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LARMAMENTO FERROVIARIO ED MODELLI MATEMATICI. Si definisce armamento ferroviario, una struttura costituita da binario, deviatoi, incroci, strutture portanti.

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1 LARMAMENTO FERROVIARIO ED MODELLI MATEMATICI

2 Si definisce armamento ferroviario, una struttura costituita da binario, deviatoi, incroci, strutture portanti. Larmamento ferroviario è utilizzato da locomotive, carri, carrozze che normalmente hanno un carico massimo (in Europa) di 22.5 tonnellate/asse. Lo scopo del binario è il trasporto di merci e persone. Lefficacia di tale proposito è richiesta essere quanto più confortevole ed a bassi costi: tale proposito genera un numero di condizioni a cui larmamento ferroviario deve soddisfare. INTRODUZIONE

3 1 – Nellambito di velocità e carichi assiali permessi, larmamento ferroviario deve essere sicuro al transito del veicolo. Perché questo sia possibile i componenti della via ferrata, come le rotaie, devono avere caratteristiche di struttura tali da resistere ai carichi transitanti. 2- La corretta geometria deve essere mantenuta nel tempo, indifferentemente dallentità del traffico. 3- Larmamento ferroviario deve offrire un trasporto confortevole. Le locomotive ed i carri possono generare vibrazioni durante la marcia, fenomeni sgradevoli per i passeggeri. Una sfortunata combinazione di deviatoi, curve e controcurve può, anche se larmamento ferroviario è ben strutturato e possiede un perfetta geometria, causare così forti movimenti nel veicolo da produrre perfino paura nei passeggeri. 4- Larmamento ferroviario deve essere elettricamente isolato, in modo che i circuiti di alimentazione richiesti, ad esempio per le indicazioni di guida (il segnalamento), devono essere continuamente in funzione, persino nelle più sfavorevoli condizioni meteorologiche, ed in modo che sulle sezioni elettrificate la corrente di ritorno non si disperda a terra in maniera vagante.

4 5- Larmamento ferroviario deve essere costruito in modo tale che i treni transitanti, non possano causare eccessivi disturbi allambiente circostante, sottoforma di rumore e di vibrazioni sul terreno. 6- Il binario ed i deviatoi devono essere costruiti per durare nel tempo. La scelta dellutilizzo di un particolare sistema di armamento su una linea coinvolge la decisione di utilizzare tale sistema per un intervallo temporale pari ad almeno anni. Conseguentemente le decisioni devono essere prese in previsione degli eventi futuri che coinvolgeranno la linea, ad esempio basandosi sulle possibili evoluzioni nelle modalità di trasporto, pur se tale predizione risulta essere molto difficile.

5 CENNI SULLA STRUTTURA DELLARMAMENTO FERROVIARIO CLASSICO

6 La rotaia La rotaia (in figura UIC60 – UNI60): può essere considerato il componente più importante della struttura della via ferrata. Essa possiede le seguenti funzioni: è la sede del moto della sala; distribuisce il carico ai sottostanti componenti dellarmamento ferroviario; ha superficie levigata per il contatto con la ruota; permette, per mezzo dellattrito/aderenza accelerazioni e decelerazioni del veicolo; agisce come un conduttore elettrico creando una linea di distribuzione; trasmette segnali di guida.

7 Lattacco (elastico) è il nome che è assegnato allinsieme dei componenti che formano il vincolo strutturale tra rotaia e traversa. Funzioni principali: assorbire elasticamente le forze longitudinali e trasversali, trasmesse sulla rotaia dalla ruota e le trasferirle alla traversa; impedire la vanificazione del vincolo di appoggio: la forza di serraggio verticale deve essere in grado di non essere superata in alcuna modalità di carico transitante; smorzare vibrazioni ed urti causati dal transito dei rotabili; mantenere inalterata la geometria di posa della rotaia; isolare elettricamente rotaia e traversa. Il vincolo tra rotaia e traversa

8 La traversa (in figura Modello biblocco in C.AP.), ha geometria (monoblocco, biblocco) e materiale di varia natura (legno, acciaio, cemento). Le funzioni principali sono: fissare e supportare rotaie ed attacchi elastici; ricevere le forze dalla rotaia e, per quanto possibile, ripartirle uniformemente al ballast; presevare la geometria macroscopica del binario; fornire adeguato isolamento elettrico tra le due rotaie. La traversa

9 La massicciata (ballast) consiste in una strato di pietrisco compattato di materiali vari come basalto, granito (pezzatura mm per le linee principali e mm sui deviatoi). Ne risulta che le forze interne al ballast possono assorbire una considerevole aliquota di sforzi di compressione ma non di trazione. Lo spessore del ballast, variabile tra 25 e 35 cm, deve essere stabilito in modo da ripartire quanto più uniformemente il carico verticale sul sottofondo. E possibile, in alcuni casi, trovare in addizione, un ulteriore strato, di circa 10 cm, di ballast a diverso materiale, costituito di ghiaia di fiume o ciottoli arrotondati (pezzatura mm). Infine la struttura del ballast è supportata dal sottofondo, in genere conglomerato cementizio o bituminoso. La massicciata

10 Le superfici di contatto tra elementi costruttivi dellarmamento ferroviario: esempio di binario per linea convenzionale

11 ANALISI STATICA DELLARMAMENTO FERROVIARIO

12 Cedimenti elastici della struttura: modello di Winkler La caratteristica di compressione della fondazione dellarmamento ferroviario è: = C w dove: = sforzo locale di compressione per la fondazione; w = deformazione locale della fondazione; C = modulo di fondazione [N/m 3 ]. c = C A[N/m]rigidezza lineare; k = c / a[N/m 2 ]rigidezza lineare ripartita per unità di lunghezza. Rigidezza di fondazione: a = passo di posa delle traverse A = area di appoggio dellelemento in deformazione

13 Equazione del problema: EI w IV + k w = 0 Cond. 1) w() = 0 Cond. 2) w I (x 0 ) = 0 Cond.3) w III (x 0 ) = Q/(2EI) Equilibrio alla traslazione verticale: Equilibrio alla rotazione: Equazione costitutiva:

14 Nel caso in cui si ricerchi la deformazione del sistema causata da carico unitario, Q=1N. Si ottiene, risolvendo lequazione differenziale del 4° ordine: Deformazione per carico unitario: Momento flettente per carico unitario: mentre nel caso in cui Q rappresenta leffettivo carico per ruota:

15 Nel caso in cui w max =1 otteniamo lo schema riepilogativo mostrato accanto. Si noti che la sollecitazione di compressione vale: dove: rappresenta la lunghezza caratteristica di Winkler mentre la lunghezza donda rimane definita da 2 L

16 Riepilogando allora abbiamo per i valori massimi delle caratteristiche analizzate: Nel caso si voglia studiare tali caratteristiche in presenza di un veicolo a 4 assi, vale il principio della sovrapposizione degli effetti. Ad esempio per la deformazione possiamo scrivere:

17 Una valutazione della qualità dellarmamento ferroviario Stabilite le caratteristiche di carico e geometriche dellarmamento da analizzare è possibile risalire al modulo di fondazione. Infatti poiché: troviamo importante fissare la seguente casistica sulla qualità della struttura complessiva di un armamento ferroviario (Esveld). Caratteristica generale della fondazione scarsabuona Modulo di fondazione C[N/mm 3 ] Costante elastica c[kN/mm] Coeff. Di fondazione (ripartita) k[N/mm 2 ]990 Lunghezza di Winkler L[m]

18 ANALISI MODALE DELLARMAMENTO FERROVIARIO

19 Sulla base di quanto esposto nella trattazione statica, è possibile applicare un analogo procedimento nel calcolo delle frequenze proprie dellarmamento ferroviario e delle funzioni di risposta dinamica. Si noti che lo schema proposto (ad 1 unico grado di libertà) è lestensione fisica di quanto visto in precedenza: per ovvie ragioni di analisi sono state aggiunte le caratteristiche di massa, per la rotaia (binario) e di smorzamento, per la fondazione. La trattazione analitica per lelemento di trave poggiato su letto elastico- smorzante allora ripercorre gli stessi passi fin qui enunciati nel caso di uno studio statico. Risposta dellarmamento ferroviario nel dominio delle frequenze

20 Equilibrio alla traslazione verticale: Equilibrio alla rotazione: Equazione costitutiva: Sia F(x,t)=q(x)e i t la sollecitazione sinusoidale agente sullarmamento. Considerando lequilibrio del concio abbiamo: Poiché lanalisi è sviluppata per un carico concentrato, è possibile porre q(x)=0 e quindi introdurre il carico Q assiale come condizione al contorno nella soluzione dellequazione differenziale. In conseguenza di quanto esposto lequazione del problema si scrive come:

21 Cond. 1) w(,t) = 0 Cond. 2) w I (x 0,t) = 0 Cond. 3) w III (x 0,t) = Q/(2EI) Si noti che nel caso statico le derivate temporali sono tutte nulle. Le condizioni di integrazione dellequazione differenziale sono ancora: La soluzione integrale generale della equazione differenziale può essere posta nella forma: Che sostituita nella equazione differenziale fornisce:

22 quindi una equazione differenziale formalmente uguale a quella trovata nella analisi statica. Allora: k* = k – 2 m + i, oppure in coordinate polari: La deformazione w(x) è ora una quantità complessa. Definiamo funzione di risposta in flessibilita H r ( ) tra il cedimento w ed il carico fissato in x=0: dove: Ricordiamo che la generica pulsazione e la pulsazione propria n valgono:

23 Inoltre introducendo il coefficiente di smorzamento critico c, tale che Possiamo riscrivere la funzione di trasferimento come: dove: In particolare si trova per frequenza nulla:

24 Influenza delle masse non sospese Ridefiniamo il carico F(x,t) come: ed in x 0 =0: Nota la funzione w(0,t) e per Q=1N otteniamo:

25 Armamenti ferroviari di diversa qualità a confronto: manutenzione della massicciata ed influenza delle masse non sospese sulla risposta dinamica

26 Sulla base di quanto esposto nella trattazione modale, è possibile applicare un analogo procedimento nel calcolo dei cedimenti dinamici dellarmamento ferroviario. Veicolo in marcia: velocità critica dellarmamento Lequazione del problema si scrive come: Cond. 1) w sx (x 0,t) = w dx (x 0,t) Cond. 2) w sx (x 0,t) = w dx (x 0,t) Cond.3) w sx (x 0,t) = w dx (x 0,t) + Q/(2EI) Si noti che nel caso statico le derivate temporali sono tutte nulle. Le condizioni di integrazione dellequazione differenziale sono ancora:

27 Impostazioni generali di soluzione: -Nuova ascissa (spazio-temporale) adimensionale: -Differenziali parziali: -Rapporti critici di velocità e di smorzamento: Si noti che è il rapporto tra la velocità effettiva del veicolo (traslazione del carico Q) e la velocità critica di propagazione delle perturbazioni nellarmamento, definita come: Alle velocità convenzionali linfluenza di questo parametro è molto bassa. Per armamenti di qualità buona la velocità critica è molto lontana dalla velocità effettiva di marcia. Per armamenti di qualità scarsa, nel caso in cui la velocità del veicolo si avvicini a quella critica, possono innescarsi fenomeni di disgregazione della struttura.

28 Soluzioni del problema (Q=1N) al variare dei parametri critici e.

29 Perché studiare larmamento ferroviario

30 Esercitazione: equazioni risolutive Esercizio 1 Esercizio 2

31 Esercitazione Esercizio 3 Esercizio 4


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