La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Lezione 6 Cenni di meccanica quantistica: - principi della M.Q. - equazione di Schrodinger portata dellinterazione-massa del mediatore vita media di una.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Lezione 6 Cenni di meccanica quantistica: - principi della M.Q. - equazione di Schrodinger portata dellinterazione-massa del mediatore vita media di una."— Transcript della presentazione:

1 Lezione 6 Cenni di meccanica quantistica: - principi della M.Q. - equazione di Schrodinger portata dellinterazione-massa del mediatore vita media di una particella instabile potere risolutivo di una particella Acceleratori a bersaglio fisso e fasci collidenti

2 Meccanica quantistica (cenni) Alla base della Meccanica Quantistica sono i seguenti principi: 1)esistono quantità che possono assumere solo valori discreti (v. il momento angolare e lenergia negli spettri atomici, lenergia trasportata dai fotoni nel corpo nero e nelleffetto fotoelettrico, lo spin delle particelle); 2) la radiazione e.m. ha una doppia natura onda-corpuscolo (come dimostrato dallo spettro di corpo nero e dalleffetto fotoelettrico e Compton). Lenergia della radiazione e.m. è portata da singoli quanti o fotoni di energia E e impulso p (e lunghezza e numero donda e k): I fotoni hanno massa a riposo nulla e viaggiano alla velocità c. N.B. La costante di Planck è molto piccola e vale:

3 3) anche le particelle materiali hanno una doppia natura onda-corpuscolo, in quanto ad ogni particella materiale di impulso p è associata unonda di lunghezza donda legata a p dalla relazione di de Broglie: N.B. Questa è la stessa relazione che lega lunghezza donda e impulso per un fotone: 4) la particella materiale viene descritta in termini di una funzione donda (x,t) che dipende dallo spazio e dal tempo (approccio di Schrödinger alla meccanica quantistica), il cui modulo al quadrato fornisce la probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio ad un certo istante. N.B. Questa relazione vale anche per i corpi macroscopici, ma la costante di Planck è talmente piccola che la loro lunghezza donda è estremamente ridotta (v. dopo).

4 Il principio vale anche nel mondo macroscopico, ma in pratica il piccolo valore della costante di Planck fa sì che tale limitazione non abbia effetto (v.dopo). 5) vale il principio di indeterminazione di Heisenberg per la posizione e la quantità di moto di una particella: quanto maggiore è la precisione nella determinazione di una delle due variabili, tanto minore è quella nella determinazione dellaltra: Più in generale, il principio di indeterminazione afferma che coppie di variabili canonicamente coniugate non possono essere simultaneamente determinate entrambe con la precisione voluta. Una coppia di tali variabili è la coppia posizione-quantità di moto. Unaltra è la coppia energia-tempo: Questo significa che una misurazione di energia che abbia una precisione voluta E, richiede una durata di tempo dellordine almeno di t h/ E. Se un sistema ha una durata di vita dellordine di t, la sua energia sarà determinata con unincertezza dellordine almeno di E h/ t.

5 Perchè le proprietà ondulatorie non si vedono per i corpi macroscopici? Consideriamo un corpo macroscopico di 1 kg che si muove ad una velocità piccola, come 3.6 km/h = 1. m/s e consideriamo un elettrone che si muove anche ad una velocità altissima, prossima a quella della luce (c). Calcoliamo nei due casi la lunghezza donda: N.B. CORPO MACROSCOPICOELETTRONE La lunghezza donda del corpo macroscopico è piccolissima, mentre quella di un elettrone è dellordine di grandezza delle dimensioni atomiche. Il comportamento ondulatorio di un elettrone può essere verificato con delle fenditure di larghezza confrontabile con (esperimento di Davisson e Germer).

6 Se conosciamo ad esempio la posizione di una palla di diametro 0.2 m e massa 1. kg con una precisione dellordine di 0.1 mm, in base al principio di indeterminazione conosceremo il suo impulso con una precisione p superiore a: e cioè determineremo la sua velocità con una precisione non inferiore a: che è un valore estremamente piccolo, quindi possiamo dire che la velocità può essere determinata con una precisione piccola a piacere. Perchè il principio di indeterminazione di Heisenberg non influenza la precisione nelle misure macroscopiche?

7 ma questa indeterminazione è dello stesso ordine di grandezza dellimpulso che vorremmo determinare. Quindi se vogliamo determinare con precisione la posizione dellelettrone, non possiamo determinare con precisione il suo impulso e viceversa. Se vogliamo invece determinare la posizione di un elettrone di impulso dellordine di una decina di KeV, poichè (come abbiamo visto) esso è associabile a lunghezze donda dellordine dellAngstrom, potremo chiedere di determinare la sua posizione con una precisione dellordine, ad esempio, del decimo di Å. In tal caso potremo determinare il suo impulso con una precisione superiore a:

8 Equazione di Schrödinger (non relativistica) A sin(kx – t) B cos(kx – t) C exp[i(kx – t)] D exp[-i(kx – t)] Le derivate rispetto al tempo e allo spazio implicano la fattorizzazione di un parametro e k rispettivamente, ma la relazione tra e k è la seguente: = ħk 2 / 2m Ogni particella può essere descritta con una funzione donda, che è funzione dello spazio e del tempo e il cui modulo quadro fornisce, in ogni punto e ad ogni istante, la densità di probabilità di trovare la particella in quel punto e a quellistante. Lequazione di Schrodinger, che è alla base della meccanica quantistica, non può essere dimostrata matematicamente, ma solo ipotizzata partendo da ragionamenti logici. Successivamente dovranno essere verificate le sue predizioni. Lequazione donda deve contenere derivate rispetto al tempo e rispetto a x (direzione di propagazione dellonda). Consideriamo una funzione sinusoidale del tipo:

9 con da determinarsi. Le funzioni esponenziali soddisfano alla (1) se: - i = - k 2 = i / k 2 = i ħ / (ħ k 2 ) = i E/p 2 = i ħ / (2m) Riscriviamo cosi la (1): EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER DI PARTICELLA LIBERA N.B. Leq. di Schrödinger descrive particelle a spin nullo e non relativistiche Equazione di Schrodinger (non relativistica) Questo suggerisce che lequazione donda debba contenere una derivata del primo ordine rispetto al tempo e del secondo rispetto allo spazio:

10 Equazione di Schrodinger (non relativistica) Possiamo dire di aver ottenuto lequazione di Schrödinger dallequazione classica per particella libera: nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori: e quindi abbiamo applicato tali operatori alla funzione donda. Se la particella è soggetta ad un potenziale V(r), lequazione di partenza diventa: e lequazione di Schrödinger corrispondente è: EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER DI PARTICELLA SOGGETTA A POTENZIALE

11 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ PER LEQ. DI SCHRÖDINGER Quale interpretazione possiamo dare alla (x,t)? Prendiamo lequazione di Schrödinger e la sua complessa coniugata: Moltiplichiamo la prima per ψ * e la seconda per ψ: Quindi sottraiamole membro a membro:

12 Se definiamo le seguenti grandezze: DENSITÀ DI PROBABILITÀ DENSITÀ DI CORRENTE DI PROBABILITÀ Questa equazione ci dice che il tasso di diminuzione del numero di particelle in un certo volume deve essere uguale al flusso di particelle attraverso le pareti che racchiudono quel volume. lequazione di prima assume laspetto di unequazione di continuità: EQUAZIONE DI CONTINUITA j =(, j )

13 Range delle interazioni – massa del mediatore (cenni di meccanica quantistica) La particella 1 di energia E 1 emette un fotone di energia E e rincula di p 1 = - E/c, la particella 2 lo assorbe e rincula di p 2 = E/c. Il principio di conservazione dellenergia può essere violato solo per un tempo massimo t tale che valga il principio di indeterminazione di Heisenberg: Lenergia minima che il fotone può trasportare è zero in quanto esso non ha massa e pertanto la portata dellinterazione (range) è infinito. E2E2 e1e1 e1e1 e2e2 e2e2 E2E2 E1E1 E1E1 E E t ~ ħ t ~ ħ / E = r / c r = ħc / E

14 Se invece il quanto che fa da mediatore dellinterazione ha massa m, la minima energia da esso trasportata sarà pari a: ( E) min = mc 2 e quindi il range massimo dellinterazione non potrà essere infinito e sarà dato da: r max = ħc / ( E) min = ħc / mc 2 Nel 1935 Yukawa, per spiegare il fatto che le interazioni forti tra adroni mostravano di avere una portata (range) dellordine di 2 fm, propose lidea che il mediatore dellinterazione fosse una particella dotata di massa, il pione. Con questa ipotesi, il range massimo dellinterazione si ha in corrispondenza dellenergia minima da esso trasportata: E = m c 2 = MeV r max = ħc / E = 200 MeV fm/ mc 2 ~ fm Range delle interazioni – massa del mediatore (cenni di meccanica quantistica) (continua)

15 Vita media di una particella instabile La meccanica quantistica non prevede la creazione o la distruzione di particelle, in quanto il modulo al quadrato della funzione donda è una quantità che è indipendente dal tempo (cioè se la particella esiste ad un certo istante, essa esisterà sempre). Infatti, poichè per un sistema conservativo, levoluzione nel tempo della funzione donda è data da: allora la probabilità di trovare la particella a un dato istante t nel punto r è indipendente dal tempo: Possiamo introdurre il decadimento delle particelle instabili nella meccanica quantistica con un artificio matematico, ipotizzando che lenergia di una particella instabile sia una quantità complessa, cioè:

16 In tal caso levoluzione temporale della funzione donda sarà data da: e la probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio dipenderà dal tempo: Questa formula è identica alla legge di decadimento se si pone: ed è connesso con il principio di indeterminazione di Heisenberg applicato alla vita media di una particella (definito nel sistema di riferimento in cui la particella è a riposo) e alla precisione con la quale è possibile determinare la sua energia (cioè la sua massa, nel sistema a riposo).

17 Prendendo la trasformata di Fourier della funzione d'onda che descrive una particella instabile: nello spazio delle energie, otterremo la probabilità che la particella emesa abbia una certa energia E: La curva ottenuta è detta lorentziana o di Breit- Wigner. La relazione: E0E0 è una forma del principio di indeterminazione di Heisenberg: la massa della particella non può essere determinata a meno in un' incertezza E =.

18 Il fenomeno della larghezza della massa di una particella è tanto più visibile quanto più la particella è instabile. Facciamo qualche esempio: (770) = 4.3 × s = ħ/ = ħc / c ~200 MeV fm/(4.3× s× fm / s)~155 MeV (1232) = 6.0 × s = ħ/ = ħc / c ~200 MeV fm/(6.0× s× fm / s)~110 MeV (139) = 2.6 ×10 -8 s = ħ/ = ħc / c ~200 MeV fm/(2.6×10 -8 s× fm / s)~ ~ MeV = eV = eV

19 Potere risolutivo di una particella Per vedere un oggetto occorre illuminarlo con una lunghezza donda che sia comparabile o inferiore alle dimensioni delloggetto e che, interagendo con esso, ne venga diffusa tutto intorno, colpendo locchio. Se loggetto è più piccolo della lunghezza donda della luce usata per illuminarlo, esso sarà avvolto dalla luce, che non potrà così interagire con esso. Loggetto non può essere osservato.

20 Con la luce visibile (e con luso di un microscopio ottico) possiamo risolvere oggetti con dimensioni maggiori o uguali del nanometro, come le micromolecole. ~ m – m Con i raggi che hanno lunghezze donda inferiori a m si possono sondare oggetti di dimensioni più piccole come nuclei o nucleoni. Per risolvere latomo che ha dimensione r atomo ~ m, occorre adoperare i raggi X che hanno lunghezze donda dellordine di:

21 r nucleo ~ m p = h / pc = 2 ħc / = MeV m/ m pc = MeV = 130 MeV r nucleone ~ m p = h / pc = 2 ħc / l = MeV m/ m pc = MeV ~ 1300 MeV ~ 1.3 GeV r quark < m p = h / pc = 2 ħc / = MeV m/ m pc = MeV ~ GeV Dal momento che ad ogni particella dotata di impulso è associata una lunghezza donda inversamente proporzionale al suo impulso (relazione di de Broglie), per risolvere oggetti di dimensione ancora più piccola, possiamo adoperare particelle dellimpulso appropriato. Ad esempio, possiamo calcolare quale impulso deve avere una particella per poter risolvere il nucleo o un nucleone (p o n) o un quark:

22 Nellesperimento di Rutherford (1911), furono adoperate particelle di energia cinetica T ~ 2 MeV su nuclei di Au, che corrispondono a un impulso p: T=p 2 /(2m ) p = (2m T) 1/2 = (8 m p T) 1/2 ~(8×10 3 ×2. MeV 2 ) 1/2 =126 MeV Pertanto la lunghezza donda esplorata corrispondeva a: = h / p = 2 ħc / pc = MeV fm/126 MeV ~ 10 fm = m (esattamente la dimensione di un nucleo!!) Scegliendo sonde di diversa natura (fotoni, leptoni, adroni) per sondare un bersaglio, si decide di sondarlo attraverso determinati tipi di interazioni. Ad esempio, se adoperiamo una sonda leptonica per studiare un bersaglio adronico (es. elettrone su nucleo o elettrone su protone), stiamo sfruttando le interazioni elettromagnetiche e non quelle forti. Se invece adoperiamo un fascio di pioni su un bersaglio nucleare, stiamo sfruttando le interazioni forti.

23 Accelerazione di particelle È necessario portare le particelle a energie elevate per varie ragioni: Aumentare il potere risolutivo della particella che funge da sonda ( vedi trasparenze precedenti) Produrre particelle finali nuove e di massa elevata A + B C

24 Energia disponibile nel centro di massa ESPERIMENTO A BERSAGLIO FISSO A + B C Sistema di riferimento del laboratorio p A = (E A ; p A ) p B = (m B ; 0 ) p C = (E C ; p C ) = (E A +m B ; p A ) Sistema di riferimento del centro di massa p* A = (E* A ; p*) p B = (E* B ; - p*) p* C = (E* C ; 0 ) = (E* A +E* B ; 0 ) La quantità che si conserva tra i due sistemi è il quadrato del quadrimpulso p c, che ci fornisce la massa della particella C prodotta, cioè il quadrato dellenergia totale nel C.M.: s = m C 2 = E C 2 – p C 2 = (E A +m B ) 2 – p A 2 = m A 2 + m B 2 + 2E A m B Lenergia totale nel C.M. s dipende quindi dalla radice quadrata dellenergia del fascio incidente.

25 Dato che: m C 2 = m A 2 + m B 2 + 2E A m B se vogliamo creare una particella di massa m C sarà dunque necessario un fascio di energia minima (energia di soglia, threshold in inglese): ESPERIMENTO A BERSAGLIO FISSO (continua) Energia disponibile nel centro di massa (continua) Nel caso particolare di particelle ultrarelativistiche, per le quali possiamo trascurare la massa rispetto allenergia, lenergia nel centro di massa nel caso di bersaglio fisso sarà data semplicemente da:

26 Energia disponibile nel centro di massa (continua) ESPERIMENTO CON FASCI COLLIDENTI A + B C Sistema di riferimento del laboratorio p A = (E A ; p A ) p B = (E B ; p B ) p C = (E C ; p c ) = (E A +E B ; p A + p B ) Sistema di riferimento del centro di massa p* A = (E* A ; p*) p B = (E* B ; -p*) p* C = (E C *; 0 ) = (E* A +E* B ; 0 ) s = (E C *) 2 = m C 2 = E C 2 – p C 2 = (E A +E B ) 2 – ( p A + p B ) 2 = = E A 2 + E B E A E B – p A 2 – p B 2 – 2 p A · p B = = m A 2 + m B 2 + 2E A E B – 2 p A · p B

27 se vogliamo creare una particella di massa m C, utilizzando due fasci di particelle di ugual massa m A,uguale energia E A, diretti antiparallelamente (cos =-1), sarà: m C 2 = 2 m A 2 + 2E A |p A | 2 = 2 m A E A (E A 2 - m A 2 ) = 4 E A 2 e quindi lenergia minima di soglia che devono avere i due fasci è: Energia disponibile nel centro di massa (continua) ESPERIMENTO CON FASCI COLLIDENTI (continua) Dato che: m C 2 = m A 2 + m B 2 + 2E A E B – 2 p A · p B da confrontarsi con quella del caso a bersaglio fisso, molto più alta: Lenergia totale disponibile nel C.M. infatti è molto più alta del caso a bersaglio fisso in quanto è pari alla somma delle energie dei due fasci:


Scaricare ppt "Lezione 6 Cenni di meccanica quantistica: - principi della M.Q. - equazione di Schrodinger portata dellinterazione-massa del mediatore vita media di una."

Presentazioni simili


Annunci Google