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1 SSIS-Veneto Indirizzo FIM A.A. 2002-2003 Terzo Ciclo Specializzandi: Laino Michele Maurizio Falcone Antonio.

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2 1 SSIS-Veneto Indirizzo FIM A.A Terzo Ciclo Specializzandi: Laino Michele Maurizio Falcone Antonio

3 2 Concetto di funzione Funzione y = ax² + bx + c Equazione ax² + bx + c = 0 Disequazioni Chiudi

4 3 Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B AB Ore Temp Esempi: Continua Indice

5 4 Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche. Si può farne il grafico sul piano cartesiano : Indice

6 5 Funzione y = ax² + bx + c Disegniamo una parabola generica : Possiamo notare un punto significativo detto vertice E una retta rispetto alla quale la figura è simmetrica, detta asse di simmetria. Vertice Asse simmetria Se b = 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi. (Clicca qui) Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx Vediamo come agisce b sul grafico. (Clicca qui) Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c Vediamo come agisce c sul grafico. (Clicca qui) Indice

7 6 y = ax² a = 1/4 a = 1/2 a = 1 a = 2 a = 4 a = 8 a = -1/4 a = -1/2 a = -1 a= -2 a = -4 a = -8 Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia Se a > 0 la concavità è rivolta verso l alto; se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso. Indice

8 y = x² + bx Facciamo variare b osservando grafico e vertice b =- 4 ;V(2,-4) b = -3;V(3/2,-9/4) b = - 2;V(1,-2) b = -1;V(1/2,-1/4) b = 0;V(0,0) b = 1;V(-1/2,-1/4) b = 2;V(1,-2) b = 3;V(-3/2,-9/4) Vertice Dato che abbiamo posto a = 1 al variare di b possiamo dire che la coordinata x del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …) Indice

9 y = x² - 2x + c c = - 3 c = - 2 c = - 1 c = 0 c = 1 c = 2 C Il parametro c mi dà l ordinata del punto di incontro della parabola con lasse delle y. Se c non compare la parabola passa per lorigine. Indice

10 9 Consideriamo il seguente sistema, costituito da una parabola e dallasse x : Risolviamolo graficamente Punti di incontro : A( -1, 0)B( 3, 0) AB Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo lequazione : x² - 2x –3 = 0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta con x = - 1, ed x = 3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della parabola con l asse x. Indice

11 10 Consideriamo ora il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e lasse x non hanno punti in comune. Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo lequazione : x² - 2x + 2 = 0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l incognita) e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso, non è soddisfatta da alcun valore di x. L equazione si dice impossibile. Indice

12 11 Consideriamo infine il sistema : Risolviamolo graficamente La parabola e l asse x hanno un punto in comune. A( 1, 0) Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo lequazione : x² - 2x + 1 =0 Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l incognita) e quindi, ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta da un solo valore di x. L equazione ha dunque una sola soluzione pari a x = 1. Indice

13 12 Ma per risolvere unequazione del tipo ax² + bx + c = 0 bisogna fare tutti questi disegni ? Non necessariamente!!! Cè una formula un po complicata: Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nellequazione. Come facciamo a sapere se lequazione ammette 2, 1, o nessuna soluzione ? Nella formula, sotto la radice quadrata, cè lespressione b²- 4ac, questa espressione viene detta discriminante ed indicata con (delta). Se b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni: la parabola taglia lasse x Se b²- 4ac = 0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione: la parabola tocca lasse x Se b²- 4ac < 0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo) e non avrò alcuna soluzione: la parabola non tocca, né taglia lasse delle x. EsempiIndice

14 13 EsempiEsempi 2 Soluzioni 2 Soluzioni 1 Soluzione Nessuna Soluzione reale Grafico Indice

15 14 Introduzione Disequazioni 1° grado Disequazioni 2° grado Indice

16 15 Definizione: Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche con una quantità incognita. Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che sostituiti allincognita, verificano la disuguaglianza. A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli di numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti. Tali intervalli possono essere : Limitati,Illimitati Aperti,Chiusi Come per le equazioni si parla di grado; Il grado di una disequazione è lesponente maggiore con cui compare lincognita. a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito a seconda che comprendano o meno gli estremi Disequazioni Indice

17 16 Disequazioni 1º grado Si presentano sotto questa forma : Risoluzione con metodo grafico Grafico Disequazioni Indice

18 17 Disequazioni 2º grado Si presentano sotto questa forma : L espressione ax² + bx + c labbiamo già incontrata. y = ax² + bx + c è una parabola ax² + bx + c = 0 è unequazione di 2° grado Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in considerazione sia l equazione che la parabola associata. Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso lalto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o negativo. Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna, 1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante. Indice

19 18 In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si procede sempre nello stesso modo : 1) Si risolve lequazione associata 2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata 3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione Considerando l espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima con a > 0, la seconda con a < 0. Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando lequazione ax² + bx + c = 0 ha: Due soluzioni Supposto a < 0 vediamo cosa succede quando lequazione ax² + bx + c = 0 ha: Una soluzioneNessuna soluzione Due soluzioniUna soluzioneNessuna soluzione Disequazioni Indice

20 19 Ipotesi : a > 0 ; due soluzioni (discriminante >0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso lalto taglia lasse delle x in due punti Soluzioni per: ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > = 0 ax² + bx + c < = 0 Indice Scelta…

21 20 Ipotesi : a > 0 ; una soluzione (discriminante = 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso lalto tocca lasse delle x in un punto Soluzioni per: ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > = 0 ax² + bx + c <= 0 Indice Scelta…

22 21 Ipotesi : a > 0;nessuna soluzione (discriminante < 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso lalto E tutta nel semipiano positivo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > = 0 ax² + bx + c <= 0 Indice Scelta…

23 22 Ipotesi : a 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso taglia lasse delle x in due punti Soluzioni per ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < =0 ax² + bx + c >= 0 Indice Scelta…

24 23 Ipotesi : a < 0 ; una soluzione (discriminante = 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso tocca lasse delle x in un punto Soluzioni per: ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < =0 Indice Scelta…

25 24 Ipotesi : a < 0 ; nessuna soluzione (discriminante < 0) Ne consegue che : la parabola è rivolta verso il basso è tutta nel semipiano negativo delle y Soluzioni per ax² + bx + c > 0 ax² + bx + c < = 0 Indice Scelta…


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