [B ] = Ve = - Va Ve = - Aea Va Aea = 1 Vg = Vc Vg = - Agc Vc Agc = - 1 Ic = - Ig Ic = - Bcg Ig Bcg = 1 Ia = Ie Ia = - Bae Ie Bae = - 1 Ia = 0 Ia = - Bag Ig Bag = 0

11 Teorema di Tellegen S R vk (t) ik (t) = 0 ; S pj = S vj ij
Potenza assorbita da una rete di Kichhoff a) Rete di Kirchhoff ottenuta da una rete generica Conservazione della potenza : S R vk (t) ik (t) = 0 ; S R pk (t) = 0 coalbero albero R = RA + RC numero rami Rami dell’albero S pi = S vi ii RA = [VA ]T [IA ] = - [VA ]T [ B ] [IC ] b) Rete di Kirchhoff ottenuta da due reti aventi lo stesso grafo S pj = S vj ij Rami del coalbero = [VC ]T [IC ] RC vk : tensioni della prima rete ik : correnti della seconda rete S R vk ik = 0 Teorema di Tellegen : = - [VA ]T [ A ]T [IC ] S R vk ik = 0 S R pk = 0 Applicazioni: conservazione potenza complessa reciprocità delle reti calcolo della sensibilità rispetto ai valori dei componenti S vi ii + S vj ij = 0 S pi + S pj = 0 RA RC [ A ]T = - [ B ] In una rete di Kirchhoff: Somma prodotti tensione-corrente = 0 [somma su tutti i rami, stessa convenzione di segno] Si ricordi che [IA ] = - [ B ] [IC ] Somma potenze assorbite = [somma su tutti i rami] Somma potenze assorbite = = somma potenze erogate [somma sul sottoinsieme 1] [somma sul sottoinsieme 2] Suddiviso l’insieme dei rami in due sottoinsiemi, 1 e 2, complementari [VC ] = - [ A ] [VA ] [VC ]T = - [VA ]T [ A ]T

12 Sistema di equilibrio Esempio + = [0 ] + = [0 ] + Ra Fb Lc Rd Ce Ff Tg
1 2 3 4 5 + Ra Fb Lc Rd Ce Ff Tg Th Analisi di una rete elettrica R = 8 equazioni componenti Va = Ra Ia ; Vd = Rd Id resistori Dati del problema Incognite , 16 funzioni del tempo: Va , Vb , Vc , Vd , Ve , Vf , Vg , Vh Ia , Ib , Ic , Id , Ie , If , Ig , Ih tensioni e correnti con pedici congruenti con quelli dei componenti e secondo i versi indicati in figura Quantità note Costanti Ra , Rd , Lc , Ce Rapporto 1:n trasformatore Tg/Th Funzioni del tempo: tensione impressa gen. tensione Fb(t) ; corrente impressa gen. corrente Ff (t) . Incognite Sistema di equilibrio Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) generatori Schema della rete: R rami ; N nodi dIc d t Vc= Lc induttore Leggi di Kirchhoff Leggi alle tensioni R - N + 1 equazioni R tensioni R correnti dVe d t Ie= Ce condensatore 2R equazioni incognite Leggi alle correnti N – 1 equazioni trasformatore Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig Tipo e valore dei componenti R equazioni Leggi di Kirchhoff : R = 8 equazioni Albero abcd ; coalbero efgh Vh Vd Vg Vc Vf Vb Ve Va = [0 ] Equazioni di Kirchhoff Algebriche lineari, omogenee, coeff. +1, -1 Id Ih Ic Ig Ib If Ia Ie = [0 ] Equazioni dei componenti Algebriche (circuiti senza memoria) e differenziali (circuiti con memoria) Lineari (circuiti lineari) e non lineari (circuiti non lineari) Termini noti (generatori o condizioni iniziali)

13 Complessità Complessità differenziale della rete : Or
Vh Vd Vg Vc Vf Vb Ve Va = [0 ] Id Ih Ic Ig Ib If Ia Ie Va = Ra Ia ; Vd = Rd Id res. Vb = Fb(t) ; If = Ff (t) gen. dIc d t Vc= Lc induttore dVe Ie= Ce condensatore trasf. Vh = n Vg Ih = - (1/n) Ig Complessità differenziale della rete : Or (ordine della rete) Complessità algebrica della rete: Ca Ca = ordine algebrico del sistema di equilibrio: numero di equazioni = numero delle incognite Or = ordine dell’equazione differenziale risolvente: dopo opportuni passaggi algebrici, il sistema di equilibrio si può ridurre a un’unica equazione differenziale, il cui ordine è non superiore alla somma degli ordini delle equazioni del sistema Si ha Ca  2 R ( R : numero dei rami ) Se Ca = 2 R il sistema risolvente è detto …… sistema generale di equilibrio ….…( come nell’esempio, ove R = 8 e Ca = 16 ) Si ha Or  NC + NL + 2 NM con NC = numero condensatori NL = numero induttori NM = numero induttori accoppiati Se Ca < 2 R il sistema risolvente è detto …… sistema abbreviato di analisi …… p. es. analisi su base maglie …… …… analisi su base nodi …… ……(descritte nel seguito) Nell’esempio: NC = 1; NL = 1; NM = 0 e pertanto Or  2 (da conciderazioni più approfondite si può vedere che in questo caso si ha esattamente Or = 2)

14 Equazioni alle maglie: Res., Gen. tensione
Equazioni alle maglie in forma matriciale Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If Caso elementare: rete di resistori e generatori di tensione Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = matrice dei coefficienti diagonale principale 3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando le incognite Ie ; If ; Ig ; Ih = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb termini noti Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = vettore delle incognite 2. Scelta delle correnti di coalbero come incognite Ie ; If ; Ig ; Ih a b c d Ie Ig Ih If = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb elementi fuori dalla diagonale principale Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = Rd resistenza totale maglia f Rc resistenza comune maglie f / h verso discorde = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = vettore dei termini noti nessuna resistenza comune maglie f / h = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb Ra +Rc resistenza comune maglie e / h verso concorde = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb Rc+Rd resistenza comune maglie e / g verso discorde = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb Rd resistenza comune maglie f / g verso discorde = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb tensione impressa sulla maglia h verso discorde = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb -Vb = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb tensione impressa sulla maglia f verso discorde -Vf = Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb tensione impressa sulla maglia g nessuna a b d Albero: abcd ; Coalbero: efgh e f g h 1. Scelta coppia albero / coalbero 1. Scelta coppia albero / coalbero matrice dei coefficienti Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = Ra+Rc+Rh resistenza totale maglia h Ra+Rc+Rd+Re Rd (Rc+Rd ) Ra +Rc Ie Vb Rd Rd Rd If Vf - (Rc+Rd ) Rd Rc+Rd+Rg Rc Ig Ra+Rc Rc Ra+Rc+Rh Ih Vb = Rc+Rd+Rg resistenza totale maglia g Ra+Rc+Rd+Re resistenza totale maglia e Rd resistenza comune maglie e / f verso concorde tensione impressa sulla maglia e verso discorde -Vb R : n. dei rami ; N : n. dei nodi Maglia: e abcd a b d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If c (Ra +Rc +Rd +Re ) Ie + Rd If (Rc +Rd ) Ig (Ra +Rc ) Ih = -Vb 2. Scelta delle correnti del coalbero come incognite numero incognite : R – N + 1 Maglia: f d Rd Ie + Rd If Rd Ig = -Vf a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio somma delle tensioni sui rami resistivi della maglia (verso: convenzione potenza entrante) somma resistenze in comune fra le maglie e / h correnti Ie e Ih concordi sui rami comuni a e c  segno positivo Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If resistenza totale di maglia = somma delle resistenze di maglia Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio correnti Ie e If concordi sul ramo comune d  segno positivo resistenza in comune fra le maglie e / f Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If somma resistenze in comune fra le maglie e / g Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio correnti Ie e Ig discordi sui rami comuni c e d  segno negativo somma delle tensioni impresse dai generatori presenti sulla maglia (convenzione potenza uscente) 3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2 numero equazioni : R – N + 1 Maglia: g dc - (Rc +Rd ) Ie - Rd If + (Rc +Rd +Rg ) Ig Rc Ih = 0 a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If Metodo abbreviato di analisi Complessità del sistema: R – N + 1 << 2R Maglia: h abc (Ra +Rc ) Ie Rc Ig + (Ra +Rc +Rh ) Ih = -Vb a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh Ie Ig Ih If + segno positivo caso attuale + segno negativo + segno negativo Ra Vb Rc Rd Re Vf + Rg Rh Esempio

15 Equazioni alle maglie : gen. di corrente
b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT a) Identificazione della rete RT Sostituire i generatori di corrente con generatori di tensione fittizi Reti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente Albero: adeg ; Coalbero: bcfh Ic a d g Ih Ig1 e Ib c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti è sufficiente riconoscere che nel sistema di equazioni alle maglie il termine Ig1 é una quantità nota, mentre Vx1 è un’incognita. Equazioni di vincolo Ib + Ic = - Ig2 Albero: adeg ; Coalbero: bcfh c a d g e b b1) Scelta coppia albero / coalbero f h b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero Albero: adeg ; Coalbero: bcfh Ic a d g Ih e Ib Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 e Vx2 sono termini noti, mentre tutte le correnti sono incognite. b3) Equazioni alle maglie (Ra+Re ) Ib - Re Ih = -Vg1 - Vx2 b assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati) Analisi su base maglie a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) (Rc+Rd ) Ic - Rd Ig1 - Rd Ih = - Vx2 c I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia nel caso della corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso precedentemente indicato Ig1 Vx + Simbolo Nome e verso arbitrari Ra Vg1 Rc Rd Re Rh Rete RT Per la rete data invece le tensioni Vx1 e Vx2 sono incognite. Vx2 + Vx1 Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di corrente sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti) + Vx1 Vx2 Incognite n. 5: Ib ; Ic ; Ih ; Vx1 ; Vx2 Equazioni n. 5 Rd Ic + Rd Ig1 + Rd Ih = Vx1 g1 - Re Ib + Rd Ic + Rd Ig1 + (Rd+Re +Rh ) Ih = 0 h b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di corrente c) Scrittura delle equazioni di vincolo Ra Vg1 Rc Rd Re Ig1 + Rh Es. n° 1 Ig2 Il generatore di corrente Ig2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo. Ig2 La rete RT, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata. Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + le equazioni di vincolo Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Vx1 e Vx2 , le equazioni alle maglie e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della sola rete iniziale. I generatori di corrente sul coalbero semplificano il sistema, sull’albero complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo Ib Ic Questa osservazione, che semplifica la soluzione del sistema, deriva dal fatto che il generatore di corrente Ig1 é posto sul coalbero. Nella scelta della coppia albero / coalbero, è conveniente scegliere, se possibile, un albero che non passi per i generatori di corrente Risulta Ib + Ic = - Ig2

16 Equazioni alle maglie : trasformatori ideali
Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo Ra Vg1 Rc Rd Re Ig1 + Es. n° 2 Tg Th Th : Tg = 1 : n b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT Albero: acdh ; Coalbero: befg c a d g e b b1) Scelta coppia albero / coalbero f h a) Identificazione della rete RT Sostituire il generatore di corrente e i rami del trasformatore con generatori di tensione fittizi Vx + Simbolo Nome e verso arbitrari Ra Vg1 Rc Rd Re Rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero. Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono termini noti. Equazioni di vincolo Vg = n Vh Ig = - (1 / n) ( Ib + Ie ) b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero Albero: acdh ; Coalbero: befg a d Ie Ib c h La variabile Ig appartiene al coalbero e quindi è già utilizzata nelle equazioni alle maglie. Non così per la corrente Ih , che deve essere espressa in funzione delle correnti del coalbero Albero: acdh ; Coalbero: befg a d Ig Ie Ig1 Ib c h 1:n V1 V2 + I1 I2 V2 = n V1 I2 = - ( 1 / n ) I1 Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno b3) Equazioni alle maglie Ig Ig1 I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per la corrente Ig1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso indicato. Per la corrente Ig conviene utilizzare la convenzione della potenza entrante, come nella definizione del trasformatore ideale (Ra+Rc ) Ib - Rc Ig = Vg1 - Vh b + Vx1 Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare nomi abbinati con il nome del generatore di corrente (con verso coordinato con la corrente impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. il positivo dalla parte del segno ). Vg Vh Per la rete data le tensioni Vx1 , Vg e Vh sono invece incognite. (Re+Rd ) Ie - Rd Ig1 + Rd Ig = - Vh e - Rd Ie + Rd Ig1 - Rd Ig = Vx1 g1 Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di corrente e per il trasformatore. - Rc Ib + Rd Ie - Rd Ig1 + (Rc+Rd ) Ig = - Vg g Incognite n. 6 Ib ; Ig ; Ie ; Vx1 ; Vg ; Vh Equazioni n. 6 Il sistema risolvente su base maglie del circuito è l’insieme delle equazioni alle maglie + equazioni di vincolo + Vg Vh Ig Ih Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare correnti (o tensioni) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni alle maglie. L’introduzione di ulteriori variabili richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni. Ib Ie Ih = Ib + Ie Vg = n Vh Ig = - (1 / n) Ih

17 Equazioni alle maglie : gen. controllati
Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo Ra Ig1 Rc Rd Ie Vf Es. n° 3 Rg Rh Ie = k Vh + Ig Vh Vf = h Ig b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT Albero: aceh ; Coalbero: bdfg c a d g e b b1) Scelta coppia albero / coalbero f h Ra Rc Rd Rh Rete RT Rg a) Identificazione della rete RT Sostituire il generatore di corrente fisso e i rami controllati dei generatori controllati con generatori di tensione fittizi Vx + Simbolo Nome e verso arbitrari Albero: aceh ; Coalbero: bdfg a Ig Id Ig1 If c h e Per il generatore di corrente Ig1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono termini noti. Equazioni di vincolo Vf = h Ig Id - If + Ig = = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per le correnti Ig1 e Ig già indicate nel circuito iniziale, conviene conservare i nomi e i versi. Ig1 Ig b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero Albero: aceh ; Coalbero: bdfg a Id If c h e b3) Equazioni alle maglie Vx1 + Vf Ve Al generatore di corrente fisso conviene abbinare un generatore di tensione fittizio con verso coordinato con la corrente impressa. Per il generatore controllato di tensione, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata. (Ra+Rc+Rh ) Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rh ) Ig = Vx1 g1 -RhIg1 + (Rd+Rh ) Id + Rh If - Rh Ig = - Ve d Per la rete data invece le tensioni Vx1 , Ve e Vf sono incognite. -RhIg1 + RhId + Rh If - Rh Ig = - Ve + Vf f (Rc+Rh ) Ig1 - Rh Id - Rh If + (Rc+Rg +Rh ) Ih = Ve g Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo. Incognite n. 6 Id ; If ; Ig ; Vx1 ; Ve ; Vf Equazioni n. 6 Per il generatore controllato Ie : Ie = k Vh - Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig Ie Id If Ig Ie = - Id - If + Ig Vh = Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) Rh Vh + Id Ig If Ig1 Le grandezze Ie e Vh non sono utilizzate nelle equazioni alle maglie. Pertanto esse devono essere espresse in funzione delle variabili già utilizzate. Equazione di vincolo - Id - If + Ig = k Rh(Ig1 - Id - If + Ig ) Poiché le variabili Vf e Ig sono già utilizzate nelle equazioni alle maglie la seconda equazione di vincolo non deve essere modificata

18 Equazioni alle maglie : nullori
Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo Ra Vg1 Rc Rd Es. n° 4 Rg Rh + 8 b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT b1) Scelta coppia albero / coalbero Albero: acfh ; Coalbero: bdeg c a d g e b f h a) Identificazione della rete RT Sostituire il nullatore con un corto circuito e il noratore con un generatore di tensione fittizio Vx + Simbolo Nome e verso arbitrari Ra Rc Rd Rh Rete RT Rg Vg1 Vf c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Equazione di vincolo L’unica equazione di vincolo deriva dal nullatore per il quale risulta Ie = 0 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui Vf è considerato un termine noto. b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Albero: acfh ; Coalbero: bdeg c a f h Ig Id Ib Ie b3) Equazioni alle maglie (Ra+Rc+Rh ) Ib + Rh Ie + Rc Ig = Vg1 b L’equazione di vincolo permette di eliminare l’incognita Ie dalle equazioni alle maglie. e 1 2 Il nome e il verso della tensione sul noratore sono arbitrari. È opportuno considerare separati i nodi 1 e 2 , a cui è connesso il ramo e , poiché sarà necessario considerare la corrente su tale ramo. Rd Id = - Vf d Per la rete data invece la tensione Vf , è incognita. Rh Ib + RhIe = - Vf e Rc Ib + (Rc+Rg ) Ig = Vf g Occorre scrivere una opportuna equazione di vincolo. Incognite n. 4: Ib ; Id ; Ig ; Vf Equazioni n. 4

19 Equazioni ai nodi: Res., Gen. di corrente
Equazioni ai nodi in forma matriciale = Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib termini noti Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = conduttanza presente fra i nodi 2 e 4 elementi fuori dalla diagonale principale nessuna Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = segno sempre negativo Gg conduttanza presente fra i nodi 1 e 4 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale Gc+Gg conduttanza totale nodo 4 Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib Equazioni ai nodi in forma matriciale = Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = conduttanza presente fra i nodi 3 e 4 elementi fuori dalla diagonale principale nessuna Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale Ga+Ge+Gh conduttanza totale nodo 2 Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale Ga conduttanza totale nodo 3 Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = vettore dei termini noti Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = vettore delle incognite Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = nessuna conduttanza presente fra i nodi 1 e 3 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = segno sempre negativo Ge conduttanza presente fra i nodi 1 e 2 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale = Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib termini noti corrente impressa nel nodo 3 verso entrante Ib Equazioni ai nodi in forma matriciale = Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib termini noti corrente impressa nel nodo 4 verso uscente - Ib Equazioni ai nodi in forma matriciale = Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib termini noti corrente impressa nel nodo 2 nessuna Equazioni ai nodi in forma matriciale Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib = segno sempre negativo Ga conduttanza presente fra i nodi 2 e 3 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale = Gd+Ge+Gg Ge Gg E If - Ge Ga+Ge+Gh - Ga E Ga Ga E Ib - Gg Gc+Gg E Ib termini noti corrente impressa nel nodo 1 verso entrante If Caso elementare: rete di resistori e generatori di corrente 3. Scrittura delle equazioni ai nodi utilizzando le incognite E1 ; E2 ; E3 ; E4 2. Scelta delle tensioni dei nodi come incognite E1 ; E2 ; E3 ; E4 E3 E2 E1 E4 E1 , E2 , E3 , E4 indicano le tensioni dei nodi 1, 2, 3, 4 , rispetto al nodo di riferimento 3 2 1 4 5 1. Scelta di un nodo di riferimento 1. Scelta di un nodo di riferimento matrice dei coefficienti Gd+Ge+Gg conduttanza totale nodo 1 R : n. dei rami ; N : n. dei nodi Nodo: 1 (Gd +Ge +Gg ) E Ge E Gg E4 = If Attenzione! Le equazioni ai nodi esprimono equilibri di correnti, in funzioni di grandezze che sono tensioni. Pertanto occorre utilizzare sempre le conduttanze dei resistori e cioè : Ga = 1 / Ra ; Gc = 1 / Rc ; Gd = 1 / Rd Ge = 1 / Re ; Gh = 1 / Rh 2. Scelta, come incognite, delle tensioni dei nodi (rispetto al nodo di riferimento) numero incognite : N - 1 Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 - Ge E1 + (Ga +Ge +Gh ) E2 - Ga E = 0 Nodo: 2 somma delle correnti uscenti dal nodo 1 attraverso i rami resistivi Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 somma delle conduttanze dei resistori connessi al nodo 1 Il segno dei termini relativi a resistori disposti fra coppie di nodi è sempre negativo [somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 2 Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 [somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 4 Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 somma delle correnti entanti nel nodo 1 e impresse dai generatori di corrente segno positivo numero equazioni : N - 1 Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 - Ga E2 + Ga E = Ib Nodo: 3 3. Scrittura delle equazioni ai nodi, eccetto il nodo riferimento, utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2 Metodo abbreviato di analisi Complessità del sistema: N - 1 << 2R Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio E3 E2 E1 E4 - Gg E (Gc +Gg ) E4 = - Ib Nodo: 4 caso attuale segno positivo segno negativo Ra Ib Rc Rd Re If Rg Rh Esempio È stato scelto come riferimento il nodo 5 Tale nodo viene indicato con il simbolo di massa

20 Equazioni ai nodi : gen. di tensione
a) Identificazione della rete RC Sostituire i generatori di tensione con generatori di corrente fittizi b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC Reti senza memoria: resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo E3 - E4 = Vg2 Per il generatore di tensione Vg1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti basta riconoscere che nel sistema di equazioni ai nodi il termine Vg1 è una quantità nota, mentre Ix1 è un’incognita. Il generatore di tensione Vg2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo. Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 e Ix2 sono termini noti, mentre tutte le tensioni sono incognite. b3) Equazioni ai nodi b1) Scelta nodo di riferimento b2) Identificazione delle tensioni di nodo E3 E2 E4 (Gd+Ge ) Vg1 - Ge E2 = Ig1 + Ix1 1 assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati) Vg2 E3 E4 + Analisi su base nodi a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) - Ge Vg1 + (Ga+Ge +Gh ) E2 - Ga E3 = 0 2 I nomi delle tensioni di nodo sono arbitrari. Tuttavia nel caso della tensione Vg1 , già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome indicato, invece di introdurre un nuovo nome Vg1 Ra Rc Rd Re Rh Rete RC Ix Simbolo Nome e verso arbitrari Ig1 Per le rete data invece le correnti Ix1 e Ix2 sono incognite. Ix1 Ix2 Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di tensione sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti) Ix2 Ix1 Incognite n. 5: E2 ; E3 ; E4 ; Ix1 ; Ix2 Equazioni n. 5 - Ga E2 + Ga E3 = Ix2 3 Questa osservazione deriva dal fatto che il generatore di tensione Vg1 è connesso al nodo di riferimento. Gc E4 = - Ig1 - Ix2 4 b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di tensione Risulta E3 - E4 = Vg2 c) Scrittura delle equazioni di vincolo Ra Vg2 Rc Rd Re Vg1 Rh Es. n° 1 + Ig1 4 1 2 3 5 Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle equazioni ai nodi + le equazioni di vincolo La rete RC, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata. Infatti, introdotte le incognite ausiliarie Ix1 e Ix2 , le equazioni ai nodi e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della sola rete iniziale. È opportuno scegliere il nodo di riferimento in che sia connesso alla maggior parte dei generatori di tensione I generatori di tensione connessi al nodo di riferimento semplificano il sistema, quelli non connessi a tale nodo complicano il sistema per l’aggiunta di equazioni di vincolo

21 Equazioni ai nodi : trasformatori ideali
Analisi su base nodi a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Ra Vg1 Rc Rd Re Ig1 + Es. n° 2 Tg Th Th : Tg = 1 : n 4 1 2 3 5 b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta del nodo di riferimento a) Identificazione della rete RC Sostituire il generatore di tensione e i rami del trasformatore con generatori di corrente fittizi Ix Simbolo Nome e verso arbitrari Ra Rc Rd Re Rete RC Ig1 c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno 1:n V1 V2 + I1 I2 V2 = n V1 I2 = - ( 1 / n ) I1 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti Ix1 , Ig e Ih sono termini noti. Equazioni di vincolo E1 - E4 = n E2 Ig = - (1 / n) Ih E3 - E4 = Vg1 Ih Ig Ix1 Per il generatore di tensione Vg1 E3 - E4 = Vg1 Vg1 E3 E4 + l’equazione di vincolo è la seguente: b3) Equazioni ai nodi (Gd+Ge ) E1 - Ge E2 = Ig1 - Ig 1 E3 E2 E1 E4 b2) Identificazione delle tensioni di nodo Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare nomi abbinati con i nomi del generatore di tensione (con verso coordinato con la tensione impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. corrente entrante dalla parte del segno ). Ix1 Ig Ih Per la rete data invece le correnti Ix1 , Ig e Ih sono incognite. - Ge E1 + (Ga+Ge ) E2 - Ga E3 = - Ih 2 - Ga E2 + Ga E3 = Ix1 3 Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di tensione e per il trasformatore. Gc E4 = - Ix1 + Ig 4 Incognite n. 6 : E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ig ; Ih ; Ix1 Equazioni n. 6 ; Ig Ih E2 E1 E4 Il sistema risolvente su base nodi del circuito è l’insieme delle equazioni ai nodi + equazioni di vincolo E1 - E4 = n E2 Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare tensioni (o correnti) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni ai nodi. L’introduzione di ulteriori variabili richiederebbe l’uso di ulteriori equazioni. Ig = - (1/ n) Ih

22 Equazioni ai nodi : gen. controllati
Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Es. n° 3 Ie = k Vh Vf = h Ig Ra Ig1 Rc Rd Ie Vf Rg Rh + Ig Vh b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta del nodo di riferimento 4 1 2 3 Rete RC a) Identificazione della rete RC Sostituire i rami controllati dei generatori controllati con generatori di corrente fittizi Ix Simbolo Nome e verso arbitrari Ra Ig1 Rc Rd Rg Rh Ig + Vh c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Per il generatore controllato Ie : Ie = k Vh c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo E1 = h Gg (E4 - E1 ) Ie = - k E2 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, in cui le correnti Ie e If sono termini noti. Per il generatore controllato Vf : Vf = h Ig Ie = - k E2 b3) Equazioni ai nodi (Gd+Gg ) E1 - Gg E4 = Ie + If 1 Le grandezza Vh non è utilizzata nelle equazioni ai nodi. Però risulta Vh = - E2 E3 E2 E1 E4 b2) Identificazione delle tensioni di nodo Le grandezze Vf e Ig non sono utilizzate nelle equazioni ai nodi. Si ha Vf = E1 e Ig = Gg (E4 - E1 ) (Ga+Gh ) E2 - Ga E3 = - Ie 2 Per la rete data invece le correnti Ie e If sono incognite. Per il generatore controllato di corrente, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata. Ie If Pertanto l’equazione di vincolo è la seguente Ie = - k E2 - Ga E2 + Ga E3 = - Ig1 3 - Gg E1 + (Gc+Gg ) E4 = Ig1 4 Pertanto l’equazione di vincolo è : E1 = h Gg (E4 - E1 ) Incognite n. 6 E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ie ; If Equazioni n. 6 Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo.

23 Equazioni ai nodi : nullori
Analisi su base nodi a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Es. n° 4 Ra Rc Rd Rg Rh Vg1 + 8 b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta del nodo di riferimento a) Identificazione della rete RC Sostituire il nullatore con un circuito aperto, il noratore e il generatore di tensione con generatori di corrente fittizi Ix Simbolo Nome e verso arbitrari Rete RC Ra Rc Rd Rg Rh c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo E2 = E1 E4 - E3 = Vg1 c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore di tensione Vg1 si ha Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC , in cui Ix1 e IN sono considerate termini noti. b3) Equazioni ai nodi (Gd+Gg ) E1 - Gg E4 = IN 1 E4 - E3 = Vg1 Vg1 E3 E4 + b2) Identificazione delle tensioni di nodo 4 1 2 3 E3 E2 E1 E4 (Ga+Gh ) E2 – Ga E3 = 0 2 Al generatore di corrente fittizio relativo al generatore di tensione conviene dare nome e verso coordinati con quelli relativi alla tensione impressa. Il nome e il verso della corrente sul noratore sono arbitrari. Ix1 IN Per la rete data invece le correnti Ix1 e IN sono incognite. - Ga E2 + Ga E3 = - Ix1 3 E2 = E1 Per il nullatore si ha E2 E1 - Gg E1 + (Gc+Gg ) E4 = Ix1 4 Incognite n. 6 E1 ; E2 ; E3 ; E4 ; Ix1 ; IN Equazioni n. 6 Occorre scrivere due opportune equazioni di vincolo.

24 Analisi nel dominio dei fasori
Metodo di analisi nel dominio dei fasori Circuiti senza memoria nel dominio del tempo Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati equazioni algebriche nel campo reale Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati Circuiti con memoria nel dominio dei fasori equazioni algebriche nel campo complesso Circuito in regime permanente: tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) del circuito sono di tipo sinusoidale 1. Determinare il circuito fittizio nel dominio dei fasori: sostituire tutte le grandezze impresse con i rispettivi fasori; determinare le impedenze (o le ammettenze) di tutti i componenti reattivi 2. Analizzare il circuito nel dominio dei fasori L’analisi di circuiti con memoria è differente dall’analisi di circuiti senza memoria ed è molto complessa L’analisi di circuiti con memoria nel dominio dei fasori è simile all’analisi di circuiti senza memoria ma implica calcoli nel campo dei numeri complessi 3. Determinare i fasori delle grandezze d’interesse (eventualmente determinare le rispettive funzioni nel tempo)

25 Equazioni alle maglie : fasori
Equazioni alle maglie nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RT : al posto del generatore di corrente si supponga la presenza di un generatore di tensione fittizio di tensione V x1 + V x1 vg1(t) Cb R Ca ig1(t) + L Esempio vg1(t) = Vg1 cos ( w t + j ) ig1(t) = Ig1 cos ( w t + y ) Fasori delle grandezze impresse V g1 = Vg1 e jj I g1 = Ig1 e jy - R I ca - R I g1 + ( 1 / jwCb + R ) I vg = V g1 ( jwL + 1 / jwCa + R ) I ca + R I g1 - R I vg = 0 R I ca + R I g1 - R I vg = V x1 albero coalbero I ca I vg I g1 Viene scelta una coppia albero / coalbero, in modo che il generatore di corrente si trovi sul coalbero. Le correnti di maglia sono I ca , I g1 , I vg Impedenze Induttore j w L Condensatori 1 / j w Ca ; 1 / j w Cb Non occorrono equazioni di vincolo, poiché I g1 si trova sul coalbero. Le incognite sono : I ca , V x1 , I vg V g1 R I g1 + Dominio dei fasori jwCa 1 jwCb jwL Dominio del tempo

26 Equazioni ai nodi : fasori
Equazioni ai nodi nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RC : al posto del generatore di tensione si supponga la presenza di un generatore di corrente fittizio di tensione I x1 I x1 vg1(t) Cb R Ca ig1(t) + L Esempio vg1(t) = Vg1 cos ( w t + j ) ig1(t) = Ig1 cos ( w t + y ) Fasori delle grandezze impresse V g1 = Vg1 e jj I g1 = Ig1 e jy - jwCb E 2 + ( 1 / jwCb ) V g1 = I x1 ( jwCa + 1 / jwL ) E 1 - (1 / jwL ) E 2 = 0 (1 / jwL ) E 1 + (1 / jwL + G + jwCb ) E 2 - - jwCb V g1 = - I g1 E 1 Viene scelto un nodo di riferimento, in modo che il generatore di tensione si trovi collegato a esso. Le tensioni di nodo sono E 1 , E 2 , V g1 E 2 V g1 nodo di riferimento Ammettenze Induttore / j w L Condensatori j w Ca ; j w Cb Attenzione: nello scrivere le equazioni ai nodi, è necessario considerare le conduttanze dei resistori e le ammettenze dei componenti reattivi. Non occorrono equazioni di vincolo. Le incognite sono : E 1 , E 2 , I x1 V g1 G I g1 + Dominio dei fasori jwL 1 jwCb jwCa Dominio del tempo

27 Conservazione della potenza
Nel dominio del tempo Conservazione della potenza istantanea : In regime permanente Conservazione della potenza complessa : S R P c = ½ S R V k I k* = 0 S R vk (t) ik (t) = 0 Essendo P c = P a + j Q , si ha : Somma potenze assorbite = [somma su tutti i rami] Dimostrazione Conservazione della potenza attiva : S R P a = ½ S R Re [V k I k* ]= 0 Somma potenze assorbite [da tutti i componenti esclusi i generatori] = = somma potenze erogate [dai generatori] Scelta una coppia albero / coalbero, si definisca una rete di Kirchhoff prendendo sull’albero i fasori delle tensioni e sul coalbero i coniugati dei fasori delle correnti. Applicando il teorema di Tellegen, si ottiene S R V k I k* = 0 e quindi S R P c = 0 Somma potenze attive assorbite = [somma su tutti i rami] Conservazione della potenza reattiva : S R Q = ½ S R Im [V k I k* ]= 0 Somma potenze reattive assorbite = [somma su tutti i rami] Reti RLC + generatori R L C gen. Pa Q > >=<0 0 > 0 < 0 >=<0 Si ricordi che: Somma potenze attive assorbite dai resistori ( > 0 ) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > 0 ) Somma potenze reattive assorbite dagli induttori ( > 0) + Somma potenze reattive assorbite dai condensatori (< 0) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > = < 0)