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Corso di Chimica Fisica II 2011 Prof. Marina Brustolon 7. Loscillatore quantistico.

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Presentazione sul tema: "Corso di Chimica Fisica II 2011 Prof. Marina Brustolon 7. Loscillatore quantistico."— Transcript della presentazione:

1 Corso di Chimica Fisica II 2011 Prof. Marina Brustolon 7. Loscillatore quantistico

2 Modifichiamo la scatola monodimensionale Modifichiamo la scatola in questo modo: invece di considerare un potenziale che cambia bruscamente da V=0 a V=, facciamo aumentare gradatamente il potenziale secondo i due rami di una parabola: Il potenziale sarà rappresentato da una funzione del tipo: che è lespressione di una parabola. Sappiamo che loscillatore armonico ha un potenziale con questa forma. Possiamo allora aspettarci che ci sia una certa somiglianza tra le funzioni donda delloscillatore armonico e quelle della particella nella scatola.

3 Loscillatore armonico quantistico Riprendiamo il modello delloscillatore armonico, già visto trattando delloscillatore classico. Posizione di equilibrio x 0 k Abbiamo visto che per loscillatore armonico lo spostamento dalla posizione di equilibrio di x produce una forza che si oppone allo spostamento F=-kx, dove k è la costante di forza. Dalla:si deduce che Loperatore Hamiltoniano sarà quindi: Quindi la somma dellenergia cinetica e dellenergia potenziale classica è

4 Lequazione di Schroedinger per loscillatore armonico, autofunzioni e autovalori Questa equazione si può risolvere abbastanza facilmente facendo una serie di sostituzioni. Le sostituzioni sono: dove con Frequenza angolare delloscillatore classico La famiglia di funzioni che sono soluzioni dellequazione hanno la forma: Numero quantic o Variabile proporzional e a x Costante di normalizzazione Polinomio di Hermite v=0,1,2...

5 Le autofunzioni I polinomi di Hermite: si noti che sono polinomi di potenze pari quando il numero quantico v è pari, e dispari quando è dispari.

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7 I livelli energetici v=0,1,2...

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9 Loscillatore classico non può mai trovarsi in queste zone.

10 A grandi valori del numero quantico il comportamento diventa analogo a quello classico.

11 m1m1 m2m2 Il modello che abbiamo visto per il moto quantistico di una particella fissata con una molla ad una parete vale anche per un sistema di due particelle come questo. Basta sostituire alla massa m della particella, la massa ridotta : k Quindi la frequenza di vibrazione per le due particelle legate da una molla con costante di forza k è data dallespressione: Frequenza angolare Frequenza

12 Spettroscopia vibrazionale Consideriamo il moto di vibrazione di una molecola biatomica A-A o A-B. Come impostare il problema? 1.Dobbiamo considerare il moto dei nuclei, ma escludendo il moto di traslazione e di rotazione. 2.Per escludere il moto di traslazione, consideriamo il baricentro fisso. 3.Per escludere il moto di rotazione, assumiamo che i nuclei si muovano solo lungo lasse internucleare.

13 Moto di vibrazione ReRe LHamiltoniano per il moto di vibrazione dei nuclei deve contenere il termine di energia cinetica dei nuclei e il termine di energia potenziale (lenergia che il sistema assume in conseguenza della posizione dei nuclei). Il baricentro è fisso. La distanza tra i nuclei varia attorno alla distanza di equilibrio R e.

14 Perché si usa il modello delloscillatore armonico per il moto di vibrazione delle molecole? Vedremo che la curva dellenergia potenziale al variare della distanza tra i nuclei assomiglia (a basse energie) ad una parabola. Ma il legame chimico non è una molla ideale… il legame si è rotto

15 v=0 v=1 v=2 v=3 Livelli energetici secondo il modello delloscillatore armonico E x Livelli energetici realistici per la vibrazione molecolare

16 Transizione fondamentale v=0 v=1 v=2 Regole di selezione v= 1

17 Spettroscopia vibrazionale E anche detta spettroscopia infrarossa Studia lassorbimento delle radiazioni elettromagnetiche da parte delle molecole grazie ai loro moti vibrazionali (allungamento e accorciamento di legami, variazione degli angoli di legame, torsioni). Lassorbimento di energia da parte della molecola avviene solo se il moto produce una variazione del momento di dipolo elettrico. Le energie coinvolte, espresse in numeri donda, sono di circa cm -1.


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