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Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 1 Reti elettriche Una rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti A volte.

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Presentazione sul tema: "Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 1 Reti elettriche Una rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti A volte."— Transcript della presentazione:

1 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 1 Reti elettriche Una rete elettrica consiste in una opportuna connessione di un insieme prefissato di componenti A volte invece che rete elettrica si utilizza la locuzione circuito elettrico. Nel presente contesto le due locuzioni sono quasi sinonimi. Ciò non è vero in generale. Esempi In elettronica si dice circuito elettronico e circuito integrato, ecc. In telecomunicazioni, si dice circuito telefonico, circuito a due o a quattro fili, circuito di giunzione, per indicare singole connessioni operative. Invece, rete telefonica indica linsieme dei circuiti usati in un certo ambito (p. es., rete telefonica interurbana). In impiantistica, si dice rete elettrica di trasmissione o di distribuzione. Una rete elettrica è ottenuta assegnando i componenti, i nodi della rete e la tabella di connessione Esempio: rete di 7 componenti e 5 nodi Componenti + Nodi R1 1 2 Vg 1 4 L 4 5 R2 3 5 C 2 3 Ig 3 5 T1 2 5 T2 3 4 Tabella di connessione La tabella di connessione descrive completamente la rete e viene impiegata, p.es., nei sistemi di analisi automatica. Le reti elettriche possono essere estremamente complesse. P.es., nei circuiti integrati si possono avere reti con milioni di componenti e centinaia di migliaia di nodi Ogni riga della tabella di connessione è detta ramo della rete Si ha un ramo per ogni componente bipolare Si hanno 2 rami per ogni componente 2-porte Esempi: Il ramoL 4 5 corrisponde allinduttore I ramiT1 2 5 T2 3 4 corrispondono al trasformatore Linsieme dei fili di connessione è spesso detto schema di cablaggio. Tale schema è spesso utile per leffettivo montaggio del circuito. Tuttavia lo schema di cablaggio è spesso di difficile lettura. Si possono ottenere schemi elettrici semplificati disponendo opportunamente i nodi nel piano

2 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 2 Il grafo di una rete elettrica è uno schema di connessione che prescinde dai componenti usati Grafo di una rete elettrica Ramo Nel grafo non sono indicati i componenti, ma solo i relativi rami, rappresentati da segmenti Esempio + Rete elettrica Grafo I rami del grafo sono identificati con lettere o con numeri a b c d e f g h Per ogni ramo occorre considerare una tensione e una corrente. Per tutti rami è usata la convenzione delle potenze entranti: Ramo k-esimo + v k, i k Per semplicità il segno della tensione non viene indicato: Ramo k-esimo v k, i k Scegliendo per ogni ramo un verso arbitrario si ottiene il grafo orientato o schema topologico della rete Grafo orientato orientato Matrice di connessione [ C ], di dimensioni R x N con R = numero dei rami N = numero dei nodi C ij = -1 se il ramo i esce dal nodo j = 1 se il ramo i entra nel nodo j = 0 altrimenti Esempio: R = 8 ; N = 5 rami [ C ] = a b c d e f g h nodi

3 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 3 Leggi di Kirchhoff Dato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff Legge di Kirchhoff alle tensioni : La somma algebrica delle tensioni presenti su una maglia della rete è uguale a zero Maglia: un insieme di rami che individua un percorso chiuso Verso di maglia: lordine di percorrenza del percorso chiuso Il segno della tensione è positivo (negativo) se il verso di ramo coincide (non coincide) con il verso di maglia Esempi Esempio Grafo orientato a b c d e f g h Maglia abge Esempio Maglia abge a b c d e f g h Verso di maglia: orario Legge di Kirchhoff alle tensioni V a + V b + V g + V e = 0 Esempio Maglia hed Verso di maglia: orario Legge di Kirchhoff alle tensioni V h - V e – V d = a b c d e f g h Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti Esempio Maglia abge abge Esempio : maglia V a + V b + V g + V e = a b c d e f g h Esempio gcd - V g + V c + V d = a b c d e f g h ; gcdMaglia abge Il ramo g è percorso dalle due maglie con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha V a + V b + V c + V d + V e = 0 abcde che è lequazione alla maglia Esempio Maglia abgegcd += abcde a b c d e f g h

4 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 4 Leggi di Kirchhoff Dato il grafo orientato di una rete, è possibile scrivere le leggi Kirchhoff Legge di Kirchhoff alle correnti : La somma algebrica delle correnti, che attraversano un taglio della rete, è uguale a zero Taglio: un insieme di rami che divide la rete in due parti non connesse Esempi Esempio Grafo orientato a b c d e f g h Taglio hdfgb Esempio Taglio hdfgb Se si tagliano i rami individuati dal taglio, le sottoreti relative ai nodi [3,2,1] e ai nodi [4, 5] risultano separate a b c d e f g h Si può assegnare un verso convenzionale al taglio, p. es., dai nodi [4, 5] ai nodi [3,2,1] In molti casi un taglio separa un solo nodo da tutti gli altri Esempi Esempio Taglio aeh Verso del taglio: dal nodo [2] ai nodi [1, 3, 4, 5] a b c d e f g h Taglio egfd Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3] Esempio Taglio egfd a b c d e f g h Nella legge di Kirchhoff, il segno della corrente è positivo (negativo) se il verso di ramo è concorde (non concorde) con il verso del taglio Esempi Taglio egfd Verso del taglio: dai nodi [2,1,4,5] al nodo [3] - I e + I g - I f + I d = 0 Esempio Taglio hdfc Verso del taglio: dai nodi [2,3,1,4] al nodo [5] - I h – I d + I f + I c = a b c d e f g h Taglio agc Verso del taglio: dai nodi [2,3,5] al nodo [1, 4] I a – I g – I c = 0 Esempio Taglio agc a b c d e f g h Il numero delle leggi di Kichhoff che si possono scrivere è molto elevato Le equazioni che si ottengono non sono fra loro indipendenti Esempio: taglio agc I a – I g – I c = 0 Esempio Taglio agc ; aeh aeh - I a + I e + I h = a b c d e f g h Il ramo a appartiene ai due tagli con verso opposto. Sommando membro a membro, si ha - I g – I c + I e + I h = 0 Esempio Taglio agcaeh += gceh che è lequazione del taglio gceh a b c d e f g h

5 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 5 Leggi di Kirchhoff Le leggi di Kirchhoff dipendono dal grafo del circuito, ma non dipendono dai componenti presenti. Due circuiti diversi, aventi lo stesso grafo, soddisfano le stesse leggi di Kichhoff. Le leggi di Kirchhoff si esprimono in generale nel modo seguente: k k V k = 0 ; k k I k = 0 con k = 1, … R e k e k pari a +1, -1, 0 R: numero dei rami (si ha coefficiente zero quando una corrente o una tensione non appare in una certa legge di Kirchhoff) Le leggi di Kirchhoff si esprimono con equazioni lineari, algebriche (prive di operatori differenziali), omogenee (prive di termini noti) Le leggi di Kirchhoff valgono nel dominio del tempo. Essendo equazioni lineari, algebriche, a coefficienti costanti, valgono anche in qualunque dominio trasformato, definito da operatori lineari. Le leggi di Kirchhoff si esprimono, nei domini del tempo, dei fasori e di Laplace, nello stesso modo e con gli stessi coefficienti k e k : k k v k (t) = 0 ; k k i k (t) = 0 (dominio del tempo) k k V k = 0 ; k k I k = 0 (dominio dei fasori) k k V k (s) = 0 ; k k I k (s) = 0 (dominio di Laplace) I domini di interesse nella analisi delle reti sono: dominio del tempo, grandezze elettriche v k (t), i k (t) dominio dei fasori, grandezze elettriche V k, I k (per il regime permanente) dominio di Laplace, grandezze elettriche V k (s), I k (s)

6 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 6 Albero, coalbero Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff è tale che: nessuna Legge appartenente allinsieme è combinazione delle altre ogni ulteriore Legge è combinazione delle Leggi appartenenti allinsieme Per individuare insiemi indipendenti di Leggi di Kirchhoff, il grafo orientato della rete viene suddiviso in due sottografi complementari, AlberoCoalbero detti Albero e Coalbero Per lanalisi di una rete, occorre individuare : Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Un insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Determinazione dellAlbero e del Coalbero Si tolgano alcuni rami dal grafo, in modo che: non sia più presente nessuna maglia il grafo rimanga connesso Insieme dei rami residui: albero Insieme dei rami tolti: coalbero Esempio a b c d e f g h Si può togliere qualsiasi ramo Rami residui: abcdefgh Rami tolti: nessuno Si tolga il ramo a Rami residui: bcdefgh Rami tolti: a Esempio a b c d e f g h Si può togliere qualsiasi ramo eccetto il ramo b (altrimenti il nodo 1 non è più connesso al resto del grafo) Si tolga il ramo e Rami residui: bcdfgh Rami tolti: ae Esempio Si può togliere qualsiasi ramo, eccetto i rami bh a b c d e f g h Si tolga il ramo f Rami residui: bcdgh Rami tolti: aef Esempio a b c d e f g h Si tolga il ramo d Rami residui: bcgh Rami tolti: aefd Esempio a b c d e f g h Non si può togliere più alcun ramo Albero: bcgh Coalbero: aefd R : numero dei rami N : numero dei nodi R A : numero dei rami dellalbero R C : numero dei rami del coalbero Nel caso dellesempio R A = N – 1 = 4 ; R C = R – N + 1 = 4 [ in generale non risulta R A = R C ] R A = 4 ; R C = 4 Nel caso generale, risulta: R C = R – N + 1 R A = N – 1 Un numero di rami pari a N-1 permette di connettere N nodi, senza dare luogo ad alcuna maglia Albero: bcgh Coalbero: aefd Alcune coppie albero / coalbero Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: bcdh Coalbero: aefg a b c d e f g h Albero: bcdh Coalbero: aefg Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abef Coalbero: cdgh a b c d e f g h Albero: abef Coalbero: cdgh Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh a b c d e f g h Albero: abcd Coalbero: efgh Ai fini della presente trattazione tutte le coppie albero / coalbero sono equivalenti

7 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 7 Leggi alle tensioni Se si aggiunge allalbero un ramo del coalbero, si ottiene una maglia Tale ramo è detto ramo di chiusura Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Esempio a b c d e f g h Si aggiunga il ramo e Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh a b c d e f g h Si ottiene la maglia e abcd Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Il ramo di chiusura fissa: il verso della maglia, il nome della maglia. Legge di Kirchhoff alle tensioni alla maglia ( e ) V e + V a + V b + V c + V d = 0 Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo del coalbero maglia Legge di Kirchhoff V e + V a + V b + V c + V d = 0 (e ) Esempio V f + V d = a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (f ) Esempio V g – V c – V d = a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (g ) Esempio V h + V a + V b + V c = a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (h ) Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine (tensione del ramo di chiusura) non presente nelle altre coalbero albero Espressione generale dellinsieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle tensioni [ V C ] + [ A ] [ V A ] = [ 0 ] [ V C ] [ V C ] vettore colonna delle tensioni del coalbero [ V A ] [ V A ] vettore colonna delle tensioni dellalbero [ A ] [ A ] matrice di R C righe e R A colonne con elementi pari a +1, -1, 0 V h V d V g V c V f V b V e V a + = [ 0 ] Usando le notazioni matriciali V h V d V g V c V f V b V e V a [ V C ] = ; [ V A ] = [ A ] =

8 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 8 Leggi alle correnti Se si elimina un ramo dallalbero, la rete si divide in due parti separate, che definiscono un taglio Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Si elimini il ramo a Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Si ottiene il taglio a eh Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Il ramo dellalbero fissa: il verso del taglio, il nome del taglio. Legge di Kirchhoff alle correnti per il taglio ( a ) I a – I e – I h = 0 Questa procedura può essere ripetuta per ogni ramo dellalbero taglio Legge di Kirchhoff I a - I e - I h = 0 (a ) I b – I e – I h = 0 Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (b ) I c – I e + I g – I h = 0 Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (c ) I d - I e - I f + I g = 0 Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh (d ) Insieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti Le equazioni sono indipendenti, perché ognuna di esse contiene un termine (corrente del ramo dellalbero) non presente nelle altre albero coalbero Usando le notazioni matriciali I d I h I c I g I b I f I a I e + = [ 0 ] Espressione generale dellinsieme indipendente di Leggi di Kirchhoff alle correnti [ I A ] + [ B ] [ I C ] = [ 0 ] [ I A ] [ I A ] vettore colonna delle correnti dellalbero [ I C ] [ I C ] vettore colonna delle correnti del coalbero [ B ] [ B ] matrice di R A righe e R C colonne con elementi pari a +1, -1, 0 I d I h I c I g I b I f I a I e [ I A ] = ; [ I C ] = [ B ] =

9 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 9 Variabili indipendenti [ V C ] = - [ A ] [ V A ] Leggi di Kirchhoff alle tensioni assegnate le tensioni dellalbero, si possono calcolare le tensioni del coalbero Poiché i soli rami dellalbero non definiscono alcuna maglia, le tensioni dei rami dellalbero possono essere fissate arbitrariamente Tensioni dellalbero: variabili indipendenti Le tensioni dei rami del coalbero non sono variabili indipendenti e non possono essere fissate arbitrariamente Rete di Tensioni: - generatori di tensione sui rami dellalbero; - rami del coalbero aperti. Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh + VaVa + VbVb + VcVc + VdVd Rete di Tensioni [ V C ] = - [ A ] [ V A ] Le tensioni dei rami del coalbero si calcolano con lespressione Nella rete non circola alcuna corrente [ I A ] = - [ B ] [ I C ] Leggi di Kirchhoff alle correnti assegnate le correnti del coalbero, si possono calcolare le correnti dellalbero Poiché i soli rami del coalbero non definiscono alcun taglio, le correnti dei rami del coalbero possono essere fissate arbitrariamente Correnti del coalbero: variabili indipendenti Le correnti dei rami dellalbero non sono variabili indipendenti e non possono essere fissate arbitrariamente Rete di Correnti: - generatori di corrente sui rami del coalbero; - rami dellalbero in corto. Esempio a b c d e f g h R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh IeIe + IfIf + + IgIg IhIh + Rete di Correnti [ I A ] = - [ B ] [ I C ] Le correnti dei rami dellalbero si calcolano con lespressione Tutte le tensioni della rete sono nulle [ I A ] = - [ B ] [ I C ] Leggi di Kirchhoff [ V C ] = - [ A ] [ V A ] assegnate [ V A ] e [ I C ] si possono calcolare [ V C ] e [ I A ] Tensioni dei rami dellalbero + Correnti dei rami del coalbero : insieme di variabili indipendenti, che possono essere fissate in modo arbitrario Rete di Kirchhoff : - generatori di tensione sui rami dellalbero; - generatori di corrente sui rami del coalbero. La Rete di Kirchhoff è la sovrapposizione di una Rete di Tensioni e una Rete di Correnti Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff IeIe + IfIf + + IgIg IhIh + + VaVa + VbVb + VcVc VdVd Una Rete di Kirchhoff è analizzabile utilizzando esclusivamente le Leggi di Kirchhoff

10 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 10 Teorema di Tellegen La Rete di Kirchhoff è definita per ogni grafo, in corrispondenza a ogni coppia albero/coalbero permette di analizzare molte proprietà topologhe delle reti, cioè proprietà che dipendono dalla connessione dei componenti, prescindendo dalla natura dei componenti stessi a) da una generica rete, note le tensioni dei rami dellalbero e le correnti dei rami del coalbero La Rete di Kirchhoff può essere ottenuta: b) da due reti aventi lo stesso grafo, utilizzando la Rete di Tensioni dalla prima rete e la Rete di Correnti dalla seconda rete Per una Rete di Kirchhoff, si consideri la rete ottenuta disattivando tutti i generatori, eccetto il generatore di tensione i- esimo e il generatore di corrente j- esimo Vi sono tre casi si veda lesempio Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff IeIe + IfIf + + IgIg IhIh + + VaVa + VbVb + VcVc VdVd a) Coppia [ V a ; I g ] Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh + IgIg + VaVa c d e f h Il taglio aeh, definito dal generatore di tensione, non attraversa la maglia gcd, definita dal generatore di corrente V g = 0 V g = - A ga V a A ga = 0 [ V C ] = - [ A ] [ V A ] [ I A ] = - [ B ] [ I C ] Si ricordi che I a = 0 I a = - B ag I g B ag = 0 a) A ji = B i j = 0 b) Coppia [ V a ; I e ] Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh + VaVa c d f h IeIe + g Il taglio aeh attraversa la maglia eacd ; versi di V e e V a discordi V e = - V a V e = - A ea V a A ea = 1 I a = I e I a = - B ae I e B ae = - 1 b) A ji = - B i j = 1 c) Coppia [ V c ; I g ] Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh d f h e a + IgIg + VcVc Il taglio cegh attraversa la maglia gcd ; versi di V c e V g concordi V g = V c V g = - A gc V c A gc = - 1 I c = - I g I c = - B cg I g B cg = 1 c) A ji = - B i j = -1 A ji = - B ij in ogni caso [ A ] T = - [ B ] [.] T indica trasposizione Esempio R A = 4 ; R C = 4 Albero: abcd Coalbero: efgh Rete di Kirchhoff IeIe + IfIf + + IgIg IhIh + + VaVa + VbVb + VcVc VdVd [ A ] = [ B ] = Le colonne di [ A ] corrispondono alle righe di [ B ] cambiate di segno (e viceversa) [ A ] = [ B ] = [ A ] = [ B ] = [ A ] = [ B ] =

11 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 11 Teorema di Tellegen Potenza assorbita da una rete di Kichhoff [ A ] T = - [ B ] R v k i k = 0 R p k = 0 In una rete di Kirchhoff: Somma prodotti tensione-corrente = 0 [ somma su tutti i rami, stessa convenzione di segno ] Somma potenze assorbite = 0 [ somma su tutti i rami ] Somma potenze assorbite = = somma potenze erogate [ somma sul sottoinsieme 1 ] [ somma sul sottoinsieme 2 ] Suddiviso linsieme dei rami in due sottoinsiemi, 1 e 2, complementari coalbero albero R = R A + R C numero rami Rami dellalbero p i = v i i i RARA RARA p j = v j i j Rami del coalbero = [ V C ] T [ I C ] RCRC RCRC v i i i + v j i j = 0 p i + p j = 0 RARA RARA RCRC RCRC = [ V A ] T [ I A ]= - [ V A ] T [ B ] [ I C ] = - [ V A ] T [ A ] T [ I C ] Si ricordi che [ I A ] = - [ B ] [ I C ] [ V C ] = - [ A ] [ V A ] [ V C ] T = - [ V A ] T [ A ] T a) Rete di Kirchhoff ottenuta da una rete generica Conservazione della potenza : R v k (t) i k (t) = 0 ; R p k (t) = 0 b) Rete di Kirchhoff ottenuta da due reti aventi lo stesso grafo R v k i k = 0 Teorema di Tellegen : v k : tensioni della prima rete i k : correnti della seconda rete Applicazioni: conservazione potenza complessa reciprocità delle reti calcolo della sensibilità rispetto ai valori dei componenti

12 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 12 Sistema di equilibrio Analisi di una rete elettrica Dati del problema Schema della rete:R rami ; N nodi Leggi alle tensioni R - N + 1 equazioni Leggi alle correnti N – 1 equazioni R equazioni Leggi di Kirchhoff Tipo e valore dei componenti Incognite R tensioni R correnti Sistema di equilibrio Equazioni di Kirchhoff Algebriche lineari, omogenee, coeff. +1, -1 Equazioni dei componenti Algebriche (circuiti senza memoria) e differenziali (circuiti con memoria) Lineari (circuiti lineari) e non lineari (circuiti non lineari) Termini noti (generatori o condizioni iniziali) 2R equazioni 2R incognite Esempio RaRa FbFb + LcLc + RdRd + CeCe + FfFf + TgTg + ThTh + Incognite, 16 funzioni del tempo: V a, V b, V c, V d, V e, V f, V g, V h I a, I b, I c, I d, I e, I f, I g, I h tensioni e correnti con pedici congruenti con quelli dei componenti e secondo i versi indicati in figura Quantità note Costanti R a, R d, L c, C e Rapporto 1:n trasformatore T g /T h Funzioni del tempo: tensione impressa gen. tensione F b (t) ; corrente impressa gen. corrente F f (t). Leggi di Kirchhoff : R = 8 equazioni Albero abcd ; coalbero efgh V h V d V g V c V f V b V e V a + = [ 0 ] I d I h I c I g I b I f I a I e + = [ 0 ] R = 8 equazioni componenti V a = R a I a ; V d = R d I d resistori V b = F b (t) ; I f = F f (t) generatori dI c d t V c = L c induttore dV e d t I e = C e condensatore trasformatore V h = n V g I h = - (1/n) I g

13 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 13 Complessità V h V d V g V c V f V b V e V a + = [0 ] I d I h I c I g I b I f I a I e + = [0 ] V a = R a I a ; V d = R d I d res. V b = F b (t) ; I f = F f (t) gen. dI c d t V c = L c induttore dV e d t I e = C e condensatore trasf. V h = n V g I h = - (1/n) I g Complessità differenziale della rete : Or (ordine della rete) Or = ordine dellequazione differenziale risolvente: dopo opportuni passaggi algebrici, il sistema di equilibrio si può ridurre a ununica equazione differenziale, il cui ordine è non superiore alla somma degli ordini delle equazioni del sistema Si ha Or N C + N L + 2 N M con N C = numero condensatori N L = numero induttori N M = numero induttori accoppiati Nellesempio: N C = 1; N L = 1; N M = 0 e pertanto Or 2 (da conciderazioni più approfondite si può vedere che in questo caso si ha esattamente Or = 2) Complessità algebrica della rete: Ca Ca = ordine algebrico del sistema di equilibrio: numero di equazioni = numero delle incognite Si ha Ca 2 R ( R : numero dei rami ) Se Ca = 2 R il sistema risolvente è detto …… sistema generale di equilibrio ….…( come nellesempio, ove R = 8 e Ca = 16 ) Se Ca < 2 R il sistema risolvente è detto …… sistema abbreviato di analisi …… p. es. analisi su base maglie …… …… analisi su base nodi …… ……(descritte nel seguito)

14 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 14 Equazioni alle maglie: Res., Gen. tensione Caso elementare: rete di resistori e generatori di tensione 2. Scelta delle correnti del coalbero come incognite 3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2 R : n. dei rami ; N : n. dei nodi numero incognite : R – N + 1 numero equazioni : R – N + 1 Metodo abbreviato di analisi Complessità del sistema: R – N + 1 << 2R RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio 1. Scelta coppia albero / coalbero a b d Albero: abcd ; Coalbero: efgh e f g h 1. Scelta coppia albero / coalbero 2. Scelta delle correnti di coalbero come incognite I e ; I f ; I g ; I h a b c d IeIe IgIg IhIh IfIf 3. Scrittura delle equazioni alle maglie utilizzando le incognite I e ; I f ; I g ; I h Maglia: e abcd a b d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf c ( R a + R c + R d + R e ) I e + R d I f - ( R c + R d ) I g + ( R a + R c ) I h = - V b resistenza totale di maglia = somma delle resistenze di maglia RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio correnti I e e I f concordi sul ramo comune d segno positivo resistenza in comune fra le maglie e / f RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf somma resistenze in comune fra le maglie e / g RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio correnti I e e I g discordi sui rami comuni c e d segno negativo somma resistenze in comune fra le maglie e / h correnti I e e I h concordi sui rami comuni a e c segno positivo RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf a b c d IeIe IgIg IhIh IfIf RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio somma delle tensioni sui rami resistivi della maglia (verso: convenzione potenza entrante) somma delle tensioni impresse dai generatori presenti sulla maglia (convenzione potenza uscente) + segno positivo + segno negativo caso attuale + segno negativo Maglia: f d R d I e + R d I f - R d I g = - V f a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf RaRa VbVb RcRc RdRd ReRe VfVf + RgRg + RhRh Esempio Maglia: g dc - ( R c + R d ) I e - R d I f + ( R c + R d + R g ) I g - R c I h = 0 a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf Maglia: h abc ( R a + R c ) I e - R c I g + ( R a + R c + R h ) I h = - V b a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf Equazioni alle maglie in forma matriciale R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = a b c d Albero: abcd ; Coalbero: efgh IeIe IgIg IhIh IfIf matrice dei coefficienti R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = vettore delle incognite R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = vettore dei termini noti R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = matrice dei coefficienti diagonale principale R a +R c +R d +R e resistenza totale maglia e R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = RdRd resistenza totale maglia f R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = R c +R d +R g resistenza totale maglia g R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = R a +R c +R h resistenza totale maglia h = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b elementi fuori dalla diagonale principale RdRd resistenza comune maglie e / f verso concorde R c +R d resistenza comune maglie e / g verso discorde = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b R a +R c resistenza comune maglie e / h verso concorde = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b R d resistenza comune maglie f / g verso discorde = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b nessuna resistenza comune maglie f / h = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b R c resistenza comune maglie f / h verso discorde = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b termini noti tensione impressa sulla maglia e verso discorde -V b = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b tensione impressa sulla maglia f verso discorde -V f = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b tensione impressa sulla maglia g nessuna tensione impressa sulla maglia h verso discorde = R a +R c +R d +R e R d - (R c +R d ) R a +R c I e -V b R d R d - R d 0 I f -V f - (R c +R d ) - R d R c +R d +R g - R c I g 0 R a +R c 0 - R c R a +R c +R h I h -V b -V b

15 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 15 Equazioni alle maglie : gen. di corrente Reti senza memoria : resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati) Analisi su base maglie a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo RaRa V g1 RcRc RdRd ReRe I g1 + RhRh Es. n° 1 I g2 a) Identificazione della rete RT Sostituire i generatori di corrente con generatori di tensione fittizi VxVx + Simbolo Nome e verso arbitrari RaRa V g1 RcRc RdRd ReRe + RhRh Rete RT Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di corrente sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti) + + V x1 V x2 b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT Albero: adeg ; Coalbero: bcfh c a d g e b b1) Scelta coppia albero / coalbero f h b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero Albero: adeg ; Coalbero: bcfh IcIc a d g IhIh e IbIb I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia nel caso della corrente I g1, già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso precedentemente indicato I g1 b3) Equazioni alle maglie ( R a + R e ) I b - R e I h = - V g1 - V x2 b ( R c + R d ) I c - R d I g1 - R d I h = - V x2 c R d I c + R d I g1 + R d I h = V x1 g1 - R e I b + R d I c + R d I g1 + ( R d + R e + R h ) I h = 0 h Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni V x1 e V x2 sono termini noti, mentre tutte le correnti sono incognite. Per la rete data invece le tensioni V x1 e V x2 sono incognite. V x2 + V x1 + Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di corrente Albero: adeg ; Coalbero: bcfh IcIc a d g IhIh I g1 e IbIb c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore di corrente I g1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti è sufficiente riconoscere che nel sistema di equazioni alle maglie il termine I g1 é una quantità nota, mentre V x1 è unincognita. Questa osservazione, che semplifica la soluzione del sistema, deriva dal fatto che il generatore di corrente I g1 é posto sul coalbero. Il generatore di corrente I g2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo. I g2 IbIb IcIc Risulta I b + I c = - I g2 Equazioni di vincolo I b + I c = - I g2 Il sistema risolvente su base maglie del circuito è linsieme delle equazioni alle maglie + le equazioni di vincolo I generatori di corrente sul coalbero semplificano il sistema, sullalbero complicano il sistema per laggiunta di equazioni di vincolo Nella scelta della coppia albero / coalbero, è conveniente scegliere, se possibile, un albero che non passi per i generatori di corrente Incognite n. 5: I b ; I c ; I h ; V x1 ; V x2 Equazioni n. 5 La rete RT, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata. Infatti, introdotte le incognite ausiliarie V x1 e V x2, le equazioni alle maglie e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della sola rete iniziale.

16 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 16 Equazioni alle maglie : trasformatori ideali Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo RaRa V g1 RcRc RdRd ReRe I g1 + Es. n° 2 TgTg ThTh T h : T g = 1 : n a) Identificazione della rete RT Sostituire il generatore di corrente e i rami del trasformatore con generatori di tensione fittizi VxVx + Simbolo Nome e verso arbitrari RaRa V g1 RcRc RdRd ReRe + Rete RT + + V x1 + Ai generatori di tensione fittizi, conviene dare nomi abbinati con il nome del generatore di corrente (con verso coordinato con la corrente impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. il positivo dalla parte del segno ). VgVg VhVh b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT Albero: acdh ; Coalbero: befg c a d g e b b1) Scelta coppia albero / coalbero f h g e b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero Albero: acdh ; Coalbero: befg a d IeIe IbIb c h IgIg I g1 I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per la corrente I g1, già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome e il verso indicato. Per la corrente I g conviene utilizzare la convenzione della potenza entrante, come nella definizione del trasformatore ideale b3) Equazioni alle maglie ( R a + R c ) I b - R c I g = V g1 - V h b ( R e + R d ) I e - R d I g1 + R d I g = - V h e - R d I e + R d I g1 - R d I g = V x1 g1 - R c I b + R d I e - R d I g1 + ( R c + R d ) I g = - V g g Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, nella quale le tensioni V x1, V g e V h sono termini noti. Per la rete data le tensioni V x1, V g e V h sono invece incognite. Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di corrente e per il trasformatore. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore di corrente I g1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero. 1:n V1V1 V2V2 + + I1I1 I2I2 V 2 = n V 1 I 2 = - ( 1 / n ) I 1 Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno + VgVg + VhVh IgIg IhIh V g = n V h I g = - (1 / n) I h La variabile I g appartiene al coalbero e quindi è già utilizzata nelle equazioni alle maglie. Non così per la corrente I h, che deve essere espressa in funzione delle correnti del coalbero Albero: acdh ; Coalbero: befg a d IgIg IeIe I g1 IbIb c h IbIb IeIe I h = I b + I e Equazioni di vincolo V g = n V h I g = - (1 / n) ( I b + I e ) Il sistema risolvente su base maglie del circuito è linsieme delle equazioni alle maglie + equazioni di vincolo Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare correnti (o tensioni) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni alle maglie. Lintroduzione di ulteriori variabili richiederebbe luso di ulteriori equazioni. Incognite n. 6 I b ; I g ; I e ; V x1 ; V g ; V h Equazioni n. 6

17 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 17 Equazioni alle maglie : gen. controllati Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo RaRa I g1 RcRc RdRd IeIe VfVf Es. n° 3 RgRg RhRh Ie =k VhIe =k Vh + IgIg + VhVh Vf =h IgVf =h Ig RaRa RcRc RdRd RhRh Rete RT RgRg a) Identificazione della rete RT Sostituire il generatore di corrente fisso e i rami controllati dei generatori controllati con generatori di tensione fittizi VxVx + Simbolo Nome e verso arbitrari V x1 + VfVf + VeVe + Al generatore di corrente fisso conviene abbinare un generatore di tensione fittizio con verso coordinato con la corrente impressa. Per il generatore controllato di tensione, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata. b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT Albero: aceh ; Coalbero: bdfg c a d g e b b1) Scelta coppia albero / coalbero f h g e b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero Albero: aceh ; Coalbero: bdfg a IdId IfIf c h e I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Tuttavia, per le correnti I g1 e I g già indicate nel circuito iniziale, conviene conservare i nomi e i versi. I g1 IgIg b3) Equazioni alle maglie ( R a + R c + R h ) I g1 - R h I d - R h I f + ( R c + R h ) I g = V x1 g1 - R h I g1 + ( R d + R h ) I d + R h I f - R h I g = - V e d - R h I g1 + R h I d + R h I f - R h I g = - V e + V f f ( R c + R h ) I g1 - R h I d - R h I f + ( R c + R g + R h ) I h = V e g Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui le tensioni V x1, V e e V f sono termini noti. Per la rete data invece le tensioni V x1, V e e V f sono incognite. Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo. Albero: aceh ; Coalbero: bdfg a IgIg IdId I g1 IfIf c h e Per il generatore di corrente I g1 non occorre alcuna equazione di vincolo, poiché si trova su un ramo del coalbero. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore controllato I e : I e = k V h Le grandezze I e e V h non sono utilizzate nelle equazioni alle maglie. Pertanto esse devono essere espresse in funzione delle variabili già utilizzate. IeIe IdId IfIf IgIg I e = - I d - I f + I g V h = R h ( I g1 - I d - I f + I g ) RhRh VhVh + IdId IgIg IfIf I g1 Equazione di vincolo - I d - I f + I g = k R h ( I g1 - I d - I f + I g ) Per il generatore controllato V f : V f = h I g Poiché le variabili V f e I g sono già utilizzate nelle equazioni alle maglie la seconda equazione di vincolo non deve essere modificata Equazioni di vincolo V f = h I g -I d - I f + I g = = k R h (I g1 - I d - I f + I g ) Incognite n. 6 I d ; I f ; I g ; V x1 ; V e ; V f Equazioni n. 6

18 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 18 Equazioni alle maglie : nullori Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Tensione (rete RT) b) Scrittura del sistema di equazioni alle maglie per la rete RT c) Scrittura delle equazioni di vincolo RaRa V g1 RcRc RdRd Es. n° 4 RgRg RhRh + a) Identificazione della rete RT Sostituire il nullatore con un corto circuito e il noratore con un generatore di tensione fittizio VxVx + Simbolo Nome e verso arbitrari RaRa RcRc RdRd RhRh Rete RT RgRg V g1 + VfVf + e 1 2 Il nome e il verso della tensione sul noratore sono arbitrari. È opportuno considerare separati i nodi 1 e 2, a cui è connesso il ramo e, poiché sarà necessario considerare la corrente su tale ramo. b) Scrittura delle equazioni alle maglie per la rete RT b1) Scelta coppia albero / coalbero Albero: acfh ; Coalbero: bdeg c a d g e b f h g e b2) Identificazione delle correnti dei rami del coalbero I nomi e i versi delle correnti dei rami del coalbero sono arbitrari. Albero: acfh ; Coalbero: bdeg c a f h IgIg IdId IbIb IeIe b3) Equazioni alle maglie ( R a + R c + R h ) I b + R h I e + R c I g = V g1 b R d I d = - V f d R h I b + R h I e = - V f e R c I b + ( R c + R g ) I g = V f g Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RT, in cui V f è considerato un termine noto. Per la rete data invece la tensione V f, è incognita. Occorre scrivere una opportuna equazione di vincolo. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Equazione di vincolo Lunica equazione di vincolo deriva dal nullatore per il quale risulta I e = 0 Lequazione di vincolo permette di eliminare lincognita I e dalle equazioni alle maglie. Incognite n. 4: I b ; I d ; I g ; V f Equazioni n. 4

19 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 19 Equazioni ai nodi: Res., Gen. di corrente Caso elementare: rete di resistori e generatori di corrente 1. Scelta di un nodo di riferimento 2. Scelta, come incognite, delle tensioni dei nodi (rispetto al nodo di riferimento) 3. Scrittura delle equazioni ai nodi, eccetto il nodo riferimento, utilizzando solo le incognite introdotte al punto 2 R : n. dei rami ; N : n. dei nodi numero incognite : N - 1 numero equazioni : N - 1 Metodo abbreviato di analisi Complessità del sistema: N - 1 << 2R RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio Scelta di un nodo di riferimento È stato scelto come riferimento il nodo 5 Tale nodo viene indicato con il simbolo di massa 2. Scelta delle tensioni dei nodi come incognite E 1 ; E 2 ; E 3 ; E 4 E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 E 1, E 2, E 3, E 4 indicano le tensioni dei nodi 1, 2, 3, 4, rispetto al nodo di riferimento 3. Scrittura delle equazioni ai nodi utilizzando le incognite E 1 ; E 2 ; E 3 ; E 4 Nodo: 1 ( G d + G e + G g ) E 1 - G e E 2 - G g E 4 = I f Attenzione! Le equazioni ai nodi esprimono equilibri di correnti, in funzioni di grandezze che sono tensioni. Pertanto occorre utilizzare sempre le conduttanze dei resistori e cioè : G a = 1 / R a ; G c = 1 / R c ; G d = 1 / R d G e = 1 / R e ; G h = 1 / R h RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 somma delle conduttanze dei resistori connessi al nodo 1 Il segno dei termini relativi a resistori disposti fra coppie di nodi è sempre negativo [somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 2 RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 [somma delle] conduttanze dei resistori connessi fra i nodi 1 e 4 RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 somma delle correnti uscenti dal nodo 1 attraverso i rami resistivi RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 somma delle correnti entanti nel nodo 1 e impresse dai generatori di corrente segno positivo segno negativo caso attuale segno positivo RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 - G e E 1 + ( G a + G e + G h ) E 2 - G a E 3 = 0 Nodo: 2 RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 - G a E 2 + G a E 3 = I b Nodo: 3 RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 - G g E 1 + ( G c + G g ) E 4 = - I b Nodo: 4 Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = RaRa IbIb RcRc RdRd ReRe IfIf RgRg RhRh Esempio E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 matrice dei coefficienti Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = vettore delle incognite Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = vettore dei termini noti Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b G d +G e +G g conduttanza totale nodo 1 Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale G a +G e +G h conduttanza totale nodo 2 G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale GaGa conduttanza totale nodo 3 G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b Equazioni ai nodi in forma matriciale = matrice dei coefficienti diagonale principale G c +G g conduttanza totale nodo 4 G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b Equazioni ai nodi in forma matriciale = G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = segno sempre negativo GeGe conduttanza presente fra i nodi 1 e 2 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = nessuna conduttanza presente fra i nodi 1 e 3 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = segno sempre negativo GgGg conduttanza presente fra i nodi 1 e 4 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = segno sempre negativo GaGa conduttanza presente fra i nodi 2 e 3 elementi fuori dalla diagonale principale Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = conduttanza presente fra i nodi 2 e 4 elementi fuori dalla diagonale principale nessuna Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = conduttanza presente fra i nodi 3 e 4 elementi fuori dalla diagonale principale nessuna Equazioni ai nodi in forma matriciale G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b = La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica Equazioni ai nodi in forma matriciale = G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b termini noti Equazioni ai nodi in forma matriciale = G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b termini noti corrente impressa nel nodo 1 verso entrante IfIf Equazioni ai nodi in forma matriciale = G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b termini noti corrente impressa nel nodo 2 nessuna Equazioni ai nodi in forma matriciale = G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b termini noti corrente impressa nel nodo 3 verso entrante IbIb Equazioni ai nodi in forma matriciale = G d +G e +G g -G e 0 -G g E 1 I f - G e G a +G e +G h - G a 0 E G a G a 0 E 3 I b - G g 0 0 G c +G g E 4 - I b termini noti corrente impressa nel nodo 4 verso uscente - I b

20 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 20 Equazioni ai nodi : gen. di tensione Reti senza memoria : resistori, trasformatori ideali, generatori controllati, nullori generatori di tensione, generatori di corrente assenti: componenti reattivi (induttori, condensatori, induttori accoppiati) Analisi su base nodi a) Identificazione di una rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo a) Identificazione della rete RC Sostituire i generatori di tensione con generatori di corrente fittizi RaRa V g2 RcRc RdRd ReRe V g1 RhRh Es. n° I g RaRa RcRc RdRd ReRe RhRh Rete RC IxIx Simbolo Nome e verso arbitrari I g1 Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare dei nomi abbinati ai nomi dei generatori di tensione sostituiti e dei versi coordinati (p. es. secondo la convenzione delle potenze uscenti) I x2 I x1 b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta nodo di riferimento b2) Identificazione delle tensioni di nodo E3E3 E2E2 E4E4 I nomi delle tensioni di nodo sono arbitrari. Tuttavia nel caso della tensione V g1, già presente nel circuito iniziale, conviene conservare il nome indicato, invece di introdurre un nuovo nome V g1 b3) Equazioni ai nodi ( G d + G e ) V g1 - G e E 2 = I g1 + I x1 1 - G e V g1 + ( G a + G e + G h ) E 2 - G a E 3 = G a E 2 + G a E 3 = I x2 3 G c E 4 = - I g1 - I x2 4 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti I x1 e I x2 sono termini noti, mentre tutte le tensioni sono incognite. Per le rete data invece le correnti I x1 e I x2 sono incognite. I x1 I x2 Occorre scrivere ulteriori equazioni relative ai generatori di tensione c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Per il generatore di tensione V g1 non occorre alcuna equazione di vincolo. Infatti basta riconoscere che nel sistema di equazioni ai nodi il termine V g1 è una quantità nota, mentre I x1 è unincognita. Questa osservazione deriva dal fatto che il generatore di tensione V g1 è connesso al nodo di riferimento. Il generatore di tensione V g2 non compare nelle equazioni scritte. Occorre allora scrivere una equazione di vincolo. V g2 E3E3 E4E4 + Risulta E 3 - E 4 = V g2 Equazioni di vincolo E 3 - E 4 = V g2 Il sistema risolvente su base nodi del circuito è linsieme delle equazioni ai nodi + le equazioni di vincolo I generatori di tensione connessi al nodo di riferimento semplificano il sistema, quelli non connessi a tale nodo complicano il sistema per laggiunta di equazioni di vincolo È opportuno scegliere il nodo di riferimento in che sia connesso alla maggior parte dei generatori di tensione Incognite n. 5: E 2 ; E 3 ; E 4 ; I x1 ; I x2 Equazioni n. 5 La rete RC, introdotta a fini didattici, non viene di solito disegnata. Infatti, introdotte le incognite ausiliarie I x1 e I x2, le equazioni ai nodi e le equazioni di vincolo possono essere scritte sulla base della sola rete iniziale.

21 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 21 Equazioni ai nodi : trasformatori ideali Analisi su base nodi a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo RaRa V g1 RcRc RdRd ReRe I g1 + Es. n° 2 TgTg ThTh T h : T g = 1 : n a) Identificazione della rete RC Sostituire il generatore di tensione e i rami del trasformatore con generatori di corrente fittizi IxIx Simbolo Nome e verso arbitrari RaRa RcRc RdRd ReRe Rete RC I g1 Ai generatori di corrente fittizi, conviene dare nomi abbinati con i nomi del generatore di tensione (con verso coordinato con la tensione impressa) e dei rami del trasformatore (con versi congrui con i segni di riferimento, p.es. corrente entrante dalla parte del segno ). I x1 IgIg IhIh b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta del nodo di riferimento E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 b2) Identificazione delle tensioni di nodo b3) Equazioni ai nodi ( G d + G e ) E 1 - G e E 2 = I g1 - I g 1 - G e E 1 + ( G a + G e ) E 2 - G a E 3 = - I h 2 - G a E 2 + G a E 3 = I x1 3 G c E 4 = - I x1 + I g 4 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, nella quale le correnti I x1, I g e I h sono termini noti. Per la rete data invece le correnti I x1, I g e I h sono incognite. Occorre scrivere equazioni di vincolo per il generatore di tensione e per il trasformatore. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Per il trasformatore, si ricordi la definizione del componente e le relative convenzioni di segno 1:n V1V1 V2V2 + + I1I1 I2I2 V 2 = n V 1 I 2 = - ( 1 / n ) I 1 IgIg IhIh E2E2 E1E1 E4E4 E 1 - E 4 = n E 2 I g = - (1/ n) I h Per il generatore di tensione V g1 E 3 - E 4 = V g1 V g1 E3E3 E4E4 + lequazione di vincolo è la seguente: Equazioni di vincolo E 1 - E 4 = n E 2 I g = - (1 / n) I h E 3 - E 4 = V g1 IhIh IgIg I x1 Il sistema risolvente su base nodi del circuito è linsieme delle equazioni ai nodi + equazioni di vincolo Nello scrivere le equazioni di vincolo occorre fare attenzione a non utilizzare tensioni (o correnti) del circuito che non siano già state utilizzate nelle equazioni ai nodi. Lintroduzione di ulteriori variabili richiederebbe luso di ulteriori equazioni. Incognite n. 6 : E 1 ; E 2 ; E 3 ; E 4 ; I g ; I h ; I x1 Equazioni n. 6 ;

22 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 22 Equazioni ai nodi : gen. controllati Analisi su base maglie a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Es. n° 3 Ie =k VhIe =k Vh Vf =h IgVf =h Ig RaRa I g1 RcRc RdRd IeIe VfVf RgRg RhRh + IgIg + VhVh Rete RC a) Identificazione della rete RC Sostituire i rami controllati dei generatori controllati con generatori di corrente fittizi IxIx Simbolo Nome e verso arbitrari RaRa I g1 RcRc RdRd RgRg RhRh IgIg + VhVh Per il generatore controllato di corrente, conviene utilizzare lo stesso nome e lo stesso segno già presenti nella rete assegnata. IeIe IfIf b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta del nodo di riferimento E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 b2) Identificazione delle tensioni di nodo b3) Equazioni ai nodi ( G d + G g ) E 1 - G g E 4 = I e + I f 1 ( G a + G h ) E 2 - G a E 3 = - I e 2 - G a E 2 + G a E 3 = - I g1 3 - G g E 1 + ( G c + G g ) E 4 = I g1 4 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, in cui le correnti I e e I f sono termini noti. Per la rete data invece le correnti I e e I f sono incognite. Occorre scrivere opportune equazioni di vincolo. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Per il generatore controllato I e : I e = k V h Le grandezza V h non è utilizzata nelle equazioni ai nodi. Però risulta V h = - E 2 Pertanto lequazione di vincolo è la seguente I e = - k E 2 Per il generatore controllato V f : V f = h I g I e = - k E 2 Le grandezze V f e I g non sono utilizzate nelle equazioni ai nodi. Si ha V f = E 1 e I g = G g (E 4 - E 1 ) Pertanto lequazione di vincolo è : E 1 = h G g (E 4 - E 1 ) c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo E 1 = h G g (E 4 - E 1 ) I e = - k E 2 Incognite n. 6 E 1 ; E 2 ; E 3 ; E 4 ; I e ; I f Equazioni n. 6

23 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 23 Equazioni ai nodi : nullori Analisi su base nodi a) Identificazione della rete di Resistori e generatori di Corrente (rete RC) b) Scrittura del sistema di equazioni ai nodi per la rete RC c) Scrittura delle equazioni di vincolo Es. n° 4 RaRa RcRc RdRd RgRg RhRh V g1 + a) Identificazione della rete RC Sostituire il nullatore con un circuito aperto, il noratore e il generatore di tensione con generatori di corrente fittizi IxIx Simbolo Nome e verso arbitrari Rete RC RaRa RcRc RdRd RgRg RhRh Al generatore di corrente fittizio relativo al generatore di tensione conviene dare nome e verso coordinati con quelli relativi alla tensione impressa. Il nome e il verso della corrente sul noratore sono arbitrari. I x1 ININ b) Scrittura delle equazioni ai nodi per la rete RC b1) Scelta del nodo di riferimento b2) Identificazione delle tensioni di nodo E3E3 E2E2 E1E1 E4E4 b3) Equazioni ai nodi ( G d + G g ) E 1 - G g E 4 = I N 1 ( G a + G h ) E 2 – G a E 3 = G a E 2 + G a E 3 = - I x1 3 - G g E 1 + ( G c + G g ) E 4 = I x1 4 Il sistema di equazioni è risolubile per la rete RC, in cui I x1 e I N sono considerate termini noti. Per la rete data invece le correnti I x1 e I N sono incognite. Occorre scrivere due opportune equazioni di vincolo. c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni alle maglie Per il generatore di tensione V g1 si ha E 4 - E 3 = V g1 V g1 E3E3 E4E4 + E 2 = E 1 Per il nullatore si ha E2E2 E1E1 c) Scrittura delle equazioni di vincolo Equazioni ai nodi Equazioni di vincolo E 2 = E 1 E 4 - E 3 = V g1 Incognite n. 6 E 1 ; E 2 ; E 3 ; E 4 ; I x1 ; I N Equazioni n. 6

24 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 24 Analisi nel dominio dei fasori Circuiti senza memoria nel dominio del tempo Circuiti privi di condensatori, induttori, induttori accoppiati equazioni algebriche nel campo reale Circuiti contenenti condensatori, induttori, induttori accoppiati Circuiti con memoria nel dominio dei fasori equazioni algebriche nel campo complesso Lanalisi di circuiti con memoria è differente dallanalisi di circuiti senza memoria ed è molto complessa Lanalisi di circuiti con memoria nel dominio dei fasori è simile allanalisi di circuiti senza memoria ma implica calcoli nel campo dei numeri complessi Metodo di analisi nel dominio dei fasori Circuito in regime permanente : tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) del circuito sono di tipo sinusoidale 1. Determinare il circuito fittizio nel dominio dei fasori: sostituire tutte le grandezze impresse con i rispettivi fasori; determinare le impedenze (o le ammettenze) di tutti i componenti reattivi 2. Analizzare il circuito nel dominio dei fasori 3. Determinare i fasori delle grandezze dinteresse (eventualmente determinare le rispettive funzioni nel tempo)

25 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 25 Equazioni alle maglie : fasori v g1 (t) CbCb R CaCa i g1 (t) + L Esempio v g1 (t) = V g1 cos ( t + ) i g1 (t) = I g1 cos ( t + ) Fasori delle grandezze impresse V g1 = V g1 e j I g1 = I g1 e j Impedenze Induttore j L Condensatori 1 / j C a ; 1 / j C b V g1 R I g1 + Dominio dei fasori j C a 1 j C b 1 j L Dominio del tempo Equazioni alle maglie nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RT : al posto del generatore di corrente si supponga la presenza di un generatore di tensione fittizio di tensione V x1 + V x1 albero coalbero I ca I vg I g1 Viene scelta una coppia albero / coalbero, in modo che il generatore di corrente si trovi sul coalbero. Le correnti di maglia sono I ca, I g1, I vg ( j L + 1 / j C a + R ) I ca + R I g1 - R I vg = 0 R I ca + R I g1 - R I vg = V x1 - R I ca - R I g1 + ( 1 / j C b + R ) I vg = V g1 Non occorrono equazioni di vincolo, poiché I g1 si trova sul coalbero. Le incognite sono : I ca, V x1, I vg

26 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 26 Equazioni ai nodi : fasori v g1 (t) CbCb R CaCa i g1 (t) + L Esempio v g1 (t) = V g1 cos ( t + ) i g1 (t) = I g1 cos ( t + ) Fasori delle grandezze impresse V g1 = V g1 e j I g1 = I g1 e j Ammettenze Induttore 1 / j L Condensatori j C a ; j C b V g1 G I g1 + Dominio dei fasori j L 1 j C b j C a Dominio del tempo Attenzione: nello scrivere le equazioni ai nodi, è necessario considerare le conduttanze dei resistori e le ammettenze dei componenti reattivi. Equazioni ai nodi nel dominio dei fasori Viene omesso il disegno della rete RC : al posto del generatore di tensione si supponga la presenza di un generatore di corrente fittizio di tensione I x1 I x1 E 1E 1 Viene scelto un nodo di riferimento, in modo che il generatore di tensione si trovi collegato a esso. Le tensioni di nodo sono E 1, E 2, V g1 E 2E 2 V g1 nodo di riferimento ( j C a + 1 / j L ) E 1 - ( 1 / j L ) E 2 = 0 -( 1 / j L ) E 1 + ( 1 / j L + G + j C b ) E j C b V g1 = - I g1 - j C b E 2 + ( 1 / j C b ) V g1 = I x1 Non occorrono equazioni di vincolo. Le incognite sono : E 1, E 2, I x1

27 Tor Vergata M. Salerno Kirchhoff 27 Conservazione della potenza Nel dominio del tempo Conservazione della potenza istantanea : R v k (t) i k (t) = 0 Somma potenze assorbite = 0 [ somma su tutti i rami ] Somma potenze assorbite [ da tutti i componenti esclusi i generatori ] = = somma potenze erogate [ dai generatori ] In regime permanente Conservazione della potenza complessa : R P c = ½ R V k I k * = 0 Dimostrazione Scelta una coppia albero / coalbero, si definisca una rete di Kirchhoff prendendo sullalbero i fasori delle tensioni e sul coalbero i coniugati dei fasori delle correnti. Applicando il teorema di Tellegen, si ottiene R V k I k * = 0 e quindi R P c = 0 Essendo P c = P a + j Q, si ha : Conservazione della potenza attiva : R P a = ½ R Re [V k I k * ]= 0 Conservazione della potenza reattiva : R Q = ½ R Im [V k I k * ]= 0 Somma potenze attive assorbite = 0 [ somma su tutti i rami ] Somma potenze reattive assorbite = 0 [ somma su tutti i rami ] Reti RLC + generatori R L C gen. PaPa Q > >=<0 0 > 0 =<0 Si ricordi che: Somma potenze attive assorbite dai resistori ( > 0 ) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > 0 ) Somma potenze reattive assorbite dagli induttori ( > 0) + Somma potenze reattive assorbite dai condensatori (< 0) = = Somma potenze attive erogate dai generatori ( > = < 0)


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