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Equazioni di 2° grado. Forma normale Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è nella forma ax 2 +bx+c=0 con a, b e c.

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1 Equazioni di 2° grado

2 Forma normale Una equazione si 2° grado si dice scritta in forma normale o canonica se è nella forma ax 2 +bx+c=0 con a, b e c reali e a0 3x 2 +2x-5=0 è una equazione di 2° grado scritta in forma normale (a=3, b=2 e c=-5) In una equazione scritta in forma normale il primo termine è di 2° grado ed a è detto coefficiente del termine di 2° grado, il secondo termine è di 1° grado e b è detto coefficiente del termine di 1° grado il terzo termine è detto termine noto

3 Riduzione a forma normale Se una equazione non è scritta in forma normale la prima cosa da fare è quella di riportarla in tale forma attraverso leffettuazione di operazioni e passaggi dal 2° al 1° membro delluguaglianza Esempio:4x-2=3(x 2 –x) 4x-2=3x 2 –3x -3x 2 +7x-2=0

4 Soluzioni Le soluzioni di una equazione di 2° grado dette anche zeri o radici sono sempre 2 e sono quei valori che sostituiti alla incognita x rendono lequazione una identità x=1 e x=2 sono soluzioni per lequazione x 2 –3x+2=0 infatti 1 2 –3+2=0 e 2 2 –6+2=0

5 Equazioni incomplete Se manca il termine di primo grado o il termine noto o entrambi lequazione si dice incompleta Le equazioni incomplete si suddividono in Spurie Pure Monomie

6 Spurie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine noto (cioè quella in cui è c=0) si dice pura Una equazione spuria ha 2 soluzioni di cui una è 0 e laltra –b/a nellesempio -2

7 Pure Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado (cioè quella in cui è b=0) si dice spuria Una equazione spuria ha 2 soluzioni opposte ±(c/a) nellesempio ±2

8 Monomie Una equazione di secondo grado in cui manchi il termine di 1° grado e il termine noto (cioè quella in cui è a=b=0) si dice monomia Una equazione spuria ha 2 soluzioni entrambe uguali a zero

9 Discriminante Si chiama discriminante di una equazione di 2° grado, e si indica con Δ, il numero b 2 -4ac

10 Formula risolutiva Nel caso b sia pari conviene applicare la formula ridotta Che si può anche esprimere Le soluzioni si ricavano dalla formula La formula risolutiva è applicabile anche alle equazioni incomplete

11 Soluzioni: casistica Se Δ>0 le soluzioni sono 2 e distinte S={(-b+Δ)/2a, (-b-Δ)/2a} Se Δ=0 le soluzioni sono 2 coincidenti S={-b/2a} Se Δ<0 le soluzioni non esistono S={Ø} Se a e c sono discordi il discriminante è sicuramente positivo (non vale il viceversa)

12 Esempio 1

13 Esempio 2

14 Esempio 3

15 Esempio 4

16 Casi particolari In certi casi ci si può trovare di fronte al prodotto di più polinomi di grado minore o uguale a 2 uguagliato a zero: non conviene eseguire le operazioni, ma scomporre lequazione in più equazioni alternative sfruttando la proprietà dellannullamento del prodotto

17 Esempio 5

18 Equazioni frazionarie Nelle equazioni frazionarie, una volta ridotte a forma normale eliminando i denominatori, è necessario scartare le radici che annullano il m.c.m. dei denominatori, se entrambe le radici sono da scartare, lequazione è impossibile.

19 Esempio 6

20 Equazioni a coefficienti letterali Nel caso nellequazione compaiano lettere occorre verificare che Il loro valore Non renda il discriminante negativo (condizione di realtà) Non azzeri alcun denominatore (condizione di possibilità) Nel caso si annulli il coefficiente del termine di 2° grado si avrà una sola soluzione Questo procedimento si chiama discussione dellequazione

21 Esempio 7

22 Esempio 8

23 Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado Tra i coefficienti e le soluzioni di una equazione di 2° grado con Δ0 esistono le relazioni

24 Relazioni tra coefficienti e soluzioni di equazioni di 2° grado Per definizione x 1 e x 2 sono soluzioni dellequazione (x-x 1 )(x-x 2 )=0 e quindi di x 2 -(x 1 +x 2 )x+x 1 x 2 Viceversa 2 numeri ci cui si conosca somma e prodotto sono soluzioni di x 2 -sx+p dove s e p sono somma e prodotto dei numeri dati Il trinomio ax 2 +bx+c, se ha soluzioni, si può scomporre come a(x-x 1 )(x-x 2 ) se Δ>0 oppure come a(x-x 1 ) 2 =a[x+b/(2a)] 2 se Δ=0

25 Teorema di Cartesio Se tutti i coefficienti hanno lo stesso segno le soluzioni sono negative Se solo il coefficiente del termine di 1° grado è negativo le soluzioni sono positive Se solo il coefficiente del termine di 2° grado è positivo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è positiva Se solo il termine noto è negativo le soluzioni sono discordi e quella maggiore in valore assoluto è negativa abcp=c/as= -b/ax1x1 x2x

26 Esempio 9 Data lequazione 2x 2 -3x+1 determinare somma e prodotto delle radici senza risolvere lequazione s=-b/a=3/2 p=c/a=1/2

27 Esempio 10 Trovare lequazione di 2° grado avente per soluzioni -1/2 e 2/3 x 2 -sx+p quindi x 2 -x/6-1/3 ed eliminando i denominatori 6x 2 -x-2

28 Esempio 11 Determinare 2 numeri sapendo che la loro somma è 2m e il loro prodotto m 2 -4 Deve essere x 2 -2mx+m 2 -4=0 cioè

29 Equazioni parametriche Si dice parametrica una equazione avente almeno un coefficiente dipendente da una o più lettere dette parametri Esempio: x 2 +3mx+m-1=0 al variare di m si hanno diverse equazioni e quindi diverse soluzioni Se m=0 x 2 -1=0S={-1,+1} Se m=1 x 2 +3x=0S={-3,0} Se m=2 x 2 +6x+1=0S={-3±2}….

30 ? Questione fondamentale è determinare i valori dei parametri che soddisfano determinate condizioni

31 Esempio 12 a 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k Lequazione abbia radici coincidenti Deve essere Δ=0 quindi

32 Esempio 12 b 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k Lequazione abbia una radice nulla Lequazione ha radice nulla se spuria (c=0) Quindi ma c=2 quindi per nessun valore di k il termine noto è nullo

33 Esempio 12 c 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k Lequazione abbia radici opposte Ciò avviene quando lequazione è pura cioè b=0

34 Esempio 12 d 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k Lequazione abbia radici reciproche Deve essere

35 Esempio 12 e 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k La somma delle radici dellequazione sia 3 Deve essere

36 Esempio 12 f 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k Il prodotto delle radici dellequazione sia 4 Deve essere

37 Esempio 12 g 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k La somma dei quadrati delle radici dellequazione sia 7 Deve essere

38 Esempio 12 h 2x 2 –(k-1)x+2=0 Determinare per quali valori di k La somma dei reciproci delle radici dellequazione sia 4


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